АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 91, № 6, с. 460-473
УДК 524.77-857
ФУНКЦИЯ МАСС ТЕМНЫХ ГАЛО В СВЕРХСКОПЛЕНИЯХ И ПУСТОТАХ
© 2014 г. Е. П. Курбатов*
Институт астрономии Российской академии наук, Москва, Россия Поступила в редакцию 21.10.2013 г.; принята в печать 23.12.2013 г.
Предложена модификация модели Пресса и Шехтера для функции масс темных гало, популяция которых развивается на фоне сверхскопления или космологической пустоты. Фоновая структура задается как набор статистических ограничений, применяемых в виде линейных функционалов к полю начальных флуктуаций плотности. Параметры и значения функционалов при этом связаны со свойствами фоновой структуры: ее средней плотностью, пространственными масштабами и формой. На примере сферически-симметричной фоновой структуры продемонстрирована процедура восстановления ее параметров по функции масс гало.
DOI: 10.7868/80004629914060036
1. ВВЕДЕНИЕ
Образование популяции вириализованных гало в космологической модели ЛCDM представляется как непрерывный процесс гравитационной конденсации и скучивания структур, развивающихся из возмущений плотности. Стохастическая природа этого процесса определяется свойствами начальных космологических флуктуаций плотности. В результате формируется иерархическая структура вириализованных гало — от скоплений и ви-риализованных групп галактик до маломассивных галактик-спутников. Описание этого процесса как задачи о динамике гало, их взаимодействии и слиянии во всем возможном диапазоне масс вири-ализованных структур, может вызвать трудности, не преодолимые практически. В 1974 г. Прессом и Шехтером [1] была предложена простая модель эволюции функции масс, развитие которой позволило решить эту задачу до конца в хорошем приближении. В интерпретации, полученной Бондом и др. [2], эта модель основывается на двух ключевых положениях: первое — факт того, что возмущение испытает вириализацию к заданному моменту времени, можно сформулировать в виде условий для поля флуктуаций плотности на линейной стадии их эволюции; второе — функция масс строится для вириализованных объектов, находящихся на верхнем уровне иерархической структуры, т.е. тех, которые не содержатся в других вириализованных объектах. В такой формулировке задача может быть полностью решена с использованием лишь линейной теории развития возмущений.
E-mail: kurbatov@inasan.ru
Функция масс Пресса и Шехтера зависит от глобальных космологических параметров и не учитывает возможного наличия фоновых крупномасштабных возмущений — сверхскоплений и пустот. Плотность вещества в таких возмущениях отличается от среднего космологического значения. Вследствие этого может изменяться закон роста флуктуаций плотности, что должно сказываться на функции масс темных гало. В рамках модели Пресса и Шехтера эта проблема впервые была рассмотрена в работах [2, 3] и получила развитие в работах [4, 5] и других. Модели, предложенные в этих работах, устанавливали связь между функцией масс и фоновой плотностью, делая возможным решение обратной задачи — восстановление значения плотности по функции масс [6, 7]. Однако, согласно методике, предложенной в этих работах, фоновое возмущение может быть только сферически-симметричным. В этой методике также отсутствует возможность исследовать пространственное распределение гало внутри родительской структуры.
В данной работе предлагается модификация модели Пресса и Шехтера, в которой фоновая структура может иметь любую форму и профиль плотности. Структура задается набором статистических ограничений, накладываемых на поле космологических флуктуаций плотности. Предложена методика нахождения параметров распределения плотности фоновой структуры по наблюдаемой функции масс. В качестве демонстрации применимости модели рассмотрен простой вариант подобной обратной задачи.
Во втором разделе приводится описание модели. В третьем разделе рассматриваются приложения модели к сверхскоплениям и пустотам. Преимущества и недостатки предложенной модели обсуждаются в четвертом разделе.
2. МОДЕЛЬ ПРЕССА И ШЕХТЕРА СО СТАТИСТИЧЕСКИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
2.1. Основные положения
В качестве отправной точки мы будем использовать вариант модели Пресса и Шехтера, изложенный в работах [2, 8]. Вириализованное гало на линейной стадии эволюции можно связать с полем флуктуаций плотности ¿(г), усредненным по объему, который заключает в себе массу, равную массе гало. Усреднение определяется как свертка поля с некоторым фильтром Ш:
5(г,ш) = ! dУw(г/ - г,ш)5(г'), (1)
где ш — масса гало. То же в терминах разложения Фурье1 имеет вид
5(к, ш) = (2п)3/2\¥(к, ш)5(к). (2)
В качестве фильтра для усреднения может быть использована так называемая 'Чор-ИаГ'-функция; это функция вида
W (r, m) —
1- Г 4тtR^ V Rr,
Как упоминалось выше, условие коллапса гало эквивалентно требованию того, чтобы фильтрованная плотность (1) превысила некоторое пороговое значение 5с(г), которое зависит от момента времени, когда должен произойти коллапс. Кроме того, для функции масс должны учитываться лишь наиболее массивные гало, удовлетворяющие условию коллапса. Эти идеи могут быть удачно представлены в виде случайного процесса 5(Б) с параметром Б, который эквивалентен массе в силу взаимооднозначного соответствия Б(ш).
Случайный процесс стартует из точки 5 = 0 при значении параметра Б = 0, что соответствует ш = = о. Искомая функция масс для красного смещения г определяется функцией распределения параметра процесса, при котором произошло первое пересечение порогового значения 5с(г). В некотором приближении [2] этот случайный процесс можно считать марковским (см., однако, [9]), и тогда выражение для функции распределения по параметру Б получается следующим [8]:
fs —
6c
exp
V^s3
При этом функция масс есть
дБ
fm —
1 25
dm
fs,
IT- > (3)
а концентрация гало заданной массы — это
^m,0Pcr,0
nm —
m
' fm-
(6)
(7)
(8)
- 3 sin kRm - kRm cos kRm
= --'(4)
где Rm — (3m/4nQ ,0Pcr,0)1/3 (П m ,o космологический параметр плотности материи); д — ступенчатая функция Хевисайда.
Случайное поле предполагается гауссовым, с нулевым математическим ожиданием и дельта-скоррелированным по фурье-модам, т.е. (5(k)5*(k')) — 63D(k - k')P(k). Таким образом, на масштабе, который связан с заданной массой m, поле характеризуется только значением дисперсии, не зависящим от координат:
S(m) = (62 (r,m)) — j d3k\W(k,m)\2P (k). (5)
Амплитуда спектра мощности P(k) нормируется на заданное значение дисперсии плотности внутри сферы, содержащей массу 108Мо: S(108Мо) — — ai.
1 Преобразование Фурье определено как f(k) =
= (2п)-3/2 J d3reikrf (r).
Пороговая плотность 5с(г) в простейшем случае может быть определена из модели сферического коллапса [8]. Хотя рядом авторов предлагались к использованию модели, в которых учитывается несферичность коллапса [10, 11] (см. также другие работы), мы ограничимся простой моделью, в которой пороговая плотность имеет вид 5с (г) = = 1.69/Б(г), где Б (г) — линейный фактор роста возмущений плотности [8].
Идея модели, предлагаемой в данной работе, заключается в том, чтобы для определения крупномасштабного возмущения использовать набор статистических ограничений, налагаемых на поле флуктуаций плотности. Должна быть возможность с помощью этих ограничений задать параметры фоновой структуры: ее форму, амплитуду, пространственные моменты и т.д. Популяция гало будет развиваться из флуктуаций плотности, статистика которых изменена ограничениями. Для получения функции масс гало к полю флуктуаций должен быть применен тот же формализм случайных траекторий, как и в теории Пресса и Шехтера в интерпретации [2]. Обозначим через ф разность
между полем плотности 5 и профилем плотности фоновой структуры А (которая есть среднее по ансамблю со статистическими ограничениями; см. следующий раздел):
ф(г) = 5(г) - А(г), (9)
где г — радиус-вектор. Определим процедуру фильтрации поля на пространственном масштабе Е:
ф(г,Е) = ! dVW(|г - г'\,Е)ф(г'), (10)
где W(г, Е) — фильтр. Вся интересующая нас информация о гауссовом поле флуктуаций плотности содержится в величине дисперсии фильтрованного поля Е(г,Е) = {ф2(г,Е)). Как будет видно ниже, наложение статистических ограничений на поле флуктуаций приводит к тому, что в дисперсии поля и, следовательно, в функции масс появляется зависимость от пространственных координат.
Для расчета эволюции флуктуаций плотности крупномасштабное фоновое возмущение любого знака (сверхскопление или пустоту) можно заменить эффективной квазикосмологической моделью, параметры которой определяются плотностью фонового возмущения. Линейный фактор роста возмущений Б при этом будет локальной величиной, и он будет тем больше, чем выше фоновая плотность. Очевидно, что фоновая плотность будет, таким образом, определять возраст популяции гало. Далее будем подразумевать линейный закон роста в виде
ф(г, г)= Б(г, г)фь(г), (11)
где индекс "Ь" будет обозначать величины, которые проэволюционировали к красному смещению г = 0 по линейному закону.
Важно отметить, что все пространственные распределения, которые появятся ниже в тексте, заданы в лагранжевых координатах, сопутствующих веществу внутри фонового возмущения. Будем отличать их от координат, сопутствующих хабблов-скому расширению, которые назовем эйлеровыми.
В этой работе была использована космологическая модель ЛСЭМ со следующиим параметрами: Ол,о = 0.7, От>0 = 0.3, а8 = 0.9. Спектр мощности определен как Р(к) <х кТ2(к), где величина Т рассчитана с помощью численного кода СМВ-FAST [12]. В работе приняты следующие единицы измерения: Ь-1 для массы, Ь-1 Мпк для длины и Ь-1Н-о0 для времени, где Ь = Н/Н100, Н100 = = 100 км/с Мпк.
2.2. Корреляционная функция для мод
Пусть ограничения имеют вид линейных функционалов от поля плотности [13]:
Ca[5] = j d3rHa(r)5(r). (12)
Их значения определяют интегральные и локальные свойства фоновой структуры (см. подраздел 2.3). Можно показать [13, 14], что реализации поля в ансамбле с ограничениями вида (12) имеют вид
^ = 5 + Q~alUr)(cp - Ce[5]), (13)
где 5 — поле без статистических ограничений, — значения ограничивающих функционалов,
k(r) = (C«[
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.