ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2014, том 54, № 2, с. 336-351
УДК 519.634
ФОРМУЛИРОВКА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА СТЕНКЕ В РАСЧЕТАХ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ
© 2014 г. К. Н. Волков
(Университет Кингстона, Лондон, SW15 3DW, Великобритания) e-mail: k.volkov@kingston.ac.uk Поступила в редакцию 13.05.2013 г.
Обсуждаются особенности постановки и численной реализации граничных условий на стенке в расчетах турбулентных течений на неструктурированных сетках. Предлагается способ реализации слабых граничных условий на стенке при конечно-объемной дискретизации осред-ненных по Рейнольдсу уравнений Навье—Стокса на неструктурированных сетках. Возможности разработанного подхода демонстрируются на примере решения ряда задач газовой динамики в сравнении с методом пристеночных функций. Исследуется влияние пристеночного разрешения стенки на точность расчетов и сравнивается сеточная зависимость решения при использовании метода пристеночных функций и слабых граничных условий. Библ. 17. Фиг. 11. Табл. 3.
Ключевые слова: граничные условия, турбулентность, неструктурированная сетка, метод конечных объемов, пристеночные функции, численное решение уравнений Навье—Стокса.
DOI: 10.7868/S004446691402015X
1. ВВЕДЕНИЕ
В расчетах турбулентных течений широко используются модели, основанные на решении осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье—Стокса (Reynolds-averaged Navier— Stokes, RANS). Вопросы их замыкания решаются на различном уровне сложности, а модели турбулентности обычно классифицируются по числу дифференциальных уравнений, вводимых в дополнение к уравнениям изменения количества движения и теплопереноса. Среди дифференциальных моделей турбулентности широкое распространение получили модель Спаларта—Аллмараса (см. [1]) и k—б модель (см. [2]), а также их различные модификации (см. [3]).
Уравнения модели Спаларта—Аллмараса и k—s модели в формулировках из [1], [2] пригодны для описания высокорейнольдсовых течений (вдали от стенки). Для моделирования течений в пристеночной области обычно применяется метод пристеночных функций. В методе пристеночных функций вязкий подслой и переходная область пограничного слоя не разрешаются, а описываются полуэмпирическими формулами (пристеночными функциями). Улучшение точности достигается при помощи решения упрощенных уравнений пограничного слоя в пристеночном контрольном объеме (см. [4]).
Для гибкого описания областей сложной геометрической конфигурации, характерных для многих приложений, развиваются численные методы на неструктурированных сетках. Расчеты турбулентных течений на неструктурированных сетках в совокупности с методом пристеночных функций демонстрируют существенную зависимость решения от шага сетки вблизи стенки.
Для нормальной скорости на стенке, как правило, используется граничное условие непротекания vn = 0, а для касательной — условие прилипания vT = 0 (жесткие граничные условия). Несмотря на то что постановка условия скольжения на стенке vT Ф 0 (слабые граничные условия) противоречит физической реальности (разреженные течения не рассматриваются), такой подход используется в вычислительной практике, но, в основном, при дискретизации уравнений Навье—Стокса по методу конечных элементов (см. [5]). Влияние стенки на поток учитывается в виде сеточных напряжений сдвига и дополнительной сеточной генерации турбулентности за счет отличия профиля касательной скорости от логарифмического распределения около стенки (см. [6], [7]).
При постановке слабых граничных условий условие непротекания для нормальной скорости сохраняется (vn = 0), а касательная скорость рассчитывается исходя из сдвиговых напряжений на стенке Ф 0).
В данной работе рассматриваются способы постановки и численной реализации слабых граничных условий на стенке в расчетах турбулентных течений на неструктурированных сетках. Обсуждаются достоинства и недостатки метода пристеночных функций, а также особенности его реализации для модели Спаларта—Аллмараса и к—б модели. Предлагаются способы реализации слабых граничных условий в рамках конечно-объемной дискретизации осредненных по Рей-нольдсу уравнений Навье—Стокса. Возможности разработанного подхода демонстрируются на примере решения ряда модельных задач. Показывается влияние пристеночного шага сетки на точность расчетов, и исследуется сеточная зависимость решения при использовании метода пристеночных функций и слабых граничных условий.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В декартовой системе координат (х, у, ¿) нестационарное течение вязкого сжимаемого газа описывается уравнением
80 дГх 8Гу п
— + —- + —- + —- = 0.
д ? дх ду д-
(1)
Уравнение (1) дополняется уравнением состояния совершенного газа:
Р = (У - 1)Р
I, 2 2 2 " е - 2 ( V + ^ + V)
Вектор консервативных переменных 0 и векторы потоков ¥х, ¥у, имеют следующий вид:
0 =
( \ р
Р V
Р^у
Р V
V р е у
Рх =
Р^х
Р^х V + Р - Тхх Р ^ ^ - Тху Р^х V- - Тх-(Ре + Р) vx - Vтхх - vyТху - ^Тх- + Ях у
Ру =
С \
Рvy
Р ^ Vx - Тух
Р VyVy + Р - Туу
Р VУ V - V
(Ре + Р) ^ - VТух - Vтуу - v-Ту- + Яу
р. —
с \
р V
р^х - Т.х р^у - т.у
р V. V. + Р -
(ре + р) V.- - чут.у - у.т.. + д.,
Компоненты тензора вязких напряжений и составляющие вектора теплового потока находятся из соотношений
д V, 1 2 5 Vк ^
7 "•"Т" "-""к
^ — [ — - " + — - - 2 —- - к ^ 1 д _ ^ 5 Т " е ^дх, дх, 3 дхк у)' " е дх
Здесь ? — время; р — плотность; vz — составляющие скорости в координатных направлениях
х, у, г соответственно; p — давление; e — полная энергия единицы массы; T — температура; у — отношение удельных теплоемкостей.
