ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2010, том 73, № 6, с. 1106-1119
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
ФРАГМЕНТАЦИЯ ТЯЖЕЛОГО КВАРКА
© 2010 г. А. В. Бережной1^, А. К. Лиходед2)**
Поступила в редакцию 20.07.2009 г.
Рассмотрены основные типы параметризаций для функции фрагментации тяжелого кварка. Найдены кинематические границы применимости фрагментационной модели. Оценены величины нефрагментационных вкладов в рождение тяжелых мезонов.
1. ВВЕДЕНИЕ
Изучение процессов рождения адронов, содержащих тяжелые кварки, является крайне существенным для понимания КХД. Основная сложность теоретического описания таких процессов заключается в том, что теория возмущений КХД оперирует с кварками, в то время как экспериментально наблюдаемыми состояниями являются адроны. Это противоречие сглаживается при больших энергиях и поперечных импульсах, где, согласно теореме о факторизации, процесс рождения тяжелого адрона можно представить как жесткое рождение тяжелого кварка с его последующей мягкой адронизацией. При этом зависящее от процесса сечение рождения тяжелого кварка определяется теорией возмущений КХД, а адронизация описывается так называемой функцией фрагментации, которая зависит только от типа адрона и аромата тяжелого кварка. В результате выражение для сечения рождения адрона принимает следующий простой вид:
dahadr(x, д2)
(1)
dx
d<7mvk{z, Q2)D dz_ dz \zJ z '
где х — доля импульса, уносимая адроном; г — доля импульса, уносимая кварком; д2 — энергия взаимодействия, а О — функция фрагментации.
Изучение процесса адронизации тяжелого кварка при больших энергиях помимо самостоятельного значения имеет также и прикладное. Например, точное знание спектра В-мезона оказывается существенным при определении массы ¿-кварка по инвариантной массе трех лепто-нов, два из которых появляются от распада
!)НИИЯФ МГУ, Россия.
2)ИФВЭ, Протвино, Россия. E-mail: aber@trtk.ru E-mail: Anatolii.Likhoded@ihep.ru
7/^-мезона, а третий — от распада Ш [1]. Помимо процесса фоторождения, процессов адронного и нейтринного рождения тяжелых адронов можно указать распады с большим энерговыделением, для описания которых также важно знать функцию фрагментации Ь-кварка:
г — ЬЬ — Ь hadron + X,
г — ЬШ — Ь hadгon + X,
Н — ЬЬ — Ь hadгon + X.
Если при вычислении ширин распадов или полных сечений образования достаточно воспользоваться фиксированным числом членов пертурба-тивного ряда, то при описании инклюзивного распределения необходимо учитывать члены, отвечающие коллинеарному излучению, что требует суммирования во всех порядках теории возмущений. Естественно, это приводит к зависимости формы функции фрагментации от шкалы взаимодействия.
2. ПЕРТУРБАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ ФРАГМЕНТАЦИИ
Функцию фрагментации можно представить как свертку пертурбативной и непертурбативной частей:
1
/(г / х\
Ы АюпрегК*)- (2)
х
Пертурбативная часть отвечает излучению тяжелым кварком безмассовых партонов, которое описывается уравнениями эволюции Док-шицера—Грибова—Липатова—Алтарелли—Паризи (ДГЛАП) [2], в то время как непертурбативная часть отвечает непертурбативному переходу тяжелого кварка в адрон. До определенной степени такое разделение является условным, однако, как мы покажем ниже, во фрагментационной функции обязательно есть непертурбативная составляющая, зависящая не только от аромата тяжелого кварка, но и от типа образующегося адрона.
