ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2013, том 49, № 2, с. 137-143
УДК 551.511.32:532.5.013:532.523
ГЕНЕРАЦИЯ "ТЕПЛОВОГО ВЕТРА" НАД НЕОДНОРОДНО НАГРЕТОЙ
ВОЛНИСТОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
© 2013 г. О. Г. Чхетиани*, **, М. В. Калашник*, ***, Л. Х. Ингель***
*Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН 119017Москва, Пыжевский пер., 3 **Институт космических исследований РАН 117810 Москва, ул. Профсоюзная, 84/32 ***НПО "Тайфун" 249038г. Обнинск, Калужская обл., ул. Победы, 4 E-mail: ochkheti@rssi.ru Поступила в редакцию 20.09.2011 г.
В рамках упрощенной аналитической модели исследована задача о стационарных конвективных течениях над неоднородно нагреваемой волнистой поверхностью. Показано, что периодический по горизонтали нагрев такой поверхности может приводить к эффекту "теплового ветра" — генерации однородного горизонтального потока вдали от поверхности.
Ключевые слова: конвекция, неоднородный нагрев, атмосферный пограничный слой, пустыни, барханы, местные ветры, тепловой ветер.
DOI: 10.7868/S0002351513020053
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящей заметке показано, что периодический по горизонтали нагрев волнистой поверхности может приводить к генерации однородного горизонтального течения над поверхностью. Это обстоятельство существенно, в частности, для описания воздушных течений над квазипериодическими грядами песчаных барханов в пустынях (см., например, [1, 2]). Возможность возникновения в таких условиях горизонтального ветра нетривиальна и может играть важную роль в переносе аридных аэрозолей, динамике пыльных бурь.
Исследованию конвективных течений, инициированных неоднородным нагревом горизонтальной поверхности, посвящена обширная литература. В рамках линейного приближения аналитические результаты получены, в частности, в [3—7]. Предпринимались также попытки описания течений над одиночными барханами в рамках теории склоновых ветров Прандтля [1, 2]. В задаче о барханах естественна постановка задачи с заданными периодическими распределениями рельефа и нагрева поверхности. Такая постановка приводит к усложнению задачи даже в линейном приближении. В настоящей работе построено асимптотическое решение задачи в форме разложения по малому параметру — отношения высоты рельефа к горизонтальному масштабу неоднород-ностей. Нулевое приближение при этом описыва-
ет систему затухающих с высотой и периодических по горизонтали циркуляционных ячеек над плоской поверхностью. Важная особенность связана с функциями первого приближения, содержащими постоянные (непериодические) поправки к нулевому приближению. Соответствующая поправка к полю скорости описывает эффект "теплового ветра" — генерацию однородного горизонтального потока вдали от поверхности. Можно отметить определенную аналогию этого эффекта с эффектом акустического ветра в газовой динамике [8].
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В приближении Буссинеска движения стратифицированной среды описываются системой уравнений [8]
dv = --1 Vp + vV2v + gaTez, div v = 0, dt p*
— = kv 2T, dt
(1)
где V — вектор скорости с компонентами и, V, w вдоль осей х, у, г соответственно (ось г направлена вертикально вверх); р, Т — отклонения давления и температуры от гидростатических распределений; р.,. — средняя плотность, а — термический коэффициент расширения среды, g — ускорение свободного падения, V, к — коэффициенты кинема-
тической вязкости и температуропроводности, ег — вертикальный орт, (!/& = д/д? + V V — оператор полной производной.
В рамках системы (1) рассмотрим задачу о стационарных двумерных возмущениях, вызванных неоднородным нагревом волнистой подстилающей поверхности
; = Н(х) = АНсо8(кх -ф). (2)
Предполагается, что вдали от поверхности все возмущения ограничены, а на самой поверхности выполнены условия прилипания и задано гармоническое распределение температуры
I = Н(х): Т = АТсо8(кх), и = ы = 0. (3)
Здесь АТ, Ак — заданные амплитуды распределений температуры и рельефа, ф — сдвиг фаз этих распределений, к — волновое число. Граничные условия (3), в частности, могут моделировать ситуацию, связанную с неоднородным солнечным нагревом поверхности периодических гряд песчаных барханов.
Для простоты будем рассматривать случай нейтрально стратифицированной среды и равенства коэффициентов обмена (V = к). Отметим, что такие упрощения в какой-то мере отвечают ситуациям с интенсивной фоновой турбулентностью, обусловленной, в частности, мелкомасштабной стохастической конвекцией. Действительно, интенсивное перемешивание при этом делает стратификацию близкой к нейтральной, а эффективные коэффициенты турбулентного обмена для разных субстанций (значительно превышающие молекулярные коэффициенты) при этом обычно принимаются одинаковыми или близкими по величине [9—11]. В практически штилевых условиях в пустыне постоянно наблюдаются флуктуации турбулентной скорости на уровне 1—3 м/с для ее горизонтальных компонент [12]. При прогреве наблюдаются также заметные значения вертикальной компоненты скорости. Характерные масштабы турбулентных движений, исходя из данных пульсационных измерений, составляют величины порядка нескольких метров. Поскольку масштабы описываемых здесь конвективных движений близки к масштабам горизонтальной неоднородности — десятки и сотни метров, то мы можем для описания конвективных течений, инициируемых неоднородностями рельефа и нагрева, использовать довольно традиционную для геофизической гидродинамики модель с "турбулентной" вязкостью и теплопроводностью, которые эффективно моделируют влияние стохастической конвекции на основное крупномасштабное течение [8, 9]. Динамическая скорость трения
при слабом ветре щ = (и^12 ~ 0.1—0.2 м/с, при усилении ветра возрастает до значений 0.4—0.6 м/с [12], что позволяет использовать для средней по
атмосферному пограничному слою турбулентной вязкости значения V = 1—5 м2/с. Такого порядка значения коэффициента турбулентного обмена принимаются в мезометеорологических моделях при достаточно сильной турбулентности [10, 11].
