ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 4, с. 308-312
= ТОКАМАКИ
УДК 533.9.01
ФОРМА МАГНИТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ТОРЕ
© 2013 г. А. А. Сковорода
НИЦ "Курчатовский институт", Институт физики токамаков, Москва, Россия
e-mail:skovorod@nfi.kiae.ru Поступила в редакцию 25.05.2012 г.
Развит метод задания формы граничной равновесной магнитной поверхности в аксиально-симметричном торе, использующий модуль магнитного поля Б = Б,; (9) и модуль градиента полоидального потока |Уу| = |Уу|;(9) в специальной потоковой системе координат. Задание двух поверхностных констант (например, запаса устойчивости д и 1р/1у) и согласование зависимостей модулей магнитного поля и градиента потока из условия замкнутости поверхности позволяют определить на ней все равновесные магнитные функции (в том числе, п -V 1п Б и локального шира ;) и константы (в том числе, тороидального тока J и шира (1 ц/1у). Нетрадиционная формулировка граничных условий при решении задачи равновесия в аксиально-симметричном торе позволяет навязывать целевые требования к удержанию плазмы и МГД-устойчивости на периферии.
БО1: 10.7868/80367292113030086
1. ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известно, что аксиальная симметрия обеспечивает существование вложенной системы равновесных магнитных поверхностей при обязательности тороидального разрядного тока. Форма магнитных поверхностей при этом может быть различной и выбираемой из соображений улучшенного удержания и МГД-устойчивости плазмы. Наиболее известный пример дает геометрия токамака [1].
Один из традиционных подходов к определению геометрии равновесных магнитных поверхностей состоит в задании тем или иным спосо-
бом1 формы граничной поверхности и решении уравнения Грэда—Шафранова для полоидального магнитного потока у при заданных распределениях давления плазмы р = р (у) и полоидального тока Г = Г (у). По найденному решению рассчитываются другие параметры равновесия и МГД-устойчивость. При неудовлетворительных результатах меняют форму граничной поверхности. Такая оптимизационная процедура проводится, как правило, численно, и ее организация и результат носят во многом субъективный характер. Фактически по такой же схеме действуют и в 3Э геометрии при поиске оптимальных геометрий стеллараторов.
1 г = Г; (0), г = г5 (0), либо г = г(г), либо у, = у (г,г).
Нетрадиционный подход к заданию геометрии граничной равновесной магнитной поверхности состоит в использовании магнитных функций — модуля магнитного поля Б = Б;(0) и модуля градиента полоидального потока |Уу| = |Уу|; (0) [2]. Поскольку МГД-устойчивость, удержание плазмы и другие характеристики ловушки выражаются в магнитных величинах, то такой подход к оптимизации формы поверхностей предполагает большую степень объективности. Этот подход позволяет изучать физические пределы оптимизации.
Нетрадиционный подход основан на:
(а) фундаментальной теореме теории 3Э-по-верхностей, которая утверждает, что шесть функций % = g уф,С), к у = куф,0) — компонент первой и второй квадратичных форм поверхности, удовлетворяющих условиям положительной определенности и совместности, однозначно определяют поверхность г = г (0, С) с точностью до ее положения в пространстве [3];
(б) общих потоковом и токовом представлениях магнитного поля В для системы вложенных равновесных поверхностей, позволяющих разложить базисные векторы потоковой системы координат2 е2 = дг/д0, е3 = дг/дС, по единичному магнитному
базису Ь = В, 1 = В Х [4]. В частности, для акси-
Б Б |Уу| альной симметрии имеем выражения
2 0 - 2,; - 3.
