ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2011, том 37, № 8, с. 691-710
МАГНИТНЫЕ ЛОВУШКИ
УДК 533.9.01
ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ В ЗАДАЧЕ РАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ С ОСТРОВАМИ
© 2011 г. А. А. Сковорода
НИЦ "Курчатовский институт", Москва, Россия Поступила в редакцию 03.11.2010 г.
Гамильтонов формализм применяется к задаче равновесия плазмы с островами. Устанавливается и используется аналогия задачи равновесия с одним островом с нелинейной механикой физического маятника. Прослежена связь выпрямляющих магнитные силовые линии потоковых координат с координатами действие—угол. В работе получены потоковое и токовое представления магнитного поля с островами и приведено решение задачи равновесия узкого острова.
ВВЕДЕНИЕ
Соленоидальность магнитного поля B и плотности тока j позволяют использовать гамильтонов формализм при описании поведения силовых линий этих векторов. Решение задачи равновесия плазмы с изотропным давлением P в магнитном поле B состоит в нахождении P и B, удовлетворяющих системе уравнений
VP = j х B, j =Vx B, V-B = 0. (1)
Простыми следствиями уравнений (1) являются соотношения B • VP = 0 и j • VP = V • (B х VP) = 0. Оптимальное удержание плазмы в ограниченном пространстве предполагает существование в нем замкнутых поверхностей постоянного давления P = P (W), где W — метка тороидальной поверхности W (r) = const. Это означает, что силовые линии полей B, B х V W, j в равновесии расположены на изобарических поверхностях, совпадающих с магнитными поверхностями B V W = 0. В гамильтоновом формализме это соответствует точной интегрируемости гамильтонианов полей B, B х V W, j с общим интегралом W.
Система вложенных тороидальных магнитных поверхностей может быть очень сложной и содержать много магнитных осей — главную магнитную ось конфигурации и зацепленные с ней оси магнитных островов. Большой прогресс в настоящее время достигнут в теории решения задач равновесия в токамаке1 при осевой симметрии и в стеллараторе без островов. Существенно скромнее достижения в теории решения задач равновесия с островами в несимметричном случае, кото-
1 Уравнение Шафранова-Грэда для полоидального магнитного потока W) позволяет находить решение в виде системы вложенных торов вокруг магнитной оси системы, с сепаратрисами и со многими незацепляющимися осями островных конфигураций, если только симметрия не нарушается.
рому и посвящена настоящая работа. Это связано с усложнением топологии задачи, приводящей к возникновению ряда проблем с выбором потоковых координат с положительным якобианом во всей области удержания плазмы. Потоковыми или магнитными называют криволинейные координаты x = (W, 0, Z), где 0 и Z — угловые переменные, определяющие положение точки на магнитных поверхностях W (r) = const. Введение таких координат позволяет "автоматически" решить три скалярных уравнения
B -V W = 0, (2)
V- B = 0, (3)
V- (B XVW) = 0 (4)
из четырех в системе уравнений равновесия (1). Уравнения (2) и (3) могут быть удовлетворены, если выбрать потоковое представление магнитного поля B в потоковых координатах; уравнения (2) и (4), если выбрать токовое представление магнитного поля B в тех же координатах. Удобно использовать потоковое и токовое представления магнитного поля одновременно (см. [1] и Приложение 1). Четвертое уравнение
((Vx B) х B)VW = P'(W)|VW|2 (5)
служит для нахождения W (r). Здесь и далее по тексту штрих означает производную по переменной, указанной в скобках.
В случае без островов угловые координаты Z и 0 выбираются так, чтобы они менялись от 0 до 2 п при обходе вокруг оси тора и магнитной оси системы, соответственно. При этом естественно определяются величины тороидального и полои-дального магнитных потоков Ф (W), ¥ (W), тороидального и полоидального токов I (W), F (W). Пять поверхностных интегральных величин P, Ф, I, F связаны тремя уравнениями — уравнением Крускала-Кульсруда и уравнениями связи
токов и потоков [1]. Поэтому произвольными оказываются только две поверхностные величины. Такой выбор потоковых переменных исключает из рассмотрения случай с островами. Нетрудно понять, что это ограничение вызвано введением полоидального обхода (переменной 0) для определения тороидального магнитного потока Ф и электрического тока I.
В работе [1] предложено для решения возникшей проблемы вообще отказаться от введения переменной 0. В частном случае "бестокового" стелларатора получена система уравнений равновесия
В = * 2п
уС, -УЖ
. УЖ2 ,
ЕВУ
гуж -УС вл
(6)
4
' Специальный выбор угловых координат, в которых выпрямляются силовые линии полей В и В х УЖ [1, 2]. Сепаратриса острова является магнитной поверхностью. Сепаратрисы островов в этом случае являются магнитными поверхностями в отличие от бытующего мнения, что сепаратрисы островов всегда разрушены и не являются поверхностями.
ставлениях магнитного поля и тока при наличии островов. Эффективность гамильтонова формализма при решении задач равновесия демонстрируется на примере одного узкого острова.
