ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2013, том 39, № 7, с. 474-480
УДК 524.6-1/- 7
ГАЛАКТИЧЕСКОЕ ДИНАМО С УЧЕТОМ ПОТОКОВ СПИРАЛЬНОСТИ
© 2013 г. Е. А. Михайлов*
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, физический факультет
Поступила в редакцию 04.12.2012 г.
Построено приближение для магнитного поля галактик, учитывающее закон сохранения спиральности магнитного поля. При расчете используется, что галактический диск достаточно тонкий, поэтому можно пренебречь составляющей магнитного поля, перпендикулярной галактическому диску (так называемое no-,г-приближение). Однако усреднения значения магнитного поля по всей галактике, как это делалось в более ранних работах, не проводится. Полученные результаты сравниваются как с приближением, не учитывающим потоки спиральности, так и с результатами, полученными в моделях с учетом потоков спиральности, но в которых проводится усреднение. Показано, что по сравнению с классической моделью имеется ряд новых эффектов (например, осцилляции магнитного поля), а по сравнению с моделью с усреднением поведение магнитного поля "смягчается": выход на стационарное значение происходит медленнее, а масштаб колебаний уменьшается. Это связано с тем, что в нашей модели учитываются диссипативные процессы, изменяющие темп роста магнитного поля. В отличие от модели с усреднением, здесь появляется возможность построения зависимости магнитного поля и спиральности от расстояния до центра галактики.
Ключевые слова: магнитные поля галактик, теория динамо, магнитная спиральность.
DOI: 10.7868/80320010813070139
ВВЕДЕНИЕ
Закон сохранения спиральности магнитного поля (спиральность магнитного поля — интеграл по интересующей нас области пространства от скалярного произведения величины магнитного поля на его вектор-потенциал) выполняется в случае наличия вмороженности магнитного поля в среду (Ахметьев, 2011) и, вообще говоря, должен быть учтен при расчете магнитных полей галактик. Подобные попытки предпринимались, например, в работе Сура и др. (2007), но расчет там проводился для усредненного по всей галактике магнитного поля. Мы учитываем, что магнитное поле различается в разных частях галактики.
Расчет проводится при помощи так называемого no-z-приближения, развитого в работах Мосса (1995), Субраманиана, Местеля (1993) и Филлипса (2001) для тонких галактических дисков. Основным моментом здесь является замена производных магнитного поля по направлению, перпендикулярному к галактическому диску, значениями напряженности магнитного поля, отнесенными к полутолщине диска Н либо Н2. ^-¿-приближение широко применяется для объяснения галактических магнитных полей.
Электронный адрес: ea.mikhajlov@physics.msu.ru
Однако, как правило, в таких расчетах не учитывается закон сохранения магнитной спиральности, который играет одну из ключевых ролей в эволюции космических магнитных полей, в особенности тех, которые образовались в результате действия крупномасштабного динамо. Любое крупномасштабное магнитное поле имеет как радиальную, так и угловую составляющую (чтобы скомпенсировать диссипативные потери), поэтому оно должно иметь ненулевую магнитную спиральность. Это означает, что если мы учитываем ее сохранение, то а-эффект должен подавляться. Таким образом, должно генерироваться мелкомасштабное магнитное поле, спиральность которого имеет знак, противоположный знаку спиральности крупномасштабного поля. В работах Шукурова и др. (2006) и Сура и др. (2007) был предложен простой механизм, который учитывает адвекцию мелкомасштабного магнитного поля при помощи истечения из областей, где активно действие динамо.
Мы исходим из уравнений для no-z-модели, дополненных уравнением для спиральности магнитного поля. В отличие от случая, рассмотренного Суром и др. (2007), мы учитываем зависимость магнитного поля от расстояния до центра галактики (а не рассматриваем его усредненные по галактическому диску значения). Это позволяет получить
некоторые новые эффекты: так, осцилляции магнитного поля возле положения равновесия имеют меньший масштаб, чем в случае усредненных полей. Затем мы приводим зависимость величины магнитного поля от расстояния до центра галактики (которую, естественно, невозможно получить, пользуясь усредненными значениями) и сравниваем ее с полученной в рамках no-г-приближения без учета спиральности.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Магнитное поле Н в галактике можно разделить на две составляющие (Молчанов и др., 1985):
Н = В + ь.
Мелкомасштабное поле Ь ориентировано случайным образом и меняется на достаточно малых по галактическим меркам масштабах. Больший интерес для нас представляет крупномасштабное поле В, являющееся результатом усреднения магнитного поля по областям, характерный размер которых больше 100 пк.
Стандартная форма уравнения для крупномасштабного магнитного поля имеет вид (Зельдович и др., 2006):
<9В ~dt
= rot[v, B] + rot(aB) + ПоДВ.
Коэффициент а характеризует силу Кориолиса и градиент плотности и может быть оценен как а = Ш2
= —, коэффициент характеризует турбулент-иую диффузию и равен щ = —.
3
Мы учитываем, что компонента магнитного поля, перпендикулярная галактическому диску, довольно мала. Также для компонент магнитного поля, лежащих в плоскости галактического диска, мы предполагаем, (Филлипс, 2001): В а со&(пг/2Ъ), а а §,\п(пх/2Ь).