1
x
Было бы естественным предположить, что начальным условием для эволюции пертурбатив-ной части фрагментационной функции в рамках уравнений ДГЛАП является дельта-функция: А™^ (х) = 5(1 — х). Если сечение рождения начального партона вычисляется в ведущем порядке теории возмущений (глюоны не излучались), то это предположение верно. Ситуация усложняется при переходе к следующим порядкам. Дело в том, что, как правило, в рамках описываемого подхода массой кварка в сечении рождения пренебрегается и предполагается, что рождается безмассовый партон, который переходит в массивный, а уже последний превращается в конечный адрон [3, 4]. При этом достигается разделение масштаба взаимодействия /р ~ О и масштаба порядка массы кварка т, а логарифмическая зависимость пар-тонного сечения от массы в обсуждаемой модели переносится в начальное условие для функции фрагментации. Членами 0(а^т/О)Р), р > 1, при таком переносе пренебрегается. Подобное перераспределение зависимости можно представить в виде свертки:
1 (¿<Тта55;те
а йх
1
йх 1 йаша881е88
(х; О2, т2) =
(3)
а
йг
ия
рей I -;
т+о
В качестве примера рассмотрим рождение прелестного адрона в пике Z0-бозона (О = тго). Сечение рождения безмассового партона в порядке, следующем за ведущим, выражается формулой
—)
мз
а
йх
(4)
1 +
п
3
4
х\ ¿(1 - х) +
as(ц2R)CF
п
1
3
1х
+
4(1 - х)+
+
, as(/А)Ср ) 1+х2 1 + х Н----{ -- Ш X--;- X
п
1х
1п(1 -х)
а распределение по той же переменной для 6-кварка с массой т в этом же порядке имеет следующий вид:
1 йата88[уе
а
йх
= 5(1 — х) +
(5)
+
а3(ц2к)СР | 1
7Г | 2 1п(1 — х)
1+х'
2
1 т% 1п -7Г
1х
1-х
7 1 + " 4(1-Ж)+
т2
+
п
+ (- -2)г(1-ж) +
+
1+х2
1х
1п х +
+ о
1 + х 2
7 — х
т V mz )
1п(1 — х) +
+
Учитывая связь (3) между выражениями (4) и (5), можно получить вид начальной функции фрагментации:
АрПей(х; as(/0R),/0R, > т2) = (6)
= 5(1 — х) +
п
!+х2 Л ь
1 — х \ 2 т
2
— 1п(1 — х) —
+ 0(а2).
+
В данном случае формула (6) получена исходя из выражений для конкретного процесса, однако известно, что вид начальной функции фрагментации от процесса не зависит [5].
Взяв в качестве начального условия функцию (6) на шкале /0р ~ т, с помощью уравнений эволюции можно получить пертурбативную функцию фрагментации на шкале /р ~ О, учтя тем самым поправки на излучение. Следует отметить, что при этом всегда подразумевается, что as 1п(О2/т2) < 1 и т/О < 1. Как уже говорилось, описанный выше подход не позволяет учитывать члены порядка 0(а^т/О)Р), р > 1. Кроме того, сингулярности в начальном условии для функции фрагментации являются причиной того, что в результате эволюции функция фрагментации при х, близких к 0 и 1, принимает отрицательные значения, не имеющие физического смысла. Использование уравнений ДГЛАП с ядром в следующем за ведущим порядке и с начальным условием в виде (6) позволяет учесть ведущие и следующие за ведущими коллинеарные логарифмы
х
г
X
X
Р
х
X
1
X
X
X
X
1108
бережной, лиходед
а 1п(О2/т2)п и а'п 1п(О2/т2 )п-1). Уместно напомнить, что логарифмы появляются при интегрировании поперечных импульсов излученных безмассовых адронов в диапазоне от т2 до О2:
а31п —7 = а3
32
т2
йк\
(7)
При этом ведущий вклад порядка п обусловлен областью фазового объема, упорядоченной по поперечным импульсам излученных партонов:
к±1 > к±2 > ...> к±и. (8)
Интегрируя по этой области, легко находим:
Я2
(к2 1 к1
(к2 2 к2
ь.2
к± п
П!
