ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2014, том 50, № 6, с. 723-732
УДК 551.465:532.752:532.51.13.4
ГЕНЕРАЦИЯ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН ВИХРЕВЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ В СДВИГОВОМ ПОТОКЕ
© 2014 г. М. В. Калашник
Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН 119017Москва, Пыжевский пер., 3 Научно-производственное объединение "Тайфун" 249038 Обнинск Калужской обл., ул. Победы, 4 E-mail: kalashnik-obn@mail.ru Поступила в редакцию 23.12.2013 г., после доработки 24.03.2014 г.
Исследован механизм генерации внутренних гравитационных волн вихревыми возмущениями в горизонтальном потоке с вертикальным сдвигом. Предполагается, что сдвиговый поток локализован в пограничном слое атмосферы с нейтральной стратификацией, над которым расположен полуограниченный стратифицированный слой, движущийся с постоянной скоростью. Показано, что распространение вихревых возмущений в пограничном слое неизбежно сопровождается генерацией волн. На основе линеаризованной системы уравнений гидродинамики получено интегро-диф-ференциальное уравнение для волновой амплитуды, позволяющее найти характеристики волн. Изучено волновое поле, возбуждаемое вихревым возмущением с начальным сингулярным распределением завихренности. Получены численные оценки вертикального компонента вектора плотности потока энергии, характеризующего перенос энергии волнами в верхние слои атмосферы.
Ключевые слова: ВГВ, сдвиговый поток, вихревые возмущения, генерация волн, излучение волн.
Б01: 10.7868/8000235151406011Х
1. Внутренние гравитационные волны (ВГВ) — важный элемент динамики атмосферы, оказывающий существенное влияние на ее тепловой и циркуляционный режимы [1—3]. Распространяясь с групповой скоростью, ВГВ осуществляют эффективный перенос энергии и импульса из тропосферы в верхнюю атмосферу. Адекватное описание циркуляции верхней атмосферы в численных моделях проводится с учетом притоков тепла за счет поглощения волн [4, 5]. Учет ВГВ важен и во многих теоретических вопросах геофизической гидродинамики, в частности, в связи с проблемой излучательной неустойчивости интенсивных атмосферных вихрей [6, 7].
Основными механизмами генерации ВГВ считаются орографическое возбуждение и гидродинамическая неустойчивость стратифицированных сдвиговых потоков [1, 8—10]. Однако эти механизмы носят локальный в пространстве и времени характер, хотя, как показывают данные наблюдений, ВГВ в атмосфере присутствуют постоянно и повсеместно. Данный факт стимулировал поиск динамических механизмов, обеспечивающих непрерывную (спонтанную) генерацию ВГВ. В последние годы активно изучались два таких механизма: 1) нелинейное геострофическое
приспособление [11—13]; 2) генерация волн вихревыми движениями [12, 14, 15], восходящая к известным работам Лайтхилла по вихревому излучению звука. Отметим также работы [16—19], посвященные немодальному описанию взаимодействия волновых и вихревых возмущений в неограниченных течениях с постоянным сдвигом. Обнаруженный в [16] эффект трансформации вихрей в волны при сильных сдвигах служит наглядной иллюстрацией возможности спонтанной генерации волн.
В настоящей работе рассмотрена задача о генерации ВГВ вихревыми возмущениями в новой постановке. Атмосфера представляется системой, состоящей из нижнего (пограничного или перемешанного) слоя с постоянной плотностью и верхнего полуограниченного слоя с экспоненциальной плотностной стратификацией. Предполагается, что в нижнем слое имеется горизонтальное течение с вертикальным сдвигом, а в верхнем слое скорость течения постоянна. Динамические возмущения в нижнем слое представлены суммой волновых и вихревых возмущений, т.е. возмущений с нулевой и ненулевой завихренностью. Показано, что распространение произвольного вихревого возмущения (в условиях реальной атмо-
сферы, например, в области повышенной турбулентности, на линии шквала, конвективного шторма и т.д.) неизбежно сопровождается генерацией волн. На основе линеаризованной системы уравнений гидродинамики получено инте-гро-дифференциальное уравнение для волновой амплитуды, позволяющее найти характеристики волн. Изучено волновое поле, возбуждаемое вихревым возмущением с начальным сингулярным распределением завихренности. Получены численные оценки вертикального компонента вектора плотности потока энергии, характеризующего перенос энергии волнами в верхние слои атмосферы.
2. Постановка задачи. Представим атмосферу системой, состоящей из нижнего перемешанного приземного слоя 0 < г < Н с постоянной плотностью р0, и верхнего слоя г > Н с экспоненциальной плотностной стратификацией. Будем считать, что в нижнем слое имеется горизонтальное течение и (г) = Б г с вертикальным сдвигом Б, а в верхнем слое скорость течения постоянна. В аналитической форме фоновые распределения плотности и скорости (рис. 1) записываются в виде
Р(г) =
Ро, 0 < г < Н,
Роехр(-^2 (г - Н)/я), г > Н' Бг, 0 < г < Н,
(1)
и(г) \и = БН, г > Н
где N2 = - яр — частота Брента, g — уско-
рение свободного падения.
Исследуем поведение малых возмущений состояния (1). Динамика двумерных возмущений в нижнем слое описывается системой уравнений
Р0 (и, + Бгых + Бя) = -Рх,
Р0 (т, + БгЯх) = -Рг, их + т = 0.
