ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2014, том 48, № 6, с. 677-684
УДК 532.517
ФОНТАНИРУЮЩЕЕ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ЗАПОЛНЕНИИ КРУГЛОЙ ТРУБЫ © 2014 г. Е. И. Борзенко, О. Ю. Фролов, Г. Р. Шрагер
Томский государственный университет frolov@ftf.tsu.ru Поступила в редакцию 07.11.2013 г.
Исследуется фонтанирующее течение вязкой жидкости, реализующееся при заполнении круглой трубы. Математическую основу рассматриваемого процесса образуют уравнения движения, неразрывности и энергии с соответствующими начальными и граничными условиями с учетом зависимости вязкости от температуры, наличия свободной границы и диссипации механической энергии. Для численного решения задачи используется конечно-разностный метод. Приводятся результаты параметрических исследований кинематических характеристик потока в зависимости от определяющих безразмерных критериев. Показаны картины течения для постановок задач с различными граничными и начальными условиями. Представлены распределения скорости и температуры в разных сечениях трубы, характеристики формы свободной поверхности. Продемонстрированы разделение потока на зону пространственного течения в окрестности свободной поверхности и одномерное течение вдали от нее, изменение формы свободной границы в зависимости от уровня дис-сипативного разогрева.
Ключевые слова: круглая труба, заполнение, фонтанирующее течение, диссипативный разогрев, метод расчета, кинематика.
Б01: 10.7868/80040357114060013
ВВЕДЕНИЕ
Процесс заполнения емкостей жидкостью широко реализуется в технологических процессах различных отраслей промышленности. В частности, в производстве изделий из полимерных композиций методом литья под давлением осуществляется заполнение пресс-форм полимерной жидкостью. Фонтанирующим течением принято называть движение среды в окрестности поверхности раздела двух несмешивающихся потоков, когда одна жидкость вытесняет другую [1]. Микроструктура изделия, его механические и теплофизические свойства существенно зависят от кинематических, динамических и тепловых характеристик течения, реализуемого при заполнении [2, 3]. В общем случае течение полимерной жидкости при заполнении характеризуется сложным реологическим поведением, неизотермичностью, химическим превращением, наличием свободной поверхности. Учет перечисленных факторов в математической модели для количественного описания заполнения усложняет задачу не только с точки зрения получения ее решения, но и при формулировке и анализе критериальных зависимостей с целью прогнозирования и оптимизации процесса. В этой связи для детального исследования эффектов того или иного фактора в рассматривае-
мом процессе целесообразно в математической модели ограничиться учетом выбранного фактора.
За последние десятилетия было предпринято множество попыток качественного и количественного описания процесса заполнения, реализуемого при переработке полимерных композиций методом литья под давлением. При этом в большинстве случаев математические модели не учитывают все перечисленные особенности процесса.
В работах [4, 5] подробно обсуждается состояние проблемы на тот момент времени. Проводится анализ экспериментальных и теоретических исследований течения при заполнении в плоском и осесимметричном приближениях. Математическое моделирование использует приближенные и численные методы решения сформулированных задач. В [4, 6] отмечается, что при заполнении канала можно выделить две зоны течения: зона одномерного течения на достаточном удалении от свободной поверхности и зона фонтанирующего течения в окрестности свободной поверхности. Современный уровень исследования эволюции свободной поверхности и характеристик фонтанирующего течения обсуждается в работе [7]. Отмечается, что к настоящему времени существуют эффективные численные методы расчета течений
Рис. 1. Область решения.
жидкости со свободной поверхностью, такие как ЛЬЕ-метод [8], VOF-метод [9], метод функции уровня [10], метод конечных элементов. Использование современных численных методов позволяет реализовывать адекватные математические модели и более точно предсказывать эволюцию свободной поверхности и детали фонтанирующего течения. В статье [7] демонстрируется влияние инерции, гравитации, сжимаемости, поверхностного натяжения и условий скольжения на стенке на форму свободной поверхности, картину течения при заполнении плоского канала и круглой трубы. ?
Неизотермичность процесса заполнения емкостей полимерной жидкостью обусловливается диссипацией энергии в потоке, химическими превращениями, условиями теплообмена на границах. Интенсивность вязкой диссипации, как механического источника тепла, определяется вязкостью среды и значениями составляющих тензора скоростей деформаций. Соответствующее изменение температуры приводит к изменению вязкости, и, следовательно влияет на кинематические и динамические характеристики потока. В большинстве исследований влияние диссипативного разогрева на температуру жидкости при заполнении емкостей оценивается рассмотрением течений без учета свободной поверхности. Обзор подобных работ представлен в [11, 12]. Имеются работы, в которых исследования проводятся с учетом свободной границы [13—15]. В [15] проводится численное исследование неизотермического заполнения канала реологически сложной жидкостью, в том числе с учетом диссипативного разогрева и наличия свободной границы, с использова-
нием метода конечных элементов и технологии ЛЬЕ-метода для расчета динамики свободной поверхности. Демонстрируются поля температуры, скорости и проводится сравнение с экспериментальными результатами для полиэтилена низкой плотности.
