Физика полупроводников
Икрамов Р. Г., кандидат физико-математических наук, докторант Наманганского государственного университета (Узбекистан)
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ ОБОРВАННЫХ СВЯЗЕЙ В АМОРФНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ
В настоящее время для определения энергетической зависимости дефектных состояний в аморфных полупроводниках используют функцию распределения Гаусса. Как известно, интегрирование этой функции производится путем численных методов. Поэтому, используя распределения Гаусса, невозможно получить аналитических выражений параметров, определяемых интегрированием этой функции. В данной работе предлагается функция распределения, которую можно использовать вместо функции распределения Гаусса и позволяющая определить аналитические решения. А также представлены условия соответствия этих распределений.
Now for definition of energy dependence of defect states in amorphous semiconductors used function Gaussian distribution. As it is known, the integration of this function is made by numerical methods. Therefore, using Gaussian distribution it is impossible to receive analytical expressions of parameters defined by integration of this function. In the given article function of the distribution which can be used instead of Gaussian distribution is offered and allowing to define analytical decisions. And also the conditions of conformity of these distributions are presented.
Как известно, в щели подвижности аморфных полупроводников находятся электронные состояния оборванных связей, которые могут быть трёх типов в зависимости от их зарядового состояния. D0 - нейтральные, D- - отрицательные и D+ - положительные состояния [1, 2]. Если образец легированный, тогда могут образоваться акцепторные или донорные состояния в зависимости от типа примеси. В настоящее время предполагается, что энергетическая зависимость плотности этих состояний подчиняется распределению Гаусса [3]:
g (s) = g (sd )exp(- a(s-sd )2). (1)
Причиной выбора функции распределения в виде (1) является флуктуация потенциальных ям, образующихся за счет беспорядка структурной сетки аморфных материалов. Валентная зона и зона проводимости аморфных полупроводников имеют экспоненциальные хвосты в щели подвижности, которые можно написать в следующих видах [4]:
( s-s Л
g(s) = nv exp-S-^, (2)
V Eov
( s -s\
g(s) = nc exp -S^ , (3)
V Eoc J
где E0V и E0c - параметры, определяющие наклоны экспоненциальных хвостов валентной зоны и зоны проводимости, соответственно. Так как хвосты разрешенных зон образуются тоже за счет беспорядка структурной сетки, формулы (1), (2) и (3) должны иметь общий вид хотя бы в энергетическом интервале, находящемся в хвостовой части этих распределений. А это не следует из распределения Гаусса. С другой стороны, проинтегрировав это распределение, невозможно получить аналитическе решение.
Поэтому в настоящей работе предлагается интегрируемая функция распределения заменяющая гауссовскую в виде:
£ (е о) _ 2 £ (е о)
£ (е)_
ск(ь(е - ео)) exp(ь(е -ео)) + exp(- Ь(е - ео))
При условиях е - ео >> 0 или е- ео << 0 из формулы (4) соответственно получаем
£(е) _ 2£(ео) exP(- ь(е -ео)), £(е) _ 2£(ео )exP(ь(е -ео)).
(4)
(5)
(6)
Сравнивая эти формулы с (2) и (3), можно убедиться в том, что они имеют одинаковый вид. Теперь будем рассматривать условия соответствия распределений (1) и (4):
1. Соответствия значений, максимумов £(ео) и их энергетическое положение ео выполняется (рис. 1).
g(е)/g(еD)
0.6
0,2
-0.2 0.0 0.2 еD-е, ^
Рис. 1. Кривые функций распределений Гаусса (1) и гиперболического секанса (2) для значений параметров, а=151 вУ~2 и Ь=21, 78 вУ-1, где Ь _ ->/па
2. Равенства концентрации электронных состояний, определяемые этими функциями. Это условие при температуре абсолютного нуля можно написать в виде:
или
I8(ео^а(е-е)2)е _ [сИ(!(е-ео))),
£ (ео = ^ [ (((е - ео))) 1 ] _ £ (ев )П.
(7)
(8)
1
Из этого выражения получаем Ь = -\[Ла . На рисунке 1 показаны кривые распределений (1) и (4) для значений параметров, а=151 еУ- и Ь=21.78 еУ- . Видно, что относительная ошибка, допускаемая при замене распределения Гаусса на (4), не превышает 3%.
3. Равенства эффективных полуширин этих функций. Это условия определяются следующим выражением:
Гг.. \2 ^ 2
:____(9)
ехр(^)) + ехр(- Ь^в))
- a
v
г лSd
V 2
ехр
Не трудно показать, что из этого выражения получается условие
ь Чт^1^+Гз ). (10)
Расчеты, выполненные для условия (10) (а=151 еУ-2 и Ь=19.43 еУ-1), показали, что допускаемая относительная ошибка при замене этих распределений тоже не превышает 4%.
Как сказано выше, интеграл функции распределения Гаусса не имеет аналитического решения. При расчетах физических параметров, где требуется интегрирование этой функции, приходится обращаться к численным методам, которые также имеют своеобразную ошибку. На рис. 2 показаны данные, полученные после интегрирования этих распределений, для условия Ь = л/ПО , в примере интеграла вероятности. Максимальная относительная ошибка образующихся после интегрирования составляла 6,8%. Как известно, это значение меньше, чем ошибка, допускаемая в экспериментах. Это указывает на то, что при расчетах параметров, получаемых из интеграла распределения Гаусса, можно использовать формулу (4).
Ф(х)
1
0.6
0.2
0 1 2 3 4 5 х
Рис. 2. Данные, полученные после интегрирования распределений Гаусса (1) и гиперболического секанса (2), в примере интеграла вероятности для условий Ь = л/па
Таким образом, в настоящей работе предложена новая функция распределения в виде гиперболического секанса для дефектных (примесных) электронных состояний в аморфных полупроводниках. Определены условия соответствия новой функции и распределения Гаусса.
Показано, что при замене распределения Гаусса новой функцией относительная ошибка расчета не будет превышать экспериментальной.
ЛИТЕРАТУРА
1. Аморфные полупроводники. Под ред. М. Бродски. - М.: Мир, 1982. - 419 с.
2. Голикова О.А. ФТП, 32 (3) 345 (1998).
3. Vanecek M., Abraham A., Stika O., Stuchlik J. and Kocka J. Phys. Stat. Sol. (a), 83 617 (1984).
4. Андреев А.А., Шлимак М.С. Фотоприемники и фотопреобразователи: Сборник научных трудов АН СССР ФТИ им. А.Ф. Иоффе. - Ленинград, Наука, 1986. - С. 222.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.