МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2015
УДК 533.6.01:534.13:534.6
ГЕНЕРАЦИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН ВОЛНОЙ ЗАВИХРЕННОСТИ В СДВИГОВОМ ПОТОКЕ
© 2015 г. М. В. КАЛАШНИК
Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН, Москва НПО "Тайфун", Обнинск, Калужская обл. e-mail: kalashnik-obn@mail.ru
Поступила в редакцию 10.12.2014 г.
Исследуется двумерная задача о генерации акустических волн начальными распределениями завихренности в сдвиговом потоке. Рассмотрен случай сингулярного распределения завихренности, сконцентрированного по одной из горизонтальных координат и периодического по другой. Подобное распределение индуцирует в потоке периодическую цепочку локализованных вихрей, движение которой сопровождается излучением акустических волн. Для нахождения характеристик акустического излучения линеаризованная система уравнений газовой динамики сведена к одному уравнению относительно амплитуды касательной компоненты скорости. Асимптотическое решение уравнения при слабых сдвигах представлено в терминах функций Эйри. Получены оценки волновых амплитуд и потока волновой энергии в дальней волновой зоне.
Ключевые слова: сдвиговые течения, акустические волны, изэнтропические движения, потенциальная завихренность, вихревые возмущения, смерчи, генерация волн, волновая энергия.
В последние годы усилился интерес к проблеме генерации акустических волн вихревыми возмущениями в сжимаемой среде. Прежде всего это связано с практическими задачами дистанционного (инфразвукового) зондирования таких атмосферных явлений, как ураганы, смерчи (торнадо), грозы [1, 2]. Ряд теоретических подходов к решению проблемы был предложен в трудах Лайтхилла [3, 4]. В рамках предложенной в [3] аэродинамической теории генерации звука, в частности, были рассчитаны характеристики акустических волн, возбуждаемых вращающейся системой точечных вихрей, спиральными волновыми возмущениями вихря Рэнкина [1, 5, 6]. В серии статей [7—13] исследовалась задача о генерации волн (различной природы) вихревыми возмущениями в сдвиговых плоскопараллельных потоках. При этом рассматривались возмущения, индуцированные начальным пространственно периодическим распределением завихренности, и описание динамики проводилось в полулагранжевой, движущейся вместе с потоком, системе координат.
В настоящей работе рассматривается случай начального сингулярного распределения завихренности, сконцентрированного по одной из горизонтальных координат и периодического по другой. Подобное распределение возбуждает волну завихренности — перемещающуюся вместе с потоком периодическую систему вихрей. Движение системы в сжимаемой среде сопровождается акустическим излучением, характеристики которого определяются.
1. Постановка задачи. Двумерные изэнтропические движения идеального газа описываются уравнениями [14]
^ + (u, V)u = -1 VP, + div(p и) = 0, P = f-p) (.1)
dt p dt Po ^po
где и = (u, и) — вектор скорости, р — плотность, P — давление, р0, P0 — фоновые значения р, P, у = cP/cV - отношение теплоемкостей при постоянных давлении и объеме, соответственно (для воздуха у = 7/5).
Из системы (1.1) следует уравнение переноса потенциальной завихренности
^ + (u, V)Q = 0, Q = 1 (dU-^Ul (1.2)
dt p|dx ду)
Согласно (1.2), при перемещении материальных объемов потенциальная завихренность Q сохраняется. С гидродинамической точки зрения уравнение (1.2) есть следствие интегрального варианта теоремы Кельвина о циркуляции для баротропных жидкостей [15].
