научная статья по теме ГЕНЕРАЦИЯ ВОЛН КОЛЕБЛЮЩИМСЯ ПОГРУЖЕННЫМ ЦИЛИНДРОМ ПРИ НАЛИЧИИ ПЛАВАЮЩЕЙ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ Физика

Текст научной статьи на тему «ГЕНЕРАЦИЯ ВОЛН КОЛЕБЛЮЩИМСЯ ПОГРУЖЕННЫМ ЦИЛИНДРОМ ПРИ НАЛИЧИИ ПЛАВАЮЩЕЙ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ»

М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2014

УДК 532.59:539.3

© 2014 г. И. В. СТУРОВА

ГЕНЕРАЦИЯ ВОЛН КОЛЕБЛЮЩИМСЯ ПОГРУЖЕННЫМ ЦИЛИНДРОМ ПРИ НАЛИЧИИ ПЛАВАЮЩЕЙ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ

Представлены результаты решения линейной задачи об установившихся колебаниях горизонтального цилиндра, погруженного в жидкость, на верхней границе которой плавает полубесконечная упругая пластина с прямолинейным свободным краем. Оставшаяся часть поверхности жидкости является свободной. Использован метод распределенных по контуру тела массовых источников. Соответствующая функция Грина построена с использованием разложения по собственным функциям. Выполнены расчеты гидродинамической нагрузки и амплитуд вертикальных смещений свободной поверхности и упругой пластины. Выведены соотношения эквивалентности, которые показывают симметрию коэффициентов присоединенной массы и демпфирования, а также связь коэффициентов демпфирования с амплитудами волн в дальнем поле.

Ключевые слова: линейная теория волн, колебания погруженного цилиндра, плавающая упругая пластина, гидродинамическая нагрузка, соотношения эквивалентности.

Задача о волновых движениях, вызванных колебаниями твердого тела, погруженного под свободной поверхностью идеальной несжимаемой жидкости, достаточно полно изучена в линейном приближении. В [1] представлен обзор существующих методов решения этой задачи и приведена обширная библиография. Исследования волновых движений жидкости при колебаниях тела, погруженного под плавающей упругой пластиной, начаты относительно недавно. Практические приложения этой задачи связаны с изучением влияния на погруженные тела плавающего ледяного покрова и искусственно созданных больших плавающих платформ. Двумерная задача об установившихся колебаниях горизонтально расположенного цилиндра, погруженного в слой линейно стратифицированной жидкости под ледяным покровом, рассмотрена в [2]. Подробно исследован частный случай однородной жидкости. В трехмерном случае генерация волн при колебаниях погруженной сферы под ледяным покровом исследована для однородной и двухслойной жидкости в [3—5].

Во всех упомянутых работах предполагается, что ледяной покров является неограниченным по горизонтальным координатам. Однако в реальных ситуациях ледяной покров может покрывать не всю верхнюю границу жидкости, а только ее часть. При этом в ледяном покрове могут существовать трещины, разводья (полыньи), а также торосы. Влияние таких сложных граничных условий на поведение волнового движения, генерируемого погруженным телом, еще никем не рассматривалось. Наряду с ледяным покровом подобные задачи возникают и при эксплуатации плавающих платформ.

В данной работе рассматривается наиболее простая задача об установившихся колебаниях горизонтального цилиндра, погруженного в жидкость, на верхней границе которой плавает полубесконечная упругая пластина с прямолинейным свободным краем. Оставшаяся часть поверхности жидкости является свободной. Ось цилиндра параллельна краю пластины и данная задача является двумерной. Для решения задачи применен метод распределенных по контуру тела массовых источников. Соответствующая функция Грина построена с использованием разложений по собственным функ-

циям аналогично [6]. Определены зависимости коэффициентов гидродинамической нагрузки (присоединенной массы и демпфирования) и амплитуд вертикальных смещений свободной поверхности и упругой пластины от частоты колебания цилиндра и его расположения относительно края пластины.

