ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2012, том 38, № 2, с. 110-116
= ТОКАМАКИ =
УДК 533.9
ГЕНЕРАЦИЯ ПОЛОИДАЛЬНОЙ СКОРОСТИ В ПЛАЗМЕ ТОКАМАКА ПРИ УЧЕТЕ НЕОДНОРОДНОЙ ПЛОТНОСТИ И ДИАМАГНИТНОГО ДРЕЙФА ИОНОВ © 2012 г. Р. В. Шурыгин
НИЦ "Курчатовский институт", Институт физики токамаков, Москва, Россия Поступила в редакцию 14.04.2011 г.
Окончательный вариант получен 30.06.2011 г.
Приведен вывод Ш эволюционного уравнения для усредненного по углам полоидального момента при учете неоднородной плотности и диамагнитного дрейфа ионов в плазме токамака в рамках редуцированной МГД. Полученный турбулентный тензор напряжений Рейнольдса включает, помимо флуктуаций скорости Е х В-дрейфа, флуктуации плотности и давления ионов, а также турбулентные радиальные потоки частиц и тепла. Приведенный численный пример показывает, что для генерации полоидального течения результаты расчетов на основе усовершенствованной модели эволюционного одномерного уравнения существенно отличаются от расчетов в упрощенной модели. При переходе к новой модели происходит увеличение турбулентной силы Рейнольдса и силы Стринге-ра—Винзора, что приводит к росту амплитуды полоидальной скорости ионов. Это, в свою очередь, из-за эффекта шировой декорреляции дает уменьшение турбулентных потоков частиц и тепла.
1. ВВЕДЕНИЕ
Получение основных закономерностей аномального переноса в магнитных ловушках требует развитие теоретических МГД-моделей, способных адекватно описать эволюцию плазменных полей в развитом турбулентном режиме. Важной особенностью плазмы в используемых в экспериментах системах с удержанием заряженных частиц магнитным полем является малость величины ионного гирорадиуса по сравнению с характерным поперечным размером, <§ 1.
Кроме того, характерный инкремент развития не-устойчивостей, ответственных за переход в турбулентный режим, значительно меньше ионной
циклотронной частоты, у ~ д/Ы ~ (р2/¿2^)юс{ < юы, и находится, как правило, в диапазоне дрейфовых частот. Эти обстоятельства позволяют провести так называемую процедуру "редуцирования" МГД-уравнений с целью исключения из них физически несущественных циклотронных колебаний [1—3]. На базе редуцированных уравнений появляется возможность построить экономичные численные коды, способные проследить эволюцию плазменных параметров в течение длительного времени, сравнимого с временем удержания плазменного шнура [4—6]. Процедура "редукции" хорошо известна, однако в разных работах при ее проведении используются различные приближения. При выводе редуцированных МГД-уравнений появляется новая динамическая переменная — "завихренность", по величине которой можно определить электрические поля в объеме плазмы. Традиционно при выводе эволю-
ционного уравнения для завихренности используются два упрощения. Первое связано с пренебрежением градиентом плотности. Второе упрощение Т < Те позволяет отбросить члены, связанные с диамагнитным дрейфом ионов, удержав только члены с электрическим дрейфом. В этом случае получается относительно простое эволюционное уравнение для завихренности w, в котором основной нелинейный член \Е ■ Vw опи-сывет конвекцию w за счет скорости E х B-дрей-фа. Кроме того, в данном приближении величина завихренности оказывается связанной с электрическим потенциалом ф простым линейно-дифференциальным соотношением = (с/Вюс,)У ±ф, что позволяет после вычисления завихренности при помощи несложной численной процедуры найти электрический потенциал. Заметим, что значительное количество аналитических результатов получено в рамках этой простой модели [7, 8]. Ситуация существенно усложняется при отказе от упомянутых упрощений. Далее мы будем опираться на результаты работы [1], в которой проведен последовательный корректный учет полной динамики ионов и получено 3Э эволюционное уравнение для обобщенной завихренности Ж = = (с/Вюс;)У][впЧ±ф + Vпри рассмотрении эффектов неоднородной плотности и диамагнитного дрейфа ионов в произвольной геометрии магнитного поля. Здесь где п — плотность плазмы, р — давление ионов. В результате в получаемом эволюционном уравнении для обобщенной завихренности, наряду с основной известной нелинейностью, определяющей конвективный пере-
нос величины Ж, возникает ряд новых нелинейных членов довольно сложной математической природы, связанных с флуктуациями плотности, потенциала и ионного давления.
Цель настоящей работы — используя результаты работы [1], вывести одномерное нестационарное уравнение, описывающее эволюционную динамику усредненной по углам величины завихренности, и далее получить аналогичное Ш эволюционное уравнение для усредненной величины полоидального импульса. Решение этого уравнения (как правило, численное) дает возможность в конечном счете определить величину усредненной полоидальной скорости плазмы (или полоидального зонального течения) и далее величину радиального электрического поля. Важность получения указанного уравнения определяется той ролью, которую играет полоидальная скорость в турбулентной плазме. Как известно, взаимодействие пространственно-неоднородного полоидального потока с турбулентными флук-туациями приводят к подавлению последних, за счет "разрыва" крупных вихрей и поглощения мелких вихрей средним полоидальным течением [9—11]. Таким образом, происходит уменьшение турбулентных переносов, что можно классифицировать как прявление эффекта "самостабилизации" плазмы.