Тогда производные магнитного поля по оси г могут быть заменены следующими выражениями:
д 2в
д (aB) паВ
dz2 4h2"' dz ' 2h
В таком случае уравнение динамо перепишется в виде
dBr
dt
= — Ra В,
ip--^
д_ ( д
дг \гдг
(rBr)
dBу dt
Rujr^-Br - +
dr
4
дг \гдг
+ А —
Здесь введены безразмерные коэффициенты, характеризующие а-эффект и дифференциальное вращение:
Ra
na0h
~2'ijtT'
Ru
По h2
т
и используется величина Л = h/R, где R — радиус галактики. Все расстояния измеряются в радиусах h2
галактики, время — в —, единицеи измерения угло-По
вой скорости выбрано ее характерное значение Q0. Полагается, что магнитное поле обращается в нуль при r = 0,1.
Значение поля В*, при котором оно прекращает рост, можно приближенно оценить из условия равнораспределения между энергией турбулентных движений в плазме и энергией магнитного поля (Аршакян и др., 2009):
B
2
8п
pv ~2
2
т.е.
В* = Ул/Акр.
В дальнейшем мы будем нормировать величину магнитного поля на В*. Следуя Филлипсу (2001), введем в систему уравнений для магнитного поля нелинейность, учитывающую замедление его роста при приближении к значению В*:
dB.
RaBр
2
-—в +
dt 1 + Б2 + Б2 4
(1)
д_ (_д_
дг V rdr ^ r^
dBу dt
дг 1г9г ^ ^
УЧЕТ ПОТОКОВ СПИРАЛЬНОСТИ
Для того чтобы учесть влияние мелкомасштабного магнитного поля, можно разложить а-эффект на две составляющие:
a
ао + ai.
Первая составляющая, как уже отмечалось выше, отвечает за эффекты чисто кинематического характера:
1-
ао = —-rvrotv , 3
где т — корреляционное время для турбулентных скоростей.
2
Магнитная составляющая а1 отвечает за влияние мелкомасштабного магнитного поля и может быть записана как
a1
E = [u, b] = aB — n0J. По — коэффициент турбулентной диффузии, J = rotB.
Обратим внимание на то, что уравнение (2) с учетом (3) содержит нелинейную зависимость от В. Для а1 можно записать следующее уравнение:
dai 2no(E, B)
dt
l2B *2
l2
da ~dt
= —Rua — C< (1 + a)B2 +
+
3BrBv ^ dü. . a ,
... . 1 д ( da + А 4 - —- r—
где р — плотность межзвездного газа.
Приближенно можно считать, что а1 пропорциональна спиральности мелкомасштабного магнитного поля % = Ь) (где a — вектор-потенциал мелкомасштабного магнитного поля)
„1 IX
3 I2 р
Для спиральности магнитного поля в простейшем случае имеем следующее уравнение (Бранден-бург, Субраманиан, 2005; Сур и др., 2007):
^ + сМ%и) = —2(Е,В) - 2г?1ОЬ), (2)
где и — скорость крупномасштабных движений плазмы, П1 — магнитная диффузия,
(3)
rdr V dr
В (5) введен ряд новых безразмерных величин:
Кт = — — магнитное число Рейнольдса, которое П1
может быть определено как отношение турбулентной диффузии к магнитной; С = харак-
щь,
теризует толщину диска; наконец, ли =-, где
По
и0 — характерная скорость, характеризует соотношение между характерными скоростями и турбулентной диффузией; Б = К аКш так называемое динамо-число, характеризующее интенсивность работы динамо.
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА
Для начала необходимо оценить, какие значения безразмерных параметров использовать. Следуя опыту применения no-z-модели и учета спиральных потоков (Мосс, 1995; Филлипс, 2001; Сур и др., 2007; Михайлов и др., 2012), мы полагаем
Ка = 1) Кш = 15) Кт
104
C = 50.
— div(a1v), (4)
где В* определяется из соображений равнораспределения.
Если мы дополним no-z-модель уравнением (4), переписанным в тех же безразмерных единицах, переобозначим из соображений краткости записи а1 — а, введем зависимость от а в имеющиеся уравнения для В и учтем диссипативные процессы, то получим следующую систему уравнений:
^ = -Па(1 + а)В1р-(ви + ?р)вг+ (5)
1 дг V г дг ^ г ^
Значения Ru и А варьируются.
Для Q мы используем зависимость от расстояния до центра r, которая позволяет хорошо аппроксимировать кривые вращения многих галактик и часто применяется в работах, описывающих галактическое динамо (Мосс, 1995, 1997; Мосс и др., 2000):
Q ос — =
у/1 + (г/гш)2
со значением гш = 0.2.
При решении систем уравнений (1) и (5) применяются неявные численные схемы с зейделевским итерационным процессом. Его отличительной особенностью является то, что на нулевой итерации мы полагаем f0(t + At) = f (t) и используем данное значение для вычисления более точного приближения fi(t + At). Затем процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность (Самарский, Попов, 1992). (Под f понимается одна из переменных Br, Bv, a, под At — шаг по времени для нашей численной схемы.)
Результаты моделирования для модели (1) находятся в хорошем согласии с полученными в более ранних работах (см. Филлипс, 2001). На рис. 1 показаны типичные кривые в логарифмическом масштабе для разных значений Rш. В случае, если динамо-число D = RaRш < 7, как и было показано
Рис. 1. Зависимость напряженности магнитного поля
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.