1. Постановка задачи. Рассматривается идеальная несжимаемая жидкость, заполняющая безграничный в горизонтальном направлении слой толщины H. Волновые движения в первоначально покоящейся жидкости вызваны малыми горизонтальными, вертикальными и вращательными колебаниями погруженного тела. Считая возмущенное движение жидкости установившимся и потенциальным, полный потенциал скоростей волнового движения запишем в виде

Ф(х, у, г) = Яе

3

I у Ф у (х, у) ехР О® г)

. у=1

(1.1)

где комплексные радиационные потенциалы фу (х, у) характеризуют движение, обусловленное колебаниями тела с частотой ш по трем степеням свободы с амплитудами ^у, x — горизонтальная ось, направленная вдоль невозмущенной верхней границы жидкости, вертикальная ось у проходит через край пластины, t — время. На верхней границе жидкости у = 0 плавающая упругая пластина занимает область 0 < х < да, а свободная поверхность — область -да < х < 0. Осадка пластины не учитывается. Предполагается, что пластина контактирует с водой во всех точках и во все моменты времени.

Внутри жидкости выполняется уравнение Лапласа

Афу = 0 (-да < х <да,- Н < у < 0) (1.2)

В области свободной поверхности граничное условие имеет вид

дф- = ^Фу (-<»< х < 0, у = 0), ^ = ^ (1.3)

ду g

где g — ускорение силы тяжести, а в области, ограниченной сверху упругой пластиной, д4 „2„ , „Р1дФу

\ -ю2В + gp -рю2фу = 0 (0 < х <<ю, у = 0) (1.4)

I дх4 ) ду

3 2

где Л = Ed /[12(1 -V )], В = р^; Е, V, р^, d — модуль Юнга, коэффициент Пуассона, плотность и толщина упругой пластины, р — плотность жидкости. Условие свободного края пластины требует равенства нулю изгибающего момента и перерезывающей силы

д 3ф! д 4ф ,■

—Г- = -Г!- = 0 (х = 0+, у = 0) (1.5)

дх ду дх ду

На замкнутом контуре погруженного тела ставится условие непротекания

дф !

= пу (х, у е у = 1,2,3) (1.6)

дп

Здесь п = (пх, пу) — внутренняя нормаль к контуру S,

П1 = Пх, П2 = Пу, Пз = (у - у0)П1 - (х - х0)П2 (1.7)

x0, у0 — координаты точки, относительно которой происходят вращательные колебания тела. Граничное условие на дне имеет вид

дф :

= 0 (—да < х <да, у = —Н) (1.8)

ду

В дальнем поле следует потребовать выполнения условия излучения, которое означает, что генерируемые волны являются расходящимися.

Вертикальные возвышения свободной поверхности и упругой пластины Ж(х, г) определяются из соотношения

дЖ = дФ дг дУ у=о

По аналогии с представлением (1.1) выражение для Ж(х, г) удобно записать в виде

Ж(х, г) = Яе

3

££ (х)ехр(гюг)

1_М

где

дф ду

V (х)

(1.9)

у=0

представляют собой комплексные функции, позволяющие определить амплитуды колебаний свободной поверхности и упругой пластины по отношению к амплитуде колебаний погруженного тела.

2. Метод решения. При решении задачи (1.2)—(1.8) для каждой моды колебания тела введем неизвестное распределение массовых источников по контуру S, обозначив его а ] (х, у). Тогда радиационные потенциалы в любой точке жидкости можно представить в виде

<р ] (х, у) = | о ] (£ п)О(х, у; £ ц)^ (] = 1,2,3) (2.1)

Здесь О (х, у; п) — функция Грина рассматриваемой задачи, определяющая потенциал скоростей в жидкости, вызванный пульсациями массового источника единичной интенсивности, расположенного в точке с координатами п).

Для определения функции Грина необходимо решить уравнение

А О = 2п5( х - £)8( у - п)

(5 — дельта-функция Дирака) с граничными условиями, аналогичными (1.3)—(1.5), (1.8) и условием излучения в дальнем поле.

