ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2008, том 42, № 2, с. 231-235
УДК 532.546;62-405.8
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОПРАВКА В КЛАССИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ СРЕДНЕЙ СКОРОСТИ ПОТОКА В ГРАНУЛИРОВАННОЙ, ПЛОТНО УПАКОВАННОЙ СРЕДЕ
© 2008 г. А. В. Сандуляк, А. А. Сандуляк, В. А. Ершова
Московский государственный технический университет "МАМИ"
a.sandulyak@mail.ru Поступила в редакцию 29.05.2007 г.
На основании новой капиллярной модели пор гранулированной среды, последовавшей из модели дробных ячеек такой среды, показана необходимость в уточнении классической связи между средней фактической скоростью потока в порах и формальной скоростью фильтрования - при значении пористости не менее, чем пористость среды с кубической упаковкой гранул. Найдены индивидуальные значения и функциональный (зависящий от пористости среды) степенной вид соответствующей поправки, приводится уточненная, позволяющая избегать ощутимой систематической погрешности (6-10%), связь между фактической и формальной скоростями для реальных, обычно уплотненных, сред.
В теории и практике течения жидкостей и газов в гранулированных (зернистых) средах весьма широко используются такие характеристики, как средняя скорость в порах у и так называемая скорость фильтрования у.
Между фактической скоростью V и формальной скоростью у (по существу она соответствует скорости набегающего на фильтрующую среду потока) обычно принимается следующая связь:
у
= Y.
ю'
(1)
Однако анализ показывает, что связь между у и у в классическом виде (1), в котором своеобразным переходным параметром выступает пористость среды ю, не является универсальной. Она справедлива лишь частично - для случая, когда гранулированная среда упакована не плотнее кубической структуры (часто используемой как модельной), характеризуемой пористостью ю = 0.48 и плотностью упаковки у = 1 - ю = 0.52. Именно при ю > 0.48 поры такой среды можно считать "выпрямленными" настолько, что длина каждой из многочисленных пор соответствует длине (толщине) пористой среды.
Для гораздо же большей части случаев, когда приходится иметь дело с несколько уплотненными средами (в частности, засыпками гранул с у = 0.60.64), в которых реальные поры неоспоримо являются извилистыми, классическая связь (1) между у и у, по нашему мнению, должна быть уточнена.
В основу доказательства такого утверждения может быть взята капиллярная модель гранулированной среды, оригинальный взгляд на которую изложен в работах [1, 2]. Так, поры-трубки
этой среды предлагается "формировать" из порово-го объема объективно дробных ячеек специально смоделированной структуры гранулированной среды [1-4], отличной от других расчетных моделей, в частности [5-8] (вообще же модельное структурирование гранулированных сред и их поровых пространств признается сложной задачей [9]).
Применительно к известным упорядоченным упаковкам шаров такими дробными ячейками являются условно вырезаемые из гранулированной среды параллелепипеды (в самом общем случае, кроме кубической ячейки - скошенные), вершины которых находятся в центрах восьми соседних шаров (рис. 1). При этом ячейка-параллелепипед имеет длину ребра, равную диаметру гранулы-шара й, в нее входят восемь дробных частей "разрезанных" шаров и, что примечательно, эти части по совокупному объему составляют вместе один целый шар.
Следовательно, любая из таких ячеек поддается простому, полному и точному расчету с определением ее необходимых геометрических параметров, а также нахождением таких ключевых характеристик, как объемная доля материала гранул в ячейке (отношение объема шара к объему ячейки-параллелепипеда) и объемная доля порового пространства в ячейке. Стало быть, легко доступной становится информация о плотности упаковки гранул у и пористости ю, причем не только для той или иной ячейки. Автоматически эти параметры характеризуют и гранулированную среду в целом, поскольку каждая из таких дробных ячеек действительно выступает как элементарная полноправная министруктура всей среды, формирующейся из таких же ячеек по строго кратному "блочному" принципу.
Рис. 1. Иллюстрация кубической (а), квадратно-ромбической (б) и ромбической (в) ячеек, "вырезаемых" из соответствующих упорядоченных структур шаров. Здесь же показано условное преобразование реальных звездообразных пор ячеек в выпрямленные и скошенные поры-трубки.
В этой связи следует отметить, что сам подход, выразившийся в моделировании гранулированной (с упорядоченной упаковкой шаров) среды именно в виде дробных ячеек, вполне оправдан: он продиктован необходимостью соблюдения фундаментальных принципов модельного структурирования дискретных сред с пространственной повторяемостью (когда существует ближний и дальний порядки расположения ее составляющих). Так, ячейка любой дискретной структуры должна быть такой "элементарной" единицей ячеечно-блочной структуры этой среды, в которой все ячейки не только строго идентичны, но и идеально "состыковываются" между собой во всех направлениях без образования зазоров и взаимных перекрытий. Отсюда ясно, что структурно выделить в полишаровой среде полноценные ячейки на базе одного целого шара или групп целых шаров, обычно склонных ко "вза-имоперекрывающему" шахматному расположению, просто невозможно, даже в случае, когда шары одинаковы и произведена их упорядоченная упаковка по любому из известных типов. Исключение составляет лишь идеальная кубическая упаковка, для которой такой прием легко осуществим из-за исключительно коридорного расположения шаров (кстати, этот прием моделирования, как первое приближение к реальной гранулированной
среде, широко используется при решении многих задач).