т2
(9)
При расчетах формы функции фрагментации на заданной шкале расщеплением глюонов на дополнительную пару тяжелых кварков обычно прене-брегается (так называемое несинглетное приближение), что позволяет в следующем за ведущим порядке по константе сильного взаимодействия ограничиться лишь одним уравнением ДГЛАП:
-0(х,/лр) =
(1п Цр
(10)
(г
где
Р (х,а3(цр)) =
2тг
Р0(х) +
»ыу
2тг )
Р 1(х),
где
) = J йххи 1 О(х,цР)
Р (К,а3(рр)) = У (ххИ-1Р (цр)). 0
Существование аналитических выражений для образов функций расщепления Р0(х) и Р 1(х) позволяет аналитически решить уравнение (11) [3, 6]:
(цр) = ОДйР) ехр \ Р\У)г + (12)
1 О2
+
4^2Ь(
■(а(^2р) - аз(цр))
(1) 27Г&1 (0) м Ъ0 м
где
г =
27Г60 <^(/40 :
1п
а Ь0 определяется количеством типов кварков nf, активных на данной шкале:
Ь0 =
33-2 та/ 12тт
а Р0 (х) и Р 1(х) — функции расщепления кварка в кварк и глюон в ведущем и следующем за ведущим приближениях соответственно. Именно указанное выше уравнение и позволяет просуммировать логарифмические вклады вида а™(ир) 1пга () и
Переход к пространству моментов Меллина в уравнении (10) позволяет заменить интегрирование в правой части на умножение:
= Р (Ы, а3(цр)) В(Ы,цр),
Если при малых и средних значениях х основную роль в эволюцию функции фрагментации вносит излучение коллинеарных глюонов, приводящее к появлению больших логарифмов аП 1п(О2/т2)п и аП 1п(О2/т2)п-1, то при х — 1 основную роль начинают играть мягкие глюоны. Излучению последних отвечают члены вида а3/(1 — х) и а3[1п(1 — х)/(1 — х)] + в начальном условии для функции фрагментации и в коэффициентной функции (т.е. в сечении рождения безмассового пар-тона). Их ресуммирование приводит к появлению больших логарифмов вида
а„
1пк(1-х) 1х
(13)
+
(п = 1, 2,..., то, к = 0,1, 2,...,2п — 1),
называемых пороговыми. Обычно ресуммирование проводится в пространстве Меллина, где образы вкладов а3/(1 — х) и а8 [1п(1 — х)/(1 — х)] + при больших N (что соответствует х ~ 1) ведут себя как 1п2 N. Суммирование ведущих и следующих за ведущими логарифмических вкладов ~аП 1пп+1 N и ~аП 1пп N в коэффициентную функцию выполнено в работе [5]. Так как начальное условие для
0
1
2
т
2
к
1
2
2
2
т
т
т
1
г
х
функции фрагментации тоже содержит компоненты, отвечающие излучению мягких глюонов, то в рамках описываемой модели также требуется ре-суммирование, которое в работе [5] и выполнено с той же точностью, что и для коэффициентной функции.
Результат ресуммирования вкладов коллинеар-ных и мягких глюонов представлен на рис. 1 для спектра 6-кварков от распада бозона Хиггса с массой 120 ГэВ [7]. Видно, что спектр 6-кварков без суммирования вклада мягких глюонов имеет острый пик при х — 1, а после суммирования вклада мягких глюонов в следующем за ведущим приближении становится мягче с характерным су-даковским пиком при х — 0.97. В указанном приближении пертурбативная функция фрагментации отрицательна при х — 0 и х — 1, что связано с вкладами а31пх и а31п(1 — х), которые пока не удается корректно просуммировать.
Пертурбативная функция фрагментации, сконструированная описанным выше способом суммирования ведущих логарифмических вкладов, обнаруживает слабую зависимость от выбора начальной шкалы /ор в пределах т/2 < /ор < 2т и о
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.