Уравнение (1) пригодно для описания как ламинарных, так и турбулентных течений. При моделировании турбулентных течений уравнение (1) дополняется уравнениями модели турбулентности, а молекулярные коэффициенты переноса заменяются их эффективными значениями
И _ И + Иг, ^е _ + ) ,
где ср — теплоемкость при постоянном давлении. Молекулярному и турбулентному числам Прандтля присваиваются постоянные значения (для воздуха Рг = 0.72, Рг, = 0.9).
Для получения значений молекулярной вязкости в зависимости от температуры используется закон Сазерленда
_ с п3/2 Т* + Л—
И *
Т^ Т + & '
где и* = 1.68 х 10 5 кг/(м сек), Т* = 273 К и = 110.5 К для воздуха.
3. МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Для замыкания осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье—Стокса, записанных в виде (1), используются модель Спаларта—Аллмараса и к—б модель.
3.1. Модель Спаларта—Аллмараса
Модель Спаларта—Аллмараса в дополнение к уравнениям (1) предполагает решение уравнения переноса рабочей переменной V , являющейся аналогом турбулентной вязкости (см. [1]):
^ + (рV — 1 {У[(И + рV^] + сирVV •VV} + ^. д г а
(2)
Источниковый член в уравнении (2) учитывает генерацию и диссипацию турбулентной вязкости
^ — смр^ - с/ - к /^
4 у ' к.
генерация ч_^^_
диссипация
где d — расстояние от центра контрольного объема до ближайшей стенки. Рабочая переменная V связана с турбулентной вязкостью при помощи соотношения V, = V . Член производства турбулентности моделируется соотношением
Б = ^з +
к й
Источниковый член вычисляется на основе величины завихренности
$ = |Щ| = (2^АУ)1/2, о„ = 1(^ - ^.
11 v 1 1 11 2 Чдх1 дх/
Для обеспечения корректного поведения рабочей переменной в логарифмическом слое (V = куит) вводится демпфирующая функция
и =
з
X у = V
3 3 ' V
X + ^ 1 V
Функции/ч2 иимеют вид
и = 1 --
X
, Аз = 1.
1 + х/ 1
Функция/„ играет роль во внешней области пограничного слоя:
Л =
л 6 у/6
1 + С„ з
6 6 Ч? + С^
= Г + С„2 (Г6 - Г) , Г = V
22 К2 й Б
Функция gвыступает в качестве ограничителя, предотвращая завышенные значенияПараметры г иравны единице в логарифмическом слое и уменьшаются во внешней области. Постоянным модели присваиваются значения: сЬ1 = 0.1355, сЬ2 = 0.622, а = 2/3, сч1 = 7.1, ск1 = сЬ1/к2 + (1 + + Сь2)/а, с^ = 0.3, с^ = 2.0, к = 0.42.
3.2. Диссипативная модель
В к—б модели турбулентности в дополнение к уравнениям (1) решаются уравнения переноса кинетической энергии турбулентности и скорости ее диссипации, которые имеют вид (см. [2])
д р к
дг
+ (ру • V) к = V
ц +
ц-ы
а/
+ Р- ре,
(3)
др^ + (ру = V
дг
ц + ^е" а/ .
+ -( СЕ1Р - Се2 ре). к
(4)
Турбулентная вязкость вычисляется по формуле Колмогорова—Прандтля ц, = с^рк2/б. Постоянным модели присваиваются значения: сц = 0.09, ак = 1.0, сте = 1.3, се1 = 1.44, се2 = 1.92.
В модели из [2] член производства турбулентности находится из соотношения
Р
= ц,|$, Б = (1)'», = 1 (^ + дх-).
Для учета вращения потока вводится поправка Като—Лаундера к слагаемому, описывающему порождение турбулентности (см. [8])
Р = ЦгБ 1/2| Щ1/2, |Щ = (2Q.jjQ.ji)1/2, О, = 2 - дх).
Модификация к—s модели для течений с кривизной линий тока заключается в коррекции полуэмпирических постоянных путем их умножения на некоторые поправочные функции, зависящие от турбулентного числа Ричардсона (см. [9]).
4. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
Для дискретизации уравнений Навье—Стокса, записанных в виде (1), используется метод конечных объемов на неструктурированной сетке (см. [10]).
В качестве контрольного объема используется среднемедианный контрольный объем, центрированный относительно узла. Для дискретизации по времени применяется метод Рунге-Кут-ты 5-го порядка. Дискретизация невязких потоков осуществляется при помощи схемы MUSCL (monotonie upstream schemes for conservation laws, монотонная противопоточная схема для законов сохранения), а вязких потоков — центрированная схема 2-го порядка точности. Схема MUSCL позволяет повысить порядок аппроксимации по пространственным переменным без потери монотонности решения, удовлетворяет условию TVD (total variation diminishing) и представляет собой комбинацию центрированных конечных разностей 2-го порядка и диссипатив-ного члена 4-го порядка, для переключения между которыми служит ограничитель потока, построенный на основе характеристических переменных. Нахождение градиента и псевдолапласиана в серединной точке грани контрольного объема производится на основе соотношений, приспособленных для расчетов на сильно растянутых сетках, используемых в пограничном слое (см. [10
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.