J +
дф ее,
2пВ
e, =■
м ('+§е) t
2пВ '
ц|уф t
(1)
F
2пВ 2пВ
Здесь ф, / — тороидальные магнитный поток и ток, ф, п — периодические функции с нулевым средним значением, зависящие от выбора угловых координат, ц = -й у/й ф — вращательное преобразование. В результате для первой квадратичной формы g¡j = е;е у имеем соотношения
g 22 =■
(j+if+('+%)' и
4п2В2
g 23 =
J
g33
4п2В2 = F2 + ц2 |Уф|2 4п2В2 '
(2)
Компоненты второй квадратичной формы рассчитываются по формуле к у = п • (е; • V е у), где п = Уу/|Уу| — единичная нормаль к поверхности,
к 22 =■
( j+д-)2 к. - 2 ( J+!)(■уфт.+(,2 w 2
к n
k23 =
J 3) F к „ + ÔQ) n
4п2В2
+D - f i1+1
|Уф|т я-и (1 + |) |Уф|2 к я
4я2В2
к33 =
F к„ + 2[iF |Уфтв + и2 |Уф2 К
4я2 В2
(3)
(4)
(5)
Здесь кп = п (Ь • V) Ь — нормальная кривизна силовой линии поля Ь, кп = п (1 • V) 1 — нормальная кривизна силовой линии поля <:, т п = 1 (Ь • V) п —
кривизна K = к22кзз—к21
2 К nK n
Кручение для полей Ь и 1 на магнитной поверхности одинаково с точностью до знака. Константы обсуждаются позже.
дк
'22
дк
dZ
3
нормальное кручение .
Из соотношений (2) видно, что при выборе специальных систем координат (например, координат Бузера с ф = п = 0) первая квадратичная форма определяется магнитными функциями4 В и |Уу|. Вторая квадратичная форма тоже выражается через В и |Уу|, т.к. нормальные кривизны и кручение в формулах (3)—(5), в свою очередь, определяются магнитными функциями. Это следует из следующих фактов. Во-первых, гауссова
дк
'23
dZ
■(Г2,2 )к23 + (Г2,2 )к33 де + (г2, 3) к22 + (г2,3)к23,
(г " )5к23 + (гЬ )5к33
+ (г2,3)к22 + (Г33 3) к23'
(6)
где (Гк j ) — поверхностные символы Кристоффе-
ля, которые тоже выражаются через первую квадратичную форму, дают еще два уравнения, связывающие нормальные кривизны и кручение [3]. В результате, получаем локальные поверхностные уравнения (ЛПУР) [2]
кnKn -тП =-b • VKg -Kg +1 • Vkg -Kg, (7)
t • Vk n = -2т nKg - ( к n - Kn ) Kg - b • Vin, (8)
b -Vk n = 2t nK g - ( к n -к n ) Kg -1 • Vx n, (9)
F
где к. = -1 • V ln-
■ тп выражается
g22g33 - g23
через первую квадратичную форму. Во-вторых, уравнения совместности Петерсона—Коддаци
2пВ
геодезическая кривизна
,|vv|
силовой линии поля Ь, к. = Ь -V1и!—- — геодези-
g 2пВ
ческая кривизна силовой линии поля 1 Важно,
что геодезические кривизны выражаются через В и |Уу|. Поэтому решение системы (7)—(9) для нормальных кривизн и кручения выражается через магнитные функции.
В настоящей работе мы применим нетрадиционный подход к давно решенной теоретически и практически задаче в аксиально-симметричном торе. Этот геометрически простой, но практически важный случай позволяет понять специфику и сложности такого подхода.
2. ФОРМА ГРАНИЧНОЙ РАВНОВЕСНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
При аксиальной симметрии известна общая геометрическая параметризация поверхности в произвольных потоковых координатах 0, Z
X = г (0) cos (Z + f (0)),
y = г (0)sin (( + f (0)), (10)
z = z (0),
где f — периодическая функция с нулевым средним значением зависит от конкретного выбора координат. Параметризация (10) определяет декартовы координаты базисных векторов
e2 = г'cos(Z + f) — rf'sin(Z + f); г' sin(Z + f) + rf' cos(Z + f );z', ез = —г sin (Z + f); г cos (Z + f); 0,
(11)
z cos (Z + f)
" í
z' sin (Z + f) ,
I -2 a
\г + z
-2 .2 г + z
l
2 , '2 г + z
Первая и вторая квадратичные формы поверхности имеют следующий вид:
• 2 .2 2 _г*2 2^, 2
%22 = г + г + г / , %23 = г / , %33 = г , г'г' - г"г + гг'/'2
^22 = '■
Í
^23 =
-2 .2 г + z
кзз =
I
S.Í—, (12)
-2 .2 г + z
гz
I
2 .2 г + z
Здесь штрих обозначает производную по 8.