Принимая в качестве пространственного масштаба к-1, масштаба температуры — АТ, а в качестве масштабов скорости и давления соответственно и=
= agAT / V к2, Р = agptAT/k, в безразмерных переменных получим систему (индексами внизу обозначены частные производные)
Я (иих + ) = -Рх + и^ + ихх,
Я (иЫх + ) = -Р^ + + Ыхх + Т, (4)
их + V = 0, Я(иТх + ыТ) = Тхх + Тгх с граничными условиями
I = бп(х) = 6соб(х - ф): Т = соб(х), и = ы = 0. (5)
Здесь Я = и/ук = а g А Т / V2 к3 — безразмерный параметр, характеризующий степень нелинейности (аналог числа Рейнольдса), е = Акк — безразмерный параметр, равный отношению вертикальной амплитуды рельефа к его горизонтальному масштабу к-1 (параметр волнистости границы). Всюду ниже будем считать е ^ 1.
Отметим, что введением функции тока и = — ц = система (4) сводится к системе из двух уравнений относительно у, Т:
= Д2Д2¥ + Тх, Я™^ = ДТ (6)
Б(х, I) Б(х, I) 2
где А2 — плоский оператор Лапласа. Б — якобиан.
3. ЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
В типичных условиях стохастическая конвекция обеспечивает достаточно интенсивный перенос тепла и импульса течений, что соответствует высокой "турбулентной" вязкости и теплопроводности. С учетом этого обстоятельства в качестве нулевого приближения (или в качестве первого шага) предполагаем, что турбулентные вязкие напряжения превышают напряжения Рейнольдса рассматриваемых конвективных течений, что приводит к эффективной линеаризации задачи. Структура малых возмущений описывается линеаризованной системой (Я = 0)
0 = -Рх + иа + ихх, 0 = -рг + + Ыхх + Т, (7)
их + V = 0, 0 = Тхх + Та,
с условиями (5). Сложность краевой задачи (5), (7) состоит в постановке граничных условий на горизонтально неоднородной границе. К решению этой задачи существуют два подхода. Первый из них [13, 14] состоит в переносе граничных
условий (5) на уровень г = 0 с использованием обычного тейлоровского разложения
Т|,=Е11 = Т1,=о + Т,1,=о ЕП(*) + 2^,1,=о еУ(х) + ••••
Асимптотическая форма граничных условий (5) примет вид
Z = 0: T + sr\(x)Tz +... = cos(x), u + ST|(x)wz +... = 0, w + sr|(x)wz +... = 0.
(8)
Предполагая, что вдали от поверхности (при z ^ да) все возмущения ограничены, легко получить решение.
T0 = exp (-z) cos (x), U =-1 z (2 - z)exp (-z)sin (x),
w0
= 1 z2 exp (-z )cos (x),
(11)
Для нахождения решения в рамках первого подхода, таким образом, имеем систему (7) с постоянными коэффициентами и краевыми условиями (8) с коэффициентами, зависящими от координаты.
Второй подход к решению задачи (5), (7) состоит в переходе к новым независимым переменным, связанным с криволинейной поверхностью
X = х, Z = , -еп(х). С учетом формул для преобразования производных
их = их - еп'(Х)иг, и, = ыг, и,, = ы22,
ихх = ихх - е(2п'(Х)Uхz + ц"(Х)иг - &ц'2(Х)иг2) = = ихх - еДи) в новых переменных из (7) получим систему
-Рх + ихх + = 6 (-ц'(X)pz + Ди)), их + Wz = бп'(х) ^, -Рz + ™хх + Wzz + т = бВД), Тхх + Tzz = е ДТ).
Хотя коэффициенты преобразованной системы зависят от координаты, граничные условия для нее имеют простой вид и ставятся на горизонтальной поверхности (в этом и состоит смысл перехода к новым переменным):
Z = 0: Т = ео8(х), и = w = 0.
В рамках обоих подходов можно искать асимптотическое решение задачи в форме прямого разложения по малому параметру:
(и, Т, Р) = (ио, ^о, То, Ро) + е(иь Т, р) +... (9)
Далее используем первый подход, который приводит к более простым вычислениям.
Ищем решение краевой задачи (5), (7) в форме (9). Для функций нулевого приближения, очевидно, получим систему (7) с условиями
Ро = -1 (3 - 2,)ехр(-,)ео8(х).
Данное решение описывает систему экспоненциально затухающих с высотой и периодических по горизонтали циркуляционных ячеек над плоской неоднородно нагреваемой поверхностью. Изолинии функции тока нулевого приближения =
= ехр(-г)г28т(х)/8, отвечающей полю скорости (11), представлены на рис. 1. Средний горизонтальный перенос в нулевом приближении отсутствует.
Для функций первого приближения имеем систему (7) с условиями
(12)
(14)
z = 0: T0 = cos(x), u0 = w0 = 0.
(10)
z = 0: T- = -n(x)T0z, ui = -n(x)u0z, w- = -n(x)w0z. С учетом (11) эти условия можно з
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.