научная статья по теме ГАЛАКТИЧЕСКИЕ БАРЫ И СПИРАЛИ КАК МЕДЛЕННЫЕ МОДЫ ЗВЕЗДНЫХ ДИСКОВ Астрономия

Текст научной статьи на тему «ГАЛАКТИЧЕСКИЕ БАРЫ И СПИРАЛИ КАК МЕДЛЕННЫЕ МОДЫ ЗВЕЗДНЫХ ДИСКОВ»

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2004, том 30, № 8, с. 568-573

УДК 524.7-8

ГАЛАКТИЧЕСКИЕ БАРЫ И СПИРАЛИ КАК МЕДЛЕННЫЕ МОДЫ ЗВЕЗДНЫХ ДИСКОВ

© 2004 г. Е. В. Поляченко*

Институт астрономии РАН, Москва Поступила в редакцию 08.09.2003 г. После доработки — 04.03.2004 г.

Предлагается новый подход к описанию галактических структур. Основой подхода является гипотеза о том, что их можно рассматривать как низкочастотные (медленные) моды в звездном диске, состоящем из орбит, прецессирующих с различными скоростями. Математически определение мод формулируется как задача на собственные значения интегрального оператора Фредгольма. Показано, что имеются два типа мод — бароподобные и спиральные. В пренебрежении резонансным взаимодействием бар-моды представляют собой нейтральные возмущения диска. Их нарастание происходит благодаря влиянию дальнодействующего гравитационного поля мод на звезды в области коротации и внешнего линдбладовского резонанса. Спиральные возмущения представляют собой волны с нулевым полным угловым моментом. Их нарастание может быть связано с внутренним линдбладовским резонансом. Эффективность используемого приближения демонстрируется путем сравнения с N-body экспериментом.

Ключевые слова: галактики.

GALACTIC BARS AND SPIRALS AS SLOW MODES OF STELLAR DISKS, by E. V. Polyachenko. We suggest a new approach to describing the galactic structures. This approach is based on the hypothesis that they may be treated as low-frequency (slow) modes in a stellar disk that consists of orbits precessing with different angular velocities. The definition of the modes is mathematically formulated as an eigenvalue problem for the Fredholm integral operator. Two types of modes, barlike and spiral, are shown to exist. When the resonance interaction is disregarded, the bar modes are neutral disk perturbations. Their growth is attributable to the influence of the long-range gravitational field of the modes on stars in the region of corotation and outer Lindblad resonance. The spiral perturbations are waves with a zero total angular momentum. Their growth may be due to the inner Lindblad resonance. We demonstrate the efficiency of the approximation used by a comparison with N-body simulations.

Key words: galaxies.

ВВЕДЕНИЕ

Общие интегральные уравнения для определения собственных мод диска были получены Кал-найсом (1965) и Шу (1970). Однако, вследствие своей сложности, они фактически не использовались. По той же причине из анализа общих интегральных уравнений оказалось невозможно понять физические механизмы формирования мод и выявить ответственные за это неустойчивости. В настоящее время изучение звездного диска чаще всего сводится к трудному для интерпретации численному N-body моделированию. Большинство же аналитических подходов использует подмену звездного диска "эффективным" газовым (см., например, Бертин, Лин 1996).

Электронный адрес: epolyach@com2com.ru

Ситуация сильно упрощается, если интересоваться не произвольными модами диска, а лишь низкочастотными. Рассмотрим аксиально-симметричный диск с невозмущенным потенциалом Ф0(г) и соответствующей ему угловой скоростью кругового вращения П(г). Пусть орбита, прецессирующая со скоростью подвергается воздействию возмущающего потенциала моды, вращающегося со скоростью Как отметил Линден-Белл (1979), при условии

6П |ПР - Орг|

п п { '

можно считать, что орбита как целое (а не отдельные звезды на ней) будет откликаться на такое возмущение. Тогда мы можем представить диск как совокупность прецессирующих орбит. Нормаль-

ные моды в этой модели представляют собой волны сжатия и разряжения плотности орбит, бегущие по азимуту с угловой скоростью Qp, имеющей порядок Qpr. По сравнению с угловой скоростью вращения диска Q скорость прецессии орбит Qpr мала; в этом смысле рассматриваемые моды являются низкочастотными. Именно для таких мод удается получить сравнительно простое интегральное уравнение, которое можно анализировать в общем виде и эффективно находить его решения.

Примем пока в качестве гипотезы, что наблюдаемые галактические структуры можно описывать как низкочастотные моды. На первый взгляд кажется, что такая гипотеза не может быть правдоподобной, поскольку обычно бары и спирали достигают коротации, где скорость вращения узора сравнивается со скоростью вращения диска. Заметим, однако, что благодаря сильной концентрации массы в центре диска и быстрому ее падению с увеличением радиуса дисковая мода может определяться центральной частью. Применимость теории тогда следует из оценок величины е (1) для типичных моделей галактических дисков. Так, используя данные Лина и др. (1969) для спиралей нашей Галактики, можно показать, что величина е остается меньше 0.1 даже на расстоянии 12 кпк от центра. Почти то же самое имеет место и при рассмотрении бар-мод: для найденных при помощи численного N-body моделирования Атанасулой и Селвудом (1986) значений скоростей вращения мод в потенциале Пламмера, Ф0(т) = — (1 + т2)-1/2, при т < 1 величина е остается порядка 0.1. Лишь для самых высокочастотных мод эта величина становится порядка 0.3. Более подробное обоснование рассматриваемой гипотезы будет дано в отдельной статье, хотя наиболее важным аргументом в пользу такого подхода является, конечно, хорошее совпадение найденных на его основе мод с результатами детальных N-body экспериментов для большого числа моделей.