Для упрощения выкладок удобно выбрать систему координат с обычным тороидальным углом ^ (/ = 0) и спрямляющим силовую линию магнитного поля полоидальным углом 0, (п = 0). Из (12) следует, что в этой системе координат %23, = к23, = 0. С учетом %23, = 0 из (2) получаем
J +5ф= ^ 50, Г
где д = ц-1 — коэффицинт запаса устойчивости. Усредняя по углу, находим значение константы
J — результат усреднения магнитной функции
,
J =
2nF
J|Vy|2 d0s.
(14)
Подставляя (13) в (2)—(5), приходим к формулам
|2 „2 . i,-,. _|2
= VC = F1 + |Vy|2
82.2.S 2 833s, 833s . 2 „2
F 4n B
(15)
k22s —
— n2 Ш2k 2vvl+k'
ftK« x« + k
v f f j
4n2B2
k23s —
k33s —
4n2 B2
F2
2
k
4n2B2
VM2 - f
F |v¥|
VM2 k + 2!vm
Л
Tn k n
(16)
j
Л
F
2 K«
F
Tn + Kn
(17)
С учетом к23; = 0 из (16) получаем
К _ _|У¥|2 - Г2 Кя К" Г |У¥| Хя' Заметим, что соотношение (17) получается и как решение5 уравнений (8) и (9). Но использованный выше подход более нагляден и прост. Это особенно видно после сравнения (15), (16) с (12): 2|„ \2f\i-, |2 Л |2
-2 + ,'2 _ q lV4 ílVv|
822s _ г + z _ A 2 jx2
4n B
F2
■ +1
_ г 2 g 2
_ 2 _ F2
833s _ г _ 2 „2
4п B
|V¥|
F
у 2
+1
F2
у
к _ г'г:'' -г"^ _
k22s _ I ~ _ 2 7" x
Vr 2 + z '2 4^B
" 2 к n 2 ■ lxn + K
F
(18)
k33s _
F гz'
-2 '2 г + z
F2
4n2B2
ы
F2
к„
■2 Vsk + к.
F
Из (18) сразу видно, что цилиндрический радиус г поверхности выражается через Б и |Уу|
F Vy
■ +1.
(19)
Г2
Заметим, что эту формулу можно получить из известного представления для аксиально-симметричного магнитного поля 2пВ = Уу х У^ + ГУ^ в результате возведения в квадрат. Используя (19)
' Для этого достаточно вычесть одно уравнение из другого, выразив геодезические кривизны через магнитные функции.
0
2
в первом соотношении (18), получаем уравнение для определения цилиндрической координаты г
г ,2 = ч2 |Уу|2 ГУМ
4п2В2 V ¥2
2
+1
J
2
.11 4п2
В
-1
УЧ
V
¥2
+1
J
(20)
= г
ч2 УМ
V
J
g 22Ц + g 33
¥'
4п ч В2 |Уу| г3
ч2 - + {-)2 (-
г \г/ \г
к22 ^ + к33 ^ Ц2
^ _ g22 —
„133 _
g22Ц2 + gз3
(21)
4п2ч В2 |Уу|2 г * _
Для получения выражений кп,кп, тп через В, |Уу| используем (19), (20) и соответствующие соотношения для производных
г_ г
¥2 (
Уравнение (20) показывает, замкнутая поверхность не получается при произвольном задании периодических функций В и |Уу|. Произвольно можно задать только одну функцию, а выбор другой ограничится рамками обеспечения положительности правой части (20) с обращением в нуль хотя бы в одной угловой точке с г' = 0. Условие замкнутости поверхности (г = 0 при 0 = 0, п) записываем в виде интеграла по углам. Это дает значение второй константы. Таким образом, из трех констант /, ч, ¥ свободной остается только одна (как правило, ¥ ), которую удобно использовать для обезразмеривания магнитных величин.
Важной особенностью использованной параметризации является тождественное выполнение уравнений Петерсона—Коддаци (6),
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.