(2)
Здесь и, т — горизонтальный и вертикальный компоненты скорости, Р — возмущение давления. В области г > Н имеем линеаризованную форму уравнений динамики стратифицированной жидкости
р(г) (и, + иих) = -Рх, р(г)(т, + Шх) = -Рг - яр',
р' + ирх - ^7я)я = 0, их + Яг = 0,
(3)
где р — возмущение плотности.
При совместном решении систем (2), (3) необходимо наложить граничные условия на поверхности раздела г = Н. Условия, отражающие непрерывность нормального компонента скорости и возмущения давления, имеют вид
т = т
Иг=Н-0 №\г=Н+0 '
(4)
{и, + иих + г
=Н-0 = {и, + иих)г=Н+0 .
(5)
Н
Н
Рис. 1. Вертикальные распределения скорости и плотности в невозмущенном состоянии.
Динамическое граничное условие (5) следует непосредственно из первых уравнений систем (2), (3).
К условиям (4), (5) присоединяется также естественное краевое условие =0 = 0 на твердой нижней границе. При г ^ да будем требовать выполнения либо условия затухания возмущений, либо условия излучения — возбуждаемые волновые поля уносят энергию на бесконечность (от границы). Последнее условие выполняется, если вертикальный компонент вектора плотности потока энергии = (Рт) положителен [1, 3]. Здесь угловые скобки означают горизонтальное усреднение.
Каждую из систем (2), (3) можно свести к одному уравнению относительно функции тока у, пользуясь соотношениями и = -у г, т = у х. В области 0 < г < Н имеем уравнение
(д + Бг £) Ду = 0,
\д, Эх!
(6)
А — двумерный оператор Лапласа. Уравнение (6) описывает адвективный перенос завихренности ш = - тх = -Ду сдвиговым потоком.
Исключение из системы (2) возмущений давления и плотности приводит к уравнению
Ж
т
( - 2уу г) + N V хх = 0,
Ж = д + и д.,
Ж дг дх
(7)
где у = N2/2я. В отсутствие фонового течения уравнение (7) представляет собой основное уравнение теории внутренних гравитационных волн [20, 21]. При этом допущение у = 0 известно как приближение Буссинеска [1]. Данное приближение справедливо, если вертикальный масштаб возмущений ^ много меньше так называемой приведенной высоты атмосферы Н5 = я/N2.
Уравнения (6), (7) рассматриваются совместно с условием непротекания =0 = 0, условием излу-
г
г
0
0
и
Р
ш
V г - ¿V;
чения (затухания) и граничными условиями (4), (5), которые в терминах функции тока имеют вид
VI г=н-0 = VI г=н+0,
Б (8), (9) =-V г •
г=Н-0 Вг г=н+0
Остановимся на начальных условиях, имеющих нестандартный вид. Для уравнения (6) в начальный момент времени будем задавать не функцию тока, а распределение завихренности
г = 0: Ду = р(х, г), (10)
где Е (х, г) — заданная функция, Е (х, Н) = 0.
Поскольку уравнение (7) имеет второй порядок по времени, присоединим к нему два начальных условия
г = 0: Ду- 2ууг = 0, Б/Бг (Ду- 2ууг) = 0. (11)
Данные условия означают, что при г = 0 в верхнем слое отсутствуют возмущения плотности и обобщенной завихренности
Ау- 2уу г = |4 + Р д №
дх рдг V дг
(12)
При использовании приближении Буссинеска выражение (12) сводится к обычному выражению для завихренности Ду.
Математическая постановка задачи, таким образом, включает решение уравнений (6), (7) с перечисленными начальными и граничными условиями. Физическая постановка состоит в описании процесса возбуждения волн в стратифицированном слое возмущениями в перемешанном слое с нейтральной стратификацией.
3. Решение для нижнего слоя. Волновые и вихревые возмущения. Из уравнения (6) и начального условия (10) для завихренности в нижнем слое получим
Ду = Е(х - Бг1,г). (13)
С учетом (13) функцию тока в нижнем слое можно представить суммой вихревого и волнового компонентов
V = V V + V *
Здесь вихревой компонент уДх, г, г) есть решение уравнения Пуассона (13) с условиями у|г=0 = = у| = 0. Волновой компонент определим как решение уравнения Лапласа Ду = 0 с условием VI г=0 = 0. В отличие от вихревого компонента, волновой компонент определен неоднозначно; его учет необходим для построения самосогласованного решения задачи.
Далее будем рассматривать случай гармонического по горизонтальной координате распределения
Е (х, г) = Ф(г) ехр (гкх), (14)
где заданная функция Ф(г) дает распределение завихренности по вертикали. В этом случае для вихревого компонента имеем представление
V V (х, г, г) = ф V (г, г) ехр(гкх), (15)
где фДг, г) есть решение краевой задачи
d2ф^dz2 - к2фv = Ф(z)exp(-ikSZt),
Ф v(0) = фv (Н) = 0.
Отсюда
н
Фv(г, г) = 10(г, %)Ф(%) ехр (-¿Ш ^)d %,
0 (16) % = 1 Г (кг>Мк(%- Н)), 0 < г <%, (г, % Щ)сН) (к%) 8И(к(г - Н)), % < г < Н,
где 0(г, £) — функция Грина.
Волновой компонент, удовлетворяющий уравнению Ду = 0, представим в виде
V* = Ф„Хг, Оехр(гкх) = А(г) ^^ ехр(гкх), (17)
8п(кН)
где А(г) — функция времени, которую далее будем называть волновой амплитудой. Эта амплитуда, удовлетворяющая начальному условию А(0) = 0, находится с учетом уравнения (7) для функции тока в верхнем слое и граничных условий.
Таким образом, для функции тока в нижнем слое имеем представление
/
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.