В рамках системы (1.1) исследуется поведение возмущений плоскопараллельного течения газа с постоянным горизонтальным сдвигом Л. Соответствующее течение описывается точным решением системы
U = (Л у, 0), P = P0, р = р0 (1.3)
с потенциальной завихренностью Q = -Л/р0 = const. Подстановка u = Лу + u', и = и', р = р0(1 + с) с последующей линеаризацией (1.1) приводит к системе уравнений для описания малых возмущений
^ + л и' + с2 ¿2 = 0, ш + с2 ¿5 = 0 (1.4)
Dt dx Dt ду
Da + du: + ddi = 0 D = д + АуА
Dt dx dy ' Dt dt dx
Здесь с = yP0/р0 — квадрат скорости звука, ст — возмущение плотности, нормированное на р0. Из уравнения адиабаты в (1.1) следует выражение для возмущения давления P' = р0с а. Система (1.4) рассматривается на всей плоскости -да < x, у < да с начальными условиями u' = u'(x,у), и' = U(x,у), а = а ¡(x,у) при t = 0.
Из системы (1.4) следует уравнение переноса потенциальной завихренности в виде
Dq = 0, q ^+ Ла (1.5)
Dt dx ду
Данное уравнение представляет собой линеаризованную форму (1.2). Это следует из разложения
Q =-1--л) = -—+ -1+ Л с I +.
Ро(1 + о)^дх ду ) Ро Ро ^дх ду
где многоточием отмечены слагаемые, начиная с квадратичных.
Для потока с постоянным сдвигом уравнение (1.5) может быть сразу проинтегрировано
ч = дт + Аа = к(х -Лу1' у) (1.6)
дх ду
где дДх, у) — начальное распределение д. Соотношение или закон сохранения (1.6) выполняется для любого Х > 0. Этот закон играет важную роль в последующем рассмотрении.
Закон сохранения (1.6) позволяет свести систему (1.4) к одному уравнению волнового типа второго порядка относительно компоненты скорости и'. Так, применение к первому уравнению системы (1.4) оператора В/БХ с учетом (1.6) и простых алгебраических преобразований дает
Б2и'_ 2 д2и' , д2и']_ 2дц_
бх2 с "
_ с
2 |_ с^ (1.7)
дх2 ду2) ду
Непосредственно из (1.7) следует, что начальные распределения потенциальной завихренности служат источником генерации акустических волн. Этот источник описывается правой частью уравнения (1.7).
В упомянутых статьях [8, 9] рассматривался случай начального распределения потенциальной завихренности в форме одной пространственной фурье-гармоники д1 (х,у) = г ехр¡(кх + 1у). При этом уравнение (1.7) имеет решения вида и' = и(г)ехр(;9), 9 = кх + (I - ЛкХ)у, где амплитуда и(Х) удовлетворяет уравнению колебаний с переменной частотой. Ниже рассматривается случай начального сингулярного распределения потенциальной завихренности
д(х, у) = ге1кх8(у - И) (1.8)
где 8(у) — дельта-функция Дирака, г — амплитудный параметр, к — волновое число. С учетом известного свойства дельта-функции /(у)8(у - И) = /(И)д(у - И), для этого распределения
д(х - ЛуХ, у) = ге'(кх-ш)Ъ(у - И), а> = к Л И (1.9)
и закон сохранения потенциальной завихренности (1.6) примет вид
ди. + Аа = ге1(кх-иХ)5(у - И) (1.10)
дх ду
Физический смысл сингулярного распределения (1.10) проясняется в рамках модели несжимаемой жидкости.