Целью данной работы является исследование влияния диссипативного разогрева на форму свободной поверхности и кинематику фонтанирующего течения при заполнении круглой трубы с использованием оригинального численного метода, позволяющего аппроксимировать естественные граничные условия на явно выделенной свободной границе. Аналогичное исследование для течения при заполнении плоского канала представлено в [16].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается заполнение вертикальной круглой трубы несжимаемой жидкостью в поле силы тяжести с учетом диссипативного разогрева, зависимости вязкости от температуры и наличия свободной поверхности. Область течения изображена на рис. 1. Математическую основу описания течения образуют уравнения движения, неразрывности и энергии, записанные в безразмерных переменных в цилиндрической системе координат [17]:
Яе + (V • V) у) = -Ур + V • (2ВЕ) + ^т, (1) V • V = 0, (2)
Ре (|0 + (V • V) е) = А0 + С1а2Би12. (3)
Зависимость вязкости от температуры описывается выражением, являющимся безразмерным аналогом уравнения Рейнольдса [18]:
В = е "С20. (4)
Здесь V — безразмерный вектор скорости; р — безразмерное давление; ? — безразмерное время; W = {0, '} — безразмерный вектор; 9 = (Т — — Т0)/Т0 — безразмерная температура; Т, Т0 — температура жидкости в потоке и на твердой стенке соответственно; 12 = в в — безразмерный второй инвариант тензора скоростей деформаций Е; V, А — дифференциальные операторы [17]; Re = р ЦЬ/ц — число Рейнольдса; ' = рgL2/цU — параметр, характеризующий отношение гравитационных и вязких сил; Ре = срЦЬ/Х — число Пекле; С1 = = цЦ2/ХТ0 — безразмерный параметр, характеризующий соотношение диссипативного разогрева и кондуктивного переноса тепла; С2 = аТ0 — безразмерный параметр экспоненциальной зависимости вязкости от температуры; р — плотность; ц — вязкость при температуре Т0; g — ускорение силы тяжести; а — константа; с — теплоемкость; X — коэффициент теплопроводности.
g
В качестве масштабов обезразмеривания выбраны следующие величины: длины — радиус трубы L; скорости — среднерасходная скорость во входном сечении U; давления — величина цU/L, вязкости — вязкость ц.
На входной границе T задаются распределения скорости и температуры в соответствии с используемой физической постановкой:
v, = 0, v, = fir), 0 = фг). (5)
На твердой стенке Г2 выполняется условие прилипания, а температура совпадает с температурой стенки:
vr = 0, v, = 0, 0 = 0. (6)
На оси симметрии Г3 выполняются условия симметрии:
vr = 0, ^ = 0, д-Р = 0, & = 0. дг дг дг На свободной поверхности Г4 (рис. 1) в качестве граничных условий используются отсутствие касательного напряжения, равенство нормального внешнему давлению, которое без ограничения общности можно считать равным нулю, нулевой тепловой поток:
+ ^ = 0, p = 2В^, 50 = 0. (8)
ds dn dn dn
Условия (8) записаны в локальной декартовой системе координат, нормально связанной со свободной поверхностью. Движение свободной границы Г4 осуществляется в соответствии с кинематическим условием, которое в лагранжевом представлении записывается в виде
(7)
dr d,
— = v r, — = v,.
dt dt
(9)
Силы поверхностного натяжения не учитываются. В начальный момент времени труба частично заполнена жидкостью и свободная поверхность расположена на достаточном удалении от входной границы Г4, чтобы исключить ее влияние на характер течения в окрестности последней. Начальное поле скорости и температуры соответствует физической постановке задачи.
МЕТОД РЕШЕНИЯ
Для численного решения сформулированной задачи применяется конечно-разностный метод [19]. Метод базируется на использовании метода инвариантов для расчета характеристик течения на свободной поверхности [20] и методе SIMPLE для расчета искомых переменных во внутренних узлах разнесенной сетки [21]. При этом значения скоростей и температуры вычисляются с применением экспоненциальной и противопоточной схем соответственно. Согласно [20], первое из условий (8) записывается совместно с уравнением неразрывности, что позволяет использовать
схемы бегущего счета для вычисления составляющих скорости частиц-маркеров на свободной границе. Соответствующие значения давления и температуры вычисляются из разностных аналогов второго и третьего условий из (8) соответственно. Эволюция свободной поверхности определяется из разностных аналогов условия (9) с использованием схемы Эйлера. Тестирование методики расчета проводилось на задаче течения жидкости в круглой трубе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.