ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 5, с. 455-460
ПЫЛЕВАЯ ПЛАЗМА
УДК 533.9.01
ФОРМИРОВАНИЕ ЦЕПОЧЕЧНЫХ СТРУКТУР В СИСТЕМАХ ЧАСТИЦ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ПОСРЕДСТВОМ ИЗОТРОПНЫХ ПАРНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ © 2013 г. О. С. Ваулина*, **, И. И. Лисина*, **, К. Г. Косс*
*Объединенный институт высоких температур РАН, Москва, Россия **Московский физико-технический институт, Москва, Россия e-mail: Xeniya.Koss@gmail.com Поступила в редакцию 12.07.2012 г.
Условия формирования цепочечных структур заряженных частиц, удерживаемых в поле тяжести внешними электрическими полями, исследованы аналитически и численно. Найдены соотношения между параметрами парного потенциала межчастичного взаимодействия, количеством частиц и градиентами электрического поля ловушки. Предложен критерий, определяющий нарушение устойчивого равновесия и формирования новой конфигурации в системе, первоначально представляющей квазиодномерную цепочку частиц.
DOI: 10.7868/S0367292113050119
1. ВВЕДЕНИЕ
Формирование сильно неизотропных структур взаимодействующих частиц представляет интерес в различных областях науки и техники [1—4]. В настоящее время имеется целая группа работ, посвященных изучению условий формирования неизотропных систем как аналитически, так и численно, для получения критериев устойчивого существования монослоя взаимодействующих частиц в линейном силовом поле или же исследованию условий возникновения протяженных квазидвумерных структур, состоящих от 2 до 5—6 слоев [5—10]. Ряд работ касается формирования различных цепочечных структур, таких как одномерные цепочки или сильно неизотропные системы частиц, имеющие различные спиралевидные пространственные конфигурации [11—13]. Так, например, критерии неустойчивости бесконечной цепочки частиц, взаимодействующих с различными типами парных потенциалов, в линейной ловушке с цилиндрической симметрией рассматривались в работе [11]. А результаты численного моделирования условий формирования зигзагообразных и винтовых структур представлены в работах [12, 13].
В данной работе представлены результаты исследования формирования цепочек частиц (квазиодномерных структур), взаимодействующих с различными изотропными парными потенциалами (т.е. потенциалами, форма которых не зависит
от направления), такими как экранированный кулоновский потенциал (типа Юкавы):
и(1) = иг = (е2)2ехр(-/Д)//; (1)
и степенные потенциалы вида:
Щ) = ит = (е^2аи 1тр -1 /\т. (2)
Здесь I — расстояние между частицами, 1р — среднее межчастичное расстояние, X — длина экранирования, eZ — заряд частиц, а т = 1, 2, 3 и ат — некоторые параметрические коэффициенты. Данные модели потенциалов, включая их различную суперпозицию, широко используются для моделирования отталкивания в кинетике взаимодействующих частиц: в физике плазмы, медицине, биологии, физике и химии полимеров и других областях знаний [1—4].
В отличие от существующих исследований [11—13], в настоящей работе предлагаются простые аналитические критерии, определяющие нарушение устойчивости в одномерной цепочке взаимодействующих частиц, которые позволяют связать между собой количество пылевых частиц, параметры парного потенциала и градиенты двумерного электрического поля. Отметим, что такие соотношения полезны для анализа пылевых структур в лабораторных экспериментах. Для проверки полученных аналитических результатов было выполнено численное моделирование задачи в диссипативных системах, так как трение, возникающее в результате столкновения пыле-
вых частиц с нейтралами буферного газа, имеет большое значение в эксперименте.
Значительная часть аналитических моделей, предлагаемых в настоящее время для условий лабораторной газоразрядной плазмы, опирается на согласованное решение уравнения Пуассона и кинетического уравнения для ионной компоненты [4]. При этом распределение электронов зачастую полагается больцмановским. Практически все многообразие электростатических потенциалов ф(/), полученных в результате такого решения, приводит к простой аппроксимации для энергии парного взаимодействия пылевых частиц [4]
2
и(1) = £{щ1ехр(-/Д {) + V л (3)
I = 1
где а, Ъ; и — коэффициенты, зависящие от параметров частиц и окружающей их плазмы.
В настоящий момент наиболее распространенной аппроксимацией для описания взаимодействия пылевых частиц в плазме является модель экранированного кулоновского потенциала (1). Однако данная модель согласуется с экспериментальными и численными результатами только в том случае, когда расстояние между двумя отдельными пылевыми частицами в плазме мало: ¡< 4 Хв; здесь Хв — дебаевская длина экранирования [3, 4]. С увеличением расстояния I эффект экранирования ослабляется, и потенциал взаимодействия и для I ^ Хв может приобретать асимптотически степенной характер: и к — или и к ¡—1 [4]. Обе упомянутые асимптотики хорошо известны в теории электрических зондов и связаны с непрерывным поглощением электронов и ионов изотропной плазмы поверхностью заряженного круглого тела небольших размеров (<ХВ). Первая из них, и к Е2, реализуется в слабостолкновительной плазме, когда 1/Хв > 1, где ¡^ — длина свободного пробега ионов. Вторая (ик Н) имеет место в плазме повышенного давления ¡1 /Хв < 1 и определяется столкновениями ионов с нейтралами газа, окружающего пылевую частицу.