В работе используется наиболее общее5 представление магнитного поля в непотоковых коор-
динатах6 а, 0, С [2, 3]
2пВ = Уфх У0 + Уух (7)
где функции ф и у определяются формулами
ф (а, 0, С) = 2к^В -УС, йа,
о
а
V (а, 0, С) = Vро - 2п - У0йа,
(8)
\УЖ\
= 4п2Р • (Ж)-ЕЕ' (Ж ,
у ; ^ ; УЖ
У УЖх(Ъ хУЖ) = 0
\уЖ 2 '
с использованием только тороидальных контуров угловой координаты Бузера2 Св на магнитной поверхности Ж и естественно определенного на этих контурах полоидального тока Е. Возможно обобщение такого подхода и на случай с тороидальным током, детали см. в [1]. К сожалению, нам не известны случаи практического использования полученной сложной системы уравнений.
В настоящей работе мы распространяем на случай наличия островов методику решения задачи равновесия без островов. Такую возможность дает использование гамильтонового формализма при описании магнитных полей и токов. Статья следует следующему сценарию. Сначала рассматриваются интегрируемые магнитные поля с островами. Основное внимание уделяется точно интегрируемому гамильтониану3 конфигурации с одним островом и его механической аналогии с физическим маятником. Мы показываем также существование интегрируемых гамильтонианов магнитных полей со многими островами4. Переход к координатам действие—угол в задаче физического маятника используется для введения потоковых координат для магнитного поля. Полученные координаты применяются в пред-
V р0
— константа
, г8 =
1
> 0 — якоби-
Уа • (У0х У^) ан во всей области удержания. Мы будем рассматривать только тороидально замкнутые магнитные конфигурации с В • У^ > 0, т.е. с магнитными силовыми линиями, охватывающими ось тора, и с модулем магнитного поля в, который нигде не обращается в нуль .
Функция ф является при любых углах 0 и С монотонной положительной функцией координаты а, которая обращается в нуль на магнитной оси системы. Принимая ф за новую "радиальную" координату с положительным якобиа-
1__ Л
ном
8
л/^ф
> 0 во всей
Уф(У0хУ£) дф/да области удержания плазмы и представляя функцию у в виде у = у (ф, 0, С), приходим к гамиль-тоновой форме уравнений силовых линий магнитного поля [3]
йО
В -УО
ду
В -УС
йф _ В -Уф _ /ду
0,^=СОП81
(9)
й£ В -УС \дО) Роль гамильтониана магнитных силовых линий Н выполняет функция -у, Н = —у, роль импульса р
5 Это представление описывает магнитные поля во всей области удержания, в том числе с островами и эргодические.
6 а не Ж
7 Эта геометрия характерна для токамака и стелларатора. В других конфигурациях используют В ■ У9 > 0 и комбинации.
8 Использование интеграла Ж в качестве радиальной координаты приводит к якобиану ^Ж = (УЖ^ (У9 х УО)-1 =
= (дЖ/да)-1. При наличии островов появляется участок пространства с дЖ/да = 0. Поэтому возникает задача поиска таких магнитных потоковых координат, в которых якобиан будет знакоопределен.
0
играет функция ф, р = ф, канонически сопряженная координата равна 0, время t соответствует циклическому углу ^ = С, интеграл системы, описываемой этим гамильтонианом, равен Ж. Аналогично вводятся гамильтонианы для других векторов В XV W, ^ Таким образом, на языке механики траектории векторных полей В, В XV W, \ описываются одномерными динамическими системами с зависящими от времени гамильтонианами. При равновесии эти три динамические системы имеют интегралы, выражаемые через один и тот же интеграл Ж
1. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Из гамильтоновой механики известно, что одномерная динамическая система имеет интеграл W при независимом от "времени" ^ гамильтониане, у = у (ф, 0). Учитывая в этом случае наличие магнитной поверхности В V W = 0, получаем из (7) уравнение дф/д^ - ду/д0 = 0, которому должны удовлетворять функции ф и у. Общее решение этого уравнения записывается в виде ф = ф (Ж) + д^/д0, у = ¥ ^) + д^/д^, где
ф= 1 ( фй0, ¥ = 1 ( у, (10)
2, периодическая по угловым переменным функ-
9
ция с нулевым средним значением .
1.1. Нет островов
При наличии только одной магнитной оси системы выбор замкнутых контуров в (10) очевиден и, используя (8), получаем, что функции Ф и ¥ совпадают с обычными тороидальным и внешним полоидальным магнитными потоками. Вводя функцию п = д^/дФ и принимая W = Ф, приходим к стандартному потоковому представлению магнитного поля В0 без островов [1] 2пВ0 = VФ х V© + ¥'(Ф) VФ х ^ + VФ х Ул. (11)
Замена угловой переменной 0^ = 0 + п выпрямляет силовую линию (потоковые координаты для выпрямленных магнитных силовых линий
(ВСЛ)) —^ =' (Ф) и существенно упрощает
представление (11)
2яВ0 = VФxV0, + V^xVZ • (12)
В гамильтоновом формализме проведенные преобразования соответствуют каноническому преобразованию от исходных канонических координат ф и 0 к каноническим координатам дей-
9 Обратите внимание на аналогию магнитного потока с механическим действием в (10).
ствие—угол Ф и 0 ,, см. (10). При этом "энергия" E = H = (Ф) зависит только от действия Ф.
dE
Нелинейная частота ю(Ф) = 0, = —ф соответствует обычному магнитному вращательному преобразованию, ю = ц 0 (Ф) = (Ф). Переход к каноническим координатам действие—угол соответствует при анализе равновесия переходу от непотоковых к п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.