В работе показано, что основная сила, вызывающая генерацию полоидального импульса, вызывается турбулентными напряжениями Рейнольд-са и имеет дивергентный вид. Учет вышеуказанных эффектов неоднородности плотности и диамагнитного дрейфа ионов приводит к появлению в выражении для силы новых членов, связанных флуктуациями ионного давления, радиального электрического поля, а также турбулентных радиальных потоков частиц и ионного тепла. Приведенный пример расчета турбулентной динамики плазмы в пристеночной области токама-ка Т-10 показывает важность более корректного применения процедуры редуцирования МГД-уравнений, так как учет эффектов неоднородности плотности и диамагнитного дрейфа ионов приводит к существенному увеличению величины полоидальной скорости ионов и, соответственно, радиального электрического поля.
2. т ЭВОЛЮЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВИХРЯ
Как было сказано во Введении, полное 3Э-урав-нение, учитывающее эффекты неоднородной плотности и диамагнитного дрейфа ионов для произвольной метрики геометрии магнитного
поля в токамаке и описывающее эволюцию величины обобщенной завихренности
Ж =
Вю,
-V ±[епУ ±ф + V л]
(2.1)
в рамках редуцированных двухжидкостных МГД-уравнений Брагинского, получено в работе [1]. Если отбросить члены с внешними источниками момента импульса в уравнениях для электронов и ионов, не рассматриваемыми в настоящей работе, то это уравнение может быть представлено в следующем компактном виде:
дЖ дг
+ Уб -УЖ + У • ИР + -^{У2е, п} =
= Уй + Ь х к • (Ур +1 УП||) + V ±А нр = VР;У2±Ф - УЕУ2±р,. + У±(Уб ■ Урд,
(2.2)
где
VБ = - Ь хУф,
Б в
УР1=■
2епВ
Ь X Ур,, к =
(2.3)
УВ в '
в
Ь =- ,р = Ре + Р1.
в
Для продольной вязкости используем упрощенное выражение [1]
П„
:По
к • (УБ + Уа + 1.61Уп) —2. У| | ((В)
Уп =
ТВ
— Ь хУТ, п0 = 0.96 р, 2еВ V , ,
п — плотность плазмы, ф — электростатический потенциал, ре I — давления электронов и ионов.
Отметим, векторная функция Нр в (2.2) включает члены ~р, связанные с учетом диамагнитного дрейфа ионов, а скобка Пуассона {УЕ, п} появилась из-за учета неоднородности плотности плазмы. Наша задача — провести операцию усреднения уравнения (2.2) по углам с учетом этих членов. Дальнейшие алгебраические выкладки удобно проводить с уравнениями (2.1), (2.2), записанными в безразмерном виде. Для получения безразмерных уравнений используем следующее преобразование переменных [3]:
п ^ П, п*
Р ^ Р, Р*
„ Г
г ^ —,
X*
Ф
ф ^ —, Ф*
V1
г ^ г,
г*
V , ^
Б
* /тт I Х*
п* = п** —, р* = п*п * I —
V Х
Т-2
Во
ф* = Б* = —, )* =—,
с г* г* г*
где и = — = — „ — обратный инкремент иде-Ув CJ 2
альной баллонной моды, Ьп — характерный поперечный размер профиля плотности,
L* = 2nq
CS Ps = —,
Юс
'0-51ps^qVel f 2R
Юс
Юсе,'
Ln
1/4
eBo ,
meC
Cs =
1 л13 n** = 10 см
psCst*
L*Ln
T = 100 эВ, a =
1,
* m¡
-3
{А, В} = ±(Ав, - АВ'г), г
q — коэффициент запаса устойчивости в приграничном слое плазмы.
Заметим, что использованная нормировка позволяет выбрать размерную величину таким образом, чтобы основные члены в уравнении (2.2) для вихря (нелинейный, токовый и член с кривизной магнитного поля В) были одного порядка. В этом случае корреляционный поперечный размер турбулентных флуктуаций должен быть близким к величине .
Рассматриваем плазму в тороидальном магнитное поле токамака
B = Bo R 0 R
еФ +
q(r)
R = Ro + r cos 0,
ция) суть
B
k = — (-er cos 0 + e0 sin 0),
Ro r e
2k
2k
С учетом вышеприведенных формул и после нормировки уравнение (2.2) может быть переписано в безразмерном виде
дЩ + V • (УЕЖ) + а V • НР + ±ГЕ2,п} = дг 2 Р 2 Е (2.4)
^м- С(Р) - С(ГГ||) + v±АЩ,
Щ(г, 0, Ф, г) = V ±(пУ±ф + аУ ±Р1-), (2.5)
Нр(г,0,ф,г) = Vр,У2ф - уеу1р;- + V±(Уе ■ Ур), (2.6)
где введены безразмерные скорости электрического и ионного дрейфов
VE = b хУф = (VEr ,VEd) = (-
1дф дф\ rdQ'dr!
= b х ^P' = VprVpe) = (--f,f¡
и
Пн
По
k •
nVE + aVpi +
a T
+ 1.61^ nb xVT¡ L*
- 2R0 V,V,
L| VV
По = 0.96
f Vk*л
,rQvUJ
k ^ kRo, L| = 2nqRo.
где малый радиус r отсчитывается от тороидальной оси, 9 и ф — полоидальный и тороидальный углы. Эффектами шира магнитного поля пренебрегаем и считаем q = const. При этом вектор кривизны магнитного поля k и оператор кри-2b х k
визны C(A) = —-— VA (А — произвольная функ-
Параметр а = р8С8г*/(ЬпЬ*) контролирует величину членов, включающих давление ионов, и по порядку величины равен отношению дрейфовой частоты к инкременту баллонной моды а = /у В, где = к±¥в, к± = 1/Ь* Ув = (р5/Ьп)С8. Численно величина а изменяется в пределах 0.1—1.8.
Приступая к угловому усреднению уравнения (2.4), заметим, что справедливы равенства
C(A) = --(дА sin 0 + 1 дA cos(
rqb0\ dr r д0
Магнитное поле указанного вида имеет магнитные поверхности
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.