С математической точки зрения предлагаемый подход основывается на анализе линейного интегрального уравнения для низкочастотных нормальных мод. Это интегральное уравнение легко поддается общему анализу, который выявляет основные свойства его решений. Далее полученные с помощью такого подхода собственные частоты модельного звездного диска сравниваются с данными N-body моделирования (Атанасула, Селвуд, 1986). В заключение приводится обсуждение результатов.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

При изучении низкочастотных бисимметричных мод (m = 2) удобно пользоваться переменными J = (Jf, L), Jf = h + I2/2 и L = I2, где (Ii,12) = = I — обычные действия (Линден-Белл, 1979).

Угловые переменные, соответствующие I, есть w = ^1^2). Переменные J также являются действиями, для которых = (гВ1,^2) = (■ш1,,ш2 — — -Ш1 /2) есть канонически сопряженные углы. Тогда, как легко показать, в невозмущенном

диске 40) = где £ — время; Прг^) =

= — 01^)/2 — скорость прецессии орбиты с действиями J; и 02 — частоты радиальных и азимутальных колебаний звезд: О = дЕ(1)/д1г (г = 1,2); Е — энергия звезды. Таким образом, переменная является медленной, если |0рг| < <1^11, |^2|.

Запишем полные потенциал Ф^ и функцию распределения Т^, описывающие низкочастотную моду, в виде суммы невозмущенной и возмущенной частей:

Фм = Фо(^ + Ф^,т у™2, (2)

= То + т У™2.

Тогда, как было показано Поляченко (1992), низкочастотные моды диска удовлетворяют простому интегральному уравнению для усредненного потенциала

2п

Ф

1

2тг

dwl Ф^, wl).

Используя связь между Ф и усредненной возмущенной функцией распределения (Поляченко, 1992; Поляченко, Поляченко 2002, 2003)

Т = -Я0

Ф

Qp — Qpr(J):

(3)

где Т = дТ0 (Jf ,Ь)/дЬ, интегральное уравнение можно переписать в форме классической задачи на собственные значения, причем последними являются непосредственно угловые скорости мод 0р:

QpF(J) = dJ'K(J, J')F(J').

(4)

Здесь ядро

G w,

K{J, J') = — ^(J)n(J, J') + fipr(J)5[J - J'], 2n

где G — гравитационная постоянная,

n(J, J') = J dwldw'ld5w2

imSw2

Г12

(5)

(6)

т12 = [т2 + т'2 — 2тт' cos 5у]1/2, 5w2 = w'2 — w2, 5у = У — у. При вычислении интеграла в (6) величины т, т' и 5w2 — 5у нужно выразить через J, J', wl, wl.

о

В дальнейшем интегральное уравнение (4) будем называть основным интегральным уравнением предлагаемой теории формирования галактических структур. Оно гораздо проще общих интегральных уравнений для нормальных мод диска, выведенных ранее Калнайсом (1965) и Шу (1970). Для решения уравнения (4) вполне достаточно мощности обычного персонального компьютера.

ОБЩИИ АНАЛИЗ ОСНОВНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Функцию П, определенную формулой (6), можно преобразовать к виду:

п п

n(J, J') = 8 у dw1 cos mp1 J dwl cos т^'1ф(т, r'), о о

(7)

где <£i(J,wi) = W2 - ^'1(J',rw[) = w2 - <p',

п

ф(г, г') = J da-

cos ma

■\Jf2 j j)! 2 ^^2 f

(8)

cos a

Lm

dJ

\£? Л

dJ '

|ф |

|Qp Qpr1

(10)

отрицателен, как и энергия (точнее — квазиэнергия) моды Ет, поскольку Ет = ПрЬт (Линден-Белл, Калнайс, 1972). Поэтому из (9) мы получаем 1шОр = 0. Соответствующие собственные функции Т вещественны и описывают неспиральные решения, т.е. бары.

Очевидно, что в рассматриваемом случае, когда Т' > 0, интегральное уравнение (4) определяет лишь угловую скорость моды И,еОр. Ее нарастание происходит благодаря обмену угловым моментом с резонансными звездами на коротации (СН) и на внешнем линдбладовском резонансе (ОЬН). Подчеркнем, что этот обмен происходит под непосредственным воздействием дальнодействующей гравитации бар-моды.

Оценим соответствующую скорость нарастания

моды по формуле 7 = Ьт/2Ьт, где Ьт = +

• (2)

+ Ьт , а выражения для скорости обмена угловым

моментом на СН (Ь) и ОЬН (Ьвозьмем из общих формул Линден-Белла и Калнайса (1972) путем их небольшого преобразования:

Из (7) очевидно, что функция П вещественна и симметрична: П(3,3')* = П(3,3'), П(3,3') = П(3', 3). Из (3) следует, что Т ж Т', поэтому можно поделить обе стороны уравнения (4) на Т', умножить их на Т* и проинтегрировать по 3. Вычисляя мнимую часть получившегося уравнения, найдем

(1шПр) Ьт = 0, (9)

где Ьт обозначает угловой момент (а точнее — квазимомент, МакИнтайрб, 1984) моды, который можно получить из общего выражения Линден-Белла и Калнайса (1972), оставляя в нем единственный член, который доминирует для низкочастотных мод:

¿(0 = _ J_

4тг

1 дг0 а^ь

2 dJf dL

(11)

х |Фг|2£[0(г)(J) - QpjdJ,

где П(1)(3) = ^2(3) + ( - 1)^1 (3)/2, а Фг - коэффициенты Фурье, соответствующие СН (I = 1) и ОЬН (I = 2) в разложении возмущенного потенциала в ряд по вг1и>1

Ф^О = £4i(J)e*

ilwi

(12)

Последнее равенство получается с помощью соотношения (3) между Т и усредненным потенциалом моды Ф.

Оказыва

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком