ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2012, том 52, № 5, с. 930-945
удк 519.634
ФОРМИРОВАНИЕ ВОЛНООБРАЗНЫХ НАНОСТРУКТУР НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКИХ ПОДЛОЖЕК ПРИ ИОННОЙ БОМБАРДИРОВКЕ
© 2012 г. А. Н. Куликов, Д. А. Куликов
(150000Ярославль, ул. Советская, 14. ЯрГУ) e-mail: anat_kulikov@mail.ru Поступила в редакцию 26.09.2011 г.
Рассматривается одна из популярных математических моделей формирования неоднородного рельефа на поверхности пластинки (плоской подложке) под воздействием потока ионов. Модель описывается уравнением Брэдли—Харпера, которое часто называют обобщенным уравнением Курамото—Сивашинского. Показывается, что пространственно неоднородный рельеф (наноструктуры в современной терминологии) может возникать при смене устойчивости плоского фронта обработки. При решении задачи использовался аппарат теории динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством. Сюда следует включить метод интегральных многообразий и нормальных форм Пуанкаре—Дюлака. Для построения нормальной формы был использован алгоритм Крылова—Боголюбова в модификации, позволяющей применять его для исследования эволюционных нелинейных краевых задач. Это позволило получить асимптотические формулы для решений данной нелинейной краевой задачи. Библ. 19.
Ключевые слова: нелинейная краевая задача для уравнения Брэдли—Харпера, устойчивость решения, локальные бифуркации, квазинормальная форма.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим уравнение
dh dh d2h d2h d3 h d3 h — = — v0 + у— + vx—- + vy —- + ax—- + ay-- -
d t d x dx d y dx dx dy
d4h r, d4h r, d4h fdh]2 , idti\2 , e dh d2h e dh d2h
(0.1)
"Dxxdx4 - Dyy dyУ - Dxydx2 dy2 + Yx W + Yy W + dx dx2 + ^ dx dy2'
где Н = Н(?, х, у) задает форму поверхности, на которую распыляется поток ионов. Уравнение (0.1) — это одна из наиболее популярных математических моделей процесса образования неоднородного рельефа под воздействием ионной бомбардировки. Это уравнение принято называть уравнением Брэдли—Харпера (см. [1]) или обобщенным уравнением Курамото—Сивашинского (см. [2]). Ниже в работе будет предложен один из возможных механизмов образования на поверхности мишени (подложки) наноструктур или иначе — неоднородного волнообразного рельефа.
Коэффициенты уравнения (0.1) зависят от следующих параметров задачи: угла падения потока на невозмущенную поверхность мишени, средней глубины проникновения ионов, материала подложки и т.д. Детальное обсуждение физических аспектов можно найти в [1], [2], а также обратившись к цитируемым там источникам. Физические основы теории образования наноструктур были заложены в [3]. Отметим, что особую роль здесь играет положительный коэффициент у0, который носит название коэффициента эрозии. Отметим, что Бхх, Буу, Бху > 0 и зависят от поверхностной диффузии материала. Остальные коэффициенты функции геометрических характеристик поверхности, подвергнутой обработке. Например, они зависят от угла падения потока. Так, например, если поток падает перпендикулярно поверхности, то обычно считают, что у = 0, сх = 0, сту = 0. Такой случай в дополнении с еще некоторыми физическими предположениями часто называют изотропным или квазиизотропным (см. [2]). Ниже будем считать, что ухуу Ф 0.