2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Задача об устойчивой вертикальной (или горизонтальной) конфигурации двух идентичных частиц с зарядами Q = —eZp, взаимодействующих с произвольной формой парного потенциала, находящихся на расстоянии ¡ в поле тяжести и в линейном электрическом поле Е(г, г) цилиндрической ловушки с радиальной составляющей Ег = аг
и вертикальной составляющей Е2 = Е° + Рг, рас-
сматривалась в работах [9, 10]. Здесь г = (х2 + у2)1/2 — радиальная координата, г — вертикальная координата по оси г в направлении поля тяжести, а и в — величины градиентов электрического поля, а
величина Е° определяется балансом сил, действующих в системе. В случае, когда частицы находятся в поле тяжести, скомпенсированном
электрическим полем, величина Е° определяется силой тяжести, действующей на частицу, и ее зарядом. Отметим также, что знак заряда не имеет принципиального значения; в данной работе он выбран отрицательным для удобства интерпретации полученных результатов для экспериментов с пылевой плазмой. Если первоначально конфи-гурция частиц является вертикальной (частицы расположены одна над другой), то диссипативная неустойчивость (приводящая частицы к новому — горизонтальному — устойчивому состоянию) в рассматриваемой системе будет развиваться в случае, когда градиент горизонтального электрического поля достаточно низок. Подробный вывод критерия устойчивости вертикальной (равно как и горизонтальной) конфигурации двух частиц приведен в работах [9, 10], где исследование системы уравнений движения на устойчивость приводит к следующему результату:
в%,а — 2Е/1 < 0 (4)
Здесь Е = —йи/й1 — сила межчастичного взаимодействия.
Соотношение (4) является условием неустойчивости системы и соответствует отсутствию возвращающей силы при радиальном смещении заряженной частицы, а, соответственно, приводит к качественному переходу от вертикальной ориентации частиц к новому устойчивому состоянию системы (к их горизонтальному расположению). Если учесть, что в случае вертикальной конфигурации уравнения баланса электрических сил в поле сил тяжести дают величину расстояния между частицами I = 2Е/(Р|в^|), условие (4) примет вид:
а < р. (5)
Для случая изотропного парного взаимодействия условие устойчивого существования вертикальной цепочки, содержащей N частиц, может быть найдено путем сложения радиальных составляющих градиентов сил парного взаимодействия [9, 10], как
Ир -1
а<ас = 2(^)-1 £ Е Д., (6)
1 = 1
здесь Е = Е(1 ), ¡1 — расстояние между двумя взаимодействующими частицами. Тогда, в приближении
ФОРМИРОВАНИЕ ЦЕПОЧЕЧНЫХ СТРУКТУР
457
Рис. 1. Иллюстрация формирования новой цепочки в протяженной (а) и в ограниченной (б) системе частиц.
(а)
(б)
а ~ 1.3а
а « ас
а « 0.5ас
О О
а ~ 1.3ас 1 а « ас |
о 0
♦
Р
* {
{ О
О
0 1 1 1
однородной цепочки, для которой все расстояния между ближайшими частицами равны 1р, можно
записать ^^ 1 ¥1 //, « 1 ¥(Ир)/(Ир) = ЕЕ. Следует отметить, что качественно близкий критерий был предложен в работе [11].
В приближении экранированного кулоновского взаимодействия (1) для случая к = 1р/Х > 2—3 достаточно рассмотреть только первое слагаемое в сумме и). Откуда условие устойчивого существования вертикальной цепочки примет вид:
а < 2е^(1 + к)ехр(—к)/(1р). (7а)
Простой критерий может быть получен также и для степенных потенциалов взаимодействия (2)
а < 2ameZpmAm/( I]), (7б)
где Ат = ^^ I —т + 2) — коэффициенты, зависящие от степени полинома т. Так, например, для случая т = 2, 3 при N —» да: коэффициенты А2« 1.08, а А3 ~ 1.04.
Для поиска величины градиента вертикального электрического поля в в условиях устойчивого существования конечной цепочки (Np Ф да) можно использовать теорему о вириалах [9, 10]. Тогда, в пренебрежении тепловым движением частиц, Тр —»- 0 и в приближении однородной цепочки, для величины в можно получить
Ир -1
X (1 - 1/Ир)Ир¥(Ир) в* (^р)-1^-2-Т2-^
= (е^ (И,и)/(2/„).
Здесь^ = (2^ — 1)/6, где N = N^2 для цепочки, содержащей четное количество частиц В случае цепочки, содержащей нечетное число частиц
N = (N + ^N/3, где N = N - 1)/2. Зависимость в от четности числа частиц в цепочке связана с расчетом вириала внешних сил от центра цепочки. С ростом числа частиц N различие для четного и нечетного значения N нивелируется, а fN^ N/3.
Таким образом, используя формулы (6) и (8) для оценки величины отношения а/в, критерий нарушения устойчивого положения цепочки взаимодействующих частиц может быть записан как
а < ас = (9)
где К = 4£е(Д Щ/Ъ^, и).
Иначе говоря, соотношение (9) поясняет, при каких градиентах горизонтального и вертикального электрических полей вертикальная квазиодномерная структура частиц может существовать, не разделяясь на несколько "нитей": цепочка существует до тех пор, пока градиент горизонтального электрического поля достаточно высок, чтобы удерживать ее.
гр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.