Значение функции Грина находится с использованием метода сопряжения и разложения по собственным функциям. Область, занятую жидкостью, удобно разделить на две подобласти: Г^-да < х < 0, - Н < у < 0) и Г2(0 < х < да, - Н < у < 0). Решение для функции Грина существенно зависит от положения источника. Различные случаи его расположения (под свободной поверхностью или под упругой пластиной) рассматриваются отдельно.

Случай 1 (источник под свободной поверхностью). В этом случае £ < 0, и значение

О(х,в Г(- обозначено О®(х,у;^, п) = 1,2). Эти функции ищутся в виде разложения по собственным функциям соответствующих краевых задач:

G(1) = G^ + Л01'eikoxy0(y) + ЕR^e^y m(y) (x, y e Гх) (2.2)

G(D = 70(1)e-p07o(y) + X T,®e(x, y e Г2) (2.3)

n=-2 n*0

где

V o(y) = chko(y + H)/chkoH

Vm(y) = cos km(y + H)/ cos kmH (m = 1,2,3,...)

fo(y) = chpo(y + H )/chpo H

fn(y) = cos pn(y + H)/ cos PnH (n = -2,-1,1,2,3,...)

Значения km (m = 0,1,2,), определяемые из уравнений

Q = k0thk0 H = -kmtgkmH

являются вещественными и положительными, а также удовлетворяют неравенствам (m - 1)n/H < km < mn/H (m = 1,2,3,...). Собственные функции уm (m = 0,1,2,...) ортогональны и образуют полную систему. Эти функции определены с учетом уравнения (1.2) и граничных условий (1.3), (1.8).

Значения pn удовлетворяют уравнениям

K = Ро(1 + LpoVpoH = -Pn (1 + Lpt)igPnH (n = -2, -1,1,2,3,...)

2 2 2 где L = D/(gp - ra B) и K = рш /(gp - ra B). Следует отметить, что значения p_2 и p_j являются комплексно-сопряженными с положительными вещественными частями, а вещественные положительные значения pn (n = 1,2,3...) удовлетворяют неравенствам (n - 1)п/H < pn < nn/H. Собственные функции fn (n = -2,-1,0,1,2,...) неортогональны, но также представляют собой полную систему [7]. Эти функции определены с учетом уравнения (1.2) и граничных условий (1.4), (1.8).

Функция G§\x, y;^, п) представляет собой потенциал скоростей для источника, погруженного под бесконечно протяженной свободной поверхностью

= ln£ + PU JP1(y, n; k)cosk^dk - inP1(y, n; ko)cos ko(X ^ i 0 Z1(k) z;(ko)

где символы pu означают интеграл в смысле главного значения, г2 = (x - + (y - n)2, I2 = (x - ^)2 + (y + П)2

P1 =-^^{[(kchkn + Qshkn)e~ky - (Q + k)ekyshkn]e~2kH + kek(y+n)}

k(1 + e ~2kH)

Z1(k) = Q - kthkH, Z'(ko) = dZ1 /dk\k=ko

Неизвестные постоянные R^, Tjp в (2.2), (2.3) определяются из условий непрерывности давления и горизонтальной скорости на границе между подобластями Г: и Г2

m=1

от

О1(1)|х=0- = о2Ц|*=0+, 3О1(1)/дх|х=0- = Э021)/5х|х=0+ (-Н < у < 0) (2.4)

В дальнем поле согласно условию излучения существуют только уходящие от источника волны: при х - £ ^ -<» — это волна, распространяющаяся влево с волновым числом к0, а при х - £ ^ да — волна, распространяющаяся вправо с волновым числом р0. Для определения поведения функции Грина в (2.2), (2.3) при х - £ ^ достаточно ограничиться предельными значениями только первых слагаемых:

О1(1) = Ш П)¥0(уУ*°х (х - % ^ -да) (2.5)

О® = 70(1)е-Р0х/0(у) (х - ^ да) (2.6)

где

а&П = ^ - 2'пе^ ^

0 гт

Случай 2 (источник под упругой пластиной). В этом случае £ > 0 и значения функции

Грина в Г,- обозначены О(\х, у;

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»