На рис. 1 приведена наглядная иллюстрация трех видов дробных ячеек, а именно: кубической, квадратно-ромбической и ромбической, "вырезаемых" из соответствующих упорядоченных структур шаров (такие дробные ячейки-параллелепипеды, за исключением традиционной в подобных случаях кубической ячейки, целесообразно именовать с учетом их геометрических особенностей: наличия квадратных, ромбических граней, направления "скоса"). Остальные два вида ячеек, такие, как ромбическая диагональная и квадратно-ромбическая диагональная, можно получить из ромбической (рис. 1в) и кубической (рис. 1а), если их "сместить" по направлению диагональной плоскости ячейки-параллелепипеда. При этом "верхний" шар ячейки соответствующей структуры шаров попадает в потенциальную яму соответственно между тремя и четырьмя "нижними" шарами.
На рис. 1 демонстрируется также условное преобразование реальной звездообразной поры, содержащейся в ячейке, в эквивалентную ей (по объему) пору. При этом анализируются два варианта.
Первый (фиктивный для скошенных ячеек) -поры "выпрямлены", т.е. длина поры 10 соответствует высоте ячейки Нс. Сама же величина Нс для ячеек с одинаковыми гранями площадью 8с явля-
Таблица. Основные характеристики кубической (К), квадратно-ромбической (КР), ромбической (Р), ромбической диагональной (РД) ячеек упорядоченных гранулированных сред и пор-трубок этих сред
Характеристики ячеек Характеристики пор в ячейках Поправочный коэффициент кю = ^0п(Асю
Тип, пористость, ю Объем Ус Площадь грани, Sс Объем, У0 = Ус® Длина, 10 = УД: или 10 = й Среднее сечение, So = У0/10 Диаметр, й0 = ^/гс)05 Число, п0 = Sx/Sc
1 2 3 4 5 6 7 8 9
К 0.477 й3 й2 £3ю й й сРю сРю 0.78й 0.78й Sx й2 1 1
КР 0.396 73 й 3 2 0.96^ 73 й3 ю 2 0.91й й 0.96й2ю 73 йю 2 0.69й 0.66й 1.05 Sx й2 1 0.91
Р 0.302 3йъ 4 73 й2 2 3й3ю 4 73 й 2 й 73 й2ю 2 3 й2ю 4 0.58й 0.54й 2 S х 73 й2 1 0.87
РД 0.26 / 72 73 й2 2 ,3 й ю 72 а й 73 й2ю 2 й ю 72 0.54й 0.48й 2 S х 73 й2 1 0.82
Примечания. Позиции 5-7 и 9 - двойные: с данными для выпрямленных (вверху) и скошенных (внизу) пор.
ется геометрически однозначной, а для ячеек со смешанными гранями - усредненной, вычисляемой, в частности, как Нс = 10 = Ус/£с при известном объеме ячейки Ус и средней площади грани £с.
Второй (реальный для скошенных ячеек) -поры скошены (а для всей гранулированной среды - извилистые), т.е. длина поры 10 соответствует длине ребра ячейки й.
В таблице (позиции 1-3) сведены необходимые данные ячеек - вплоть до максимально плотно упакованной, т.е. ромбической диагональной ячейки, для которой ю = 0.26 (для еще одной плотно упакованной ячейки, а именно квадратно-ромбической диагональной, но менее удобной для расчета, значение ю такое же). Здесь же (позиции 4-8) приведены характеристики находящихся в этих ячейках пор, причем для каждой из ячеек вверху и внизу каждой из позиций 5-7 отдельно указаны индивидуальные характеристики пор соответственно для вариантов, когда они "выпрямлены" и когда они скошены.
Располагая информацией (таблица) о среднем сечении одной поры 80 и количестве пор п0 (в поперечном сечении 8Х корпуса аппарата с находящейся в нем гранулированной средой), в дополне-
ние к очевидному выражению для расхода фильтруемого потока, а именно:
0 = "^А
(2)
имеет смысл записать столь же очевидное альтернативное выражение:
0 = vSono.
(3)
При этом, детализируя произведение S0n0 (общее сечение пор) для вариантов "выпрямленных" и извилистых пор-трубок с использованием соответствующих данных из таблицы, можно, приравнивая (2) и (3), получить связи между V и V.
Так, что касается варианта "выпрямленных" пор-трубок (таблица: позиция 6 - "вверху" и позиция 8), то общее сечение пор Sono определяется здесь как S0n0 = Sxю.
Тогда, с учетом этого следует из (2) и (3) классическое выражение (1), причем именно в виде v= V ./ю, а не в предлагаемом [5] дискуссионном виде V = Vf/s, где 5 = ю2/3 - просветность пористой среды.
Что же касается варианта извилистых пор (в таблице: позиция 6 - "внизу" и позиция 8), то, с
0.9 0.8
0.7
0.2
0.3
0.4
0.5 ю
Рис. 2. Логарифмическая линеаризация индивидуальных значений поправки кю, входящей в формулу (4), в зависимости от пористости гранулированной среды.
учетом присущему этому варианту уточнения, 80и0 = к^ю из (2) и (3) следует выражение:
у
= J-L
(4)
причем значения поправочного коэффициента кю сугубо индивидуальны (таблица): кю = 1 для "граничной" кубической структуры (ю = 0.477), кю
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.