2. Волна завихренности в модели несжимаемой жидкости. Система уравнений модели несжимаемой жидкости получается из системы (1.4), записанной в терминах возмущения давления
Ж + Ли' + ±д11 = 0, М + = 0,1 Ж + Р0 (ди + д_и\ = 0
БХ р0 дх БХ р0 ду с2 БХ {дх ду)
с последующим предельным переходом с ^ да. Сохраняющейся величиной для этой системы является обычная завихренность д = Ду, где у — функция тока, А — оператор Лапласа, и' = ду/дх, и' = -ду/ду. Для начального сингулярного распределения завихренности (1.8) закон сохранения (1.10) сводится к уравнению для нахождения функции тока
Ау = ге¡(кх-иХ)5(у - И) (2.1)
Решение (2.1) имеет вид
у = ге1(кх-иХ]0{у, И), О(у, И) = - -1 е~ку-И| (.2)
2к
3 У1
2
1
0 -1 -2 -3
-5 0 5 *1
Фиг. 1. Теневая картина изолиний функции тока для волны завихренности в движущейся с волной системе координат; по горизонтальной и вертикальной осям отложены: = х - и*, У1 = у, для значений параметров т = 2, к = 1
где 0(у, И) — функция Грина, удовлетворяющая уравнению Оуу - к20 = 5(у - И) с краевыми условиями затухания при |у| ^ ж. При у = И данная функция удовлетворяет условиям [0]ш = [ЩИ_0, \ру ]И+0 = \Оу ]И_0 +1. Последнее условие получается интегрированием уравнения по малой окрестности точки у = И.
Решение (2.2) описывает волну завихренности — периодическую систему вихрей, равномерно перемещающуюся вдоль оси х с фазовой скоростью и* = ю/к = Л И, равной скорости течения при у = И (фиг. 1). В физике плазмы такую волну со структурой линий тока в форме "кошачьего глаза" часто называют волной Ван Кампена—Кейза [16]. Для этой волны компонента скорости и' всюду непрерывна, а касательная компонента
и' = -0.5т sgn(y - И)е~к]у-ш) (2.3)
на уровне источника терпит скачок [и]И+0 - [и]И-0 = -те1 (кх-®(). Наличие скачка, присутствующего в самом вихревом возмущении, а не в фоновом сдвиговом потоке, составляет отличительную особенность волны.
В рамках модели сжимаемой среды поле скорости волны завихренности (2.1) можно принять в качестве начального поля, считая начальное возмущение плотности нулевым. Распространение волны в сжимаемой среде сопровождается излучением акустических волн.
3. Уравнения для волновых амплитуд. В соответствии с периодическим характером распределения (1.10) установившееся волновое поле, возбуждаемое волной завихренности, ищется в виде
(и', и', с) = (и(у), и(у), о(у)) е (кх ш)
(3.1)
где в круглых скобках правой части стоят амплитуды, зависящие только от у . Для нахождения амплитуд используется вытекающая из (1.4) система уравнений
2 2 ¡Лк(у - И)и + Лу + ¡кс а = 0, ¡Лк(у - И)и + с ау = 0
¡Лк(у - Н)а + ¡ки + иу = 0 (3.2)
и закон сохранения потенциальной завихренности (1.10)
i ки - иу + Л о = г5(у - И) (3.3)
(обыкновенные производные далее отмечаются нижним индексом).
В анализе удобно использовать безразмерную форму уравнений (3.2), (3.3)
¡Я^ и + и + ¡Яа = 0, ¡Я{, и + ст^ = 0, ¡Я^о + ¡Яи + и^ = 0 (3.4)
¡Яу - и^ + а = Мб(^) (3.5)
Здесь безразмерные координата £ и параметры Я, М определены выражениями
^ = я = с±, М = г- (3.6)
с Л с
а в качестве масштаба компонент скорости принята скорость звука с. В уравнениях (3.4), (3.5) параметр Я характеризует влияние сдвига, М служит аналогом числа Маха. Для определенности ниже рассматривается случай положительного сдвига Л > 0.
С учетом (3.5) система (3.4) сводится к одному уравнению относительно амплитуды и(£). Так, после дифференцирования (3.5) с использованием второго уравнения (3.4), получим
¡Я (и^ и) - и^ = М5¡:© (3.7)
Умножение первого уравнения (3.4) на £ с последующим вычитанием третьего дает
¡Я(£2 -1) и = и¡= -£ и (3.8)
Исключение из (3.7), (3.8) амплитуды и окончательно приводит к уравнению
и^ + Я2(£2 - 1)и = -М5(3.9)
Уравнени
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.