Уравнение (0.1) имеет решение h(t, x, y) = — v0t + v1; v1 e R. Данное решение описывает "плоский фронт" у подложки, который естественно показывает "понижение" уровня поверхности, но без образования неоднородного рельефа. Величина v1 произвольна. Например, ее можно считать равной 0, так как выбор ее зависит от выбора системы координат. Положим
h (t, x, y) = u (t, x, y) - vo t. Тогда для возмущения "плоского фронта" u(t, x, y) получим уравнение
du du д u д u д u д u — = Y — + vx —- + vy —- + ox —- + ay-- -
^ 'i-- x 2 y - 2 3 -2
^ дx дx2 дy2 дx3 дxдy2 д4u n д4u r. д4u (ды\2 . (ды\2 . дuд2u . дuд2u
(0.2)
тл UU ( I i ( UU I I £ UUU U £ UUU U
- DxxTl - DyyT! - DxyТТТг + ^Ая^) ^J ^xдxТ~2 ^yд-ZТ~2'
Эх4 ду4 д х2д у2 дх/> д у дх дх2 дх ду2
Как обычно (см. [1], [2]), уравнение (0.2) будем рассматривать вместе с периодическими краевыми условиями
и (г, х + Нх, у) = и (г, х, у + Ну) = и( г, х, у). (0.3)
Здесь Нх — длина, Ну — ширина подложки, подвергнутой бомбардировке. Ее толщина ¡¡¿^ при дальнейших построениях не играет принципиальной роли. Удобно и целесообразно произвести замену переменных
2 п 2 п
хг = — х, у: = — у, г. = ъг. (0.4)
Нх Ну
В новых переменных краевая задача (0.2), (0.3) перепишется в следующем виде:
ди ди д и д и д и д и д и д и — = а--Ь,--Ь2--а,--а2--а3--+ а,--+
д г дх л 2 % 2 ~ 4 % 4 % 2» 2 ^ 3
и1\ ил1 дх. ду! дх. ду! дх. ду, дх.
2
д3u , ( дu\2 , ( дu\2 дu (д2u^
+ й2-; + с J ^— ) + с,|—) + С31— —2
дu
+ с 4-
д x1
(я2 \ д u
(0.5)
Уд y2)
2 V-) V-) 3-
дx1 д yx д xi) Уд'Уг дxl 1^x2) u(t, x 1 + 2n, y1) = u(t, x, y1 + 2n) = u(t, x1, y1), (0.6)
где
а = уй, ь. = -Н)^, Ь2 ^, а, = ^, а2=°уЩ • аз=1 ^ , -=ч (Н)2, ^2=Щ
2пЛ3 р 2п(2пЛ2 (2п\ 31 2п(2пЛ 21
-з = ^й) • -4 = {.н) • а1 = <н)1 • а2 = "уН-(ну^у-.
Наконец, при данных заменах оказался свободным коэффициент у0. Далее будем в зависимости от удобства рассмотрения соответствующей задачи рассматривать два случая. В первом из этих случаев у0 выберем так, чтобы й1 = 1. Это означает, что у0 = Бух(2п/Нх)А. Второй возможный вариант предусматривает выбор у0, при котором = 1 (у0 = Буу(2п/Ну)4). В каждом из этих случаев замены (0.4) приводят к разным вариантам коэффициентов. Так, например, в первом из этих случаев, в силу нормировок, краевая задача рассматривается при ^ = 1, а во втором — при = 1. При анализе вспомогательной краевой задачи (0.5), (0.6) индекс 1 у новых независимых переменных х1, у1, ^ будем опускать в целях уменьшения громоздкости записи. По крайней мере там, где это не вносит двусмысленность.
Краевая задача (0.5), (0.6) имеет решения ы(1, х, у) = Н0, где Н0 — произвольная постоянная. Как обычно, такие решения будем называть однородными состояниями равновесия. Появление
неоднородного рельефа связано с наличием у краевой задачи (0.5), (0.6) решений, зависящих от х, у, которые устойчивы по Ляпунову, а значит, физически реализуемы. Один из возможных механизмов образования неоднородных по х, у решений (неоднородных диссипативных структур) — это локальные бифуркации состояний равновесия при смене ими устойчивости. В свою очередь устойчивость решений краевой задачи будем понимать в смысле нормы фазового пространства (пространства начальных условий) решений краевой задачи (0.5), (0.6). В данном случае удобно
и целесообразно считать, что u(0, х) = f(x) е H — пространство Соболева (см. [4]) 2я-периоди-ческих по х, у функций, у которых обобщенные частные производные до четвертого порядка включительно интегрируемы с квадратом на множестве D = {(х, у) : х е [—я, я], у е [—я, я]}.
1. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
Для исследования устойчивости состояний равновесия u(t, х, у) = u0 в первом приближении следует рассмотреть линеаризованную краевую задачу на любом из них, т.е. краевую задачу (0.5), (0.6), в которой отброшены нелинейные слагаемые, имеющие в нуле порядок малости выше первого. Итак, рассмотрим вспомогательную краевую задачу
д u/dt = Au, (1.1)
u(t, x + 2n, y) = u(t, x, y + 2n) = u(t, x, y), (1.2)
где линейный дифференциальный оператор
52 л2 ^^ ^^ >*ч4 ^ 3 3
v , д v д v , д v , д v , д v , д v , д v av = — b1—- - b2—---- - d2—- - d3—-—- + a--+ a1—- + a2--
дх ду дх ду дх ду дх дх дхду определен на гладких функциях ^х, у), имеющих по переменным х, у период 2я.
Пусть X — собственное значение (СЗ), а ^х, у) — собственная функция (СФ) линейного дифференциального оператора (ЛДО) A
Лемма 1.1. Оператор A имеет СЗ
X = X(n, k) = (b1 n2 + b2k) - (n + d2k4 + d3n2k2) + ian - ia1ri - ia2nk2, каждому из которых отвечает СФ
еп,к(х,у) = exp(тх + iky), n, k е Z.
Доказательство стандартно и опирается, в частности, на полноту ортогональной системы функций вщк(х, у) в пространстве L2(D). Среди СЗ могут быть и кратные, если, конечно, существуют такие пары (k1, и1), (k2, n2), что X(n1, k1) = X(n2, k2). Отметим, что X(0, 0) = 0. Понятно, что если ReX(u, k) < 0 при всех k2 + n2 Ф 0, то любое из состояний равновесия краевой задачи (1.1), (1.2) устойчиво, но не может быть асимптотически устойчиво, так как в любой окрестности произвольного состояния равновесия есть иные, отличные от него.
22
Пусть существует хотя бы одна пара целых чисел (n0, k0), n0 + k0 Ф 0, для которых ReX(n0, k0) > 0. Тогда состояния равновесия u^, у) = const неустойчивы. Критические случаи выделяются следующими условиями:
1) при всех n, k справедливы равенства ReX(n, k) < 0,
22
2) существуют такие n = n0, k = k0, что ReX(n0, k0) = 0, n0 + k0 Ф 0.
Подчеркнем, что в нашем случае Re X(n, k) = b1n2 + b2k2 — n4 — d2k4 — d3k2n2. Поэтому условия устойчивости приобретают вид двух неравенств: b1 < 1, b2 < d2. Следовательно, можно выделить три критических случая:
1) bi = 1, b2 < d2, 2) bi < 1, b2 = d2, 3) bi = 1, b2 = d2.
При проверке последних утверждений следует учитывать, что d2, d3 > 0.
В первом случае ЛДО A имеет три СЗ, у которых ReX(n, k) = 0:
X(0, 0) = 0, X(±1, 0) = ±i®, ю = a - a1. Им отвечают СФ e0 0(х, у) = 1, е±1 0 (х, у) = exp^^) соответственно.
Во втором случае имеет место трехкратное нулевое СЗ. Этому СЗ отвечают три СФ:
ео, о(х, у) = 1, ео>±1 (х, у) = ехр(±/у).
Наконец, в третьем случае имеем пять вариантов, при которых Яе X = 0:
Х(0, 0) = 0, Х(о, ±1) = ±/ю, Х(0, ±1) = 0.
Им соответствуют СФ е0,0(х, у), е±1,0 (х, у), е0,±1 (х, у). В последнем случае на мнимой оси находится трехкратное нулевое СЗ и одна пара простых чисто мнимых СЗ, равных ±/ю (ю Ф 0). Положим Ъ1 — 1 = б, |е| 1. Введем в рассмотрение ЛДО (Ь2 < ^2)
V , д V д V , д V , д V , д V , д V , д V
-1(6) V = - (1 + 6) —- - ¿2-—---4 - d2—4 - ¿3—2-2 + а — + 01—- + Й2-
222 4 24 - 22 1-2 2'
дх ду дх ду дх ду дх дх дхду
где гладкая функция v(x, у) удовлетворяет периодическим краевым условиям. Если возможна реализация второго варианта, то рассмотрим ЛДО
52 л2 л4 л4 ^ч 3 3
V / > , \д V д V , д V , д V , дV , д V , д V
Л2(6) V = - ¿1 - - (¿2 + 6) —---4 - ¿2—^ - ¿3—2—2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.