М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2013
УДК 532.5:551.465
© 2013 г. А. А. САВИН, А. С. САВИН
ГЕНЕРАЦИЯ ВОЛН НА ЛЕДЯНОМ ПОКРОВЕ ПУЛЬСИРУЮЩИМ В ЖИДКОСТИ ИСТОЧНИКОМ
Рассмотрен неподвижный точечный источник переменной интенсивности в плоском бесконечно глубоком слое жидкости с ледяным покровом. Получено общее выражение для возмущения границы раздела жидкости и льда. Найдена волна, устанавливающаяся на ледяном покрове при длительной работе источника в пульсирующем режиме.
Ключевые слова: жидкость с ледяным покровом, точечный источник, установление волны.
Лежащая на стыке гидродинамики и теории упругости динамика жидкости с ледяным покровом имеет различные приложения, в частности, в океанологии. В работах этого направления, обзор которых содержится, например, в [1], изучается взаимодействие поверхностных и внутренних волн с ледяным покровом. Волны считаются свободными, а связь с породившими их источниками, как правило, не рассматривается. С другой стороны, в гидродинамике известны решения задач о генерации волн в жидкости без ледяного покрова, локализованными в толще источниками возмущений, которые моделируются точечными гидродинамическими особенностями [2—8]. В этой связи представляется естественным обобщение постановок и методов решений таких задач на случай жидкости с ледяным покровом.
В последнее время появились работы, восполняющие этот пробел [9—13]. В [9] рассмотрены плоская и пространственная задачи о точечном источнике переменной интенсивности в слое жидкости с ледяным покровом. Получены общие выражения для потенциала скорости жидкости и их частные случаи для импульсного, постоянного и пульсирующего по гармоническому закону источников. Приведены асимптотические выражения потенциала скорости установившегося течения при длительной работе пульсирующего источника и потенциала скорости течения на большом расстоянии от источника. При этом в [9] вопрос о волнах, возникающих на ледяном покрове под воздействием источника в жидкости, никак не затрагивается. В [10] изучены волны, возникающие на ледяном покрове жидкости, при импульсном воздействии на лед, а также при мгновенном выбросе некоторой массы точечным источником в толще жидкости. Обобщение результатов на случай источника с произвольно меняющейся во времени интенсивностью проведено в [11]. Для волн, образующихся на ледяном покрове под влиянием такого источника, в [10] методом стационарной фазы найдено асимптотическое представление для больших времен в точках с фиксированным отношением расстояния от источника ко времени, т.е. в системе координат, движущейся с определяемой этим отношением скоростью.
В настоящей статье рассмотрена плоская задача о генерации волн на ледяном покрове неподвижным точечным источником переменной интенсивности, локализованным в толще жидкости. Ледяной покров моделируется тонкой упругой пластиной постоянной толщины, плавающей на поверхности жидкости. Для длительно пульсирующего по гармоническому закону источника найдены устанавливающиеся на ледяном покрове волны. В отличие от [10], установившийся режим получен как предел отклонения ледяного покрова от положения равновесия в любой фиксированной точке
при неограниченном времени. При вычислении этого предела использованы свойства обобщенных функций. Такой подход позволил автоматически устранить свободные волны и сразу найти физически осмысленное решение в виде расходящихся от источника волн. Заметим, что таким же образом свободные волны устраняются в задачах о неподвижных и движущихся гидродинамических особенностях как под ледяным покровом, так и под свободной поверхностью жидкости [12—15].
1. Общее решение задачи. Рассмотрим неподвижный точечный источник в толще бесконечно глубокой жидкости, покрытой льдом. При переменной во времени мощности источника ( = ( (г) в жидкости возникают возмущения, которые передаются ледяному покрову. Поставим задачу найти эти возмущения. Предполагаем, что на границе раздела жидкости и льда возникают волны, амплитуда которых много меньше их длины, а течение жидкости потенциально всюду, кроме точки локализации источника. Введем прямоугольную декартову систему координат так, что ось х пройдет по невозмущенной границе раздела жидкости и льда, а ось у направим вверх. Расположим источник в точке (0, -I), где I > 0 — глубина погружения источника, равная расстоянию от источника до ледяного покрова.
Представим потенциал скорости течения жидкости в виде
Ф (х, у, г) = Ф! (х, у, г) + ф (х, у, г) (1.1)
где ф! — потенциал скорости течения, вызываемого в безграничной жидкости рассматриваемым источником и источником той же мощности, находящимся в точке (0, /). Комплексный потенциал течения, создаваемого такой парой источников, имеет вид [3]
= Ф1 + = ([1п (г + П) + 1п (г - я)], г = х + 1у (1.2)
2п
Слагаемое ф (х, у, г) в выражении (1.1) представляет собой волновую часть потенциала скорости и удовлетворяет во всей области течения уравнению Лапласа
ф хх +ф уу = 0 (1.3)
Применив преобразование Фурье
/ (Х, у, г) = | ф (х, у, г) ехр (—Хх) йх (1.4)
—да
к обеим частям уравнения (1.3), получим обыкновенное дифференциальное уравнение
/уу -X V = 0 (1.5)
Общее решение уравнения (1.5) имеет вид
/ (X, у, г) = а (X, г) ехр (|Х| у) + Ь (X, г) ехр (-|Х| у) (1.6)
Для бесконечно глубокой жидкости выполняется условие затухания волновых возмущений с глубиной [7], поэтому в (1.6) имеем Ь (X, г) = 0. С учетом сказанного получаем окончательное выражение для преобразования Фурье (1.4) волновой части потенциала скорости
/ (X, у, г) = а (X, г) ехр (| Ц у) (1.7)
Обозначим через п = п (х,,) отклонение границы раздела жидкости и льда от ее равновесного положения у = 0. В рассматриваемом приближении малых волн граничные условия ставятся при у = 0 и имеют вид [1]
Фt + ЯП - Сп« + Впхххх + Ац„ = 0, п = Фу (1.8)
Здесь я — ускорение свободного падения, А = р\к/р0, В = £й3/[12р0(1 -V2)], С = <з11Н\р0, р0 — плотность воды, р: — плотность льда, к — толщина льда, Е — модуль Юнга льда, V — коэффициент Пуассона льда, стп — начальное напряжение льда. Эти величины в морских условиях имеют следующие характерные значения: р0 = 1025 кг/м3, р1 = 0.9р0, Е = 3 ■ 109 Н/м2, V = 0.3, сп = 105 Н/м2.
Используя (1.1), (1.2), представим равенства (1.8) как граничные условия для волновой части ф потенциала скорости при у = 0
Ф, + яп- Спхх + Вп хххх + Ащ =- (Ф1),, ц, =ф у (1.9)
Дальнейшее решение задачи включает в себя преобразование Фурье граничных условий (1.9). Для упрощения этой процедуры целесообразно предварительно продифференцировать по х обе части первого из равенств (1.9). С учетом (1.2) имеем
дФ1 (x,0,t) = Re dW\
dx dz
=-—(1-10>
y=0 П x + l
Обозначим преобразование Фурье n = П(x, t) через S = S (X,t). Используя равенства (1.7), (1.10), получаем из (1.9)
at + (g + CX2 + BX4)S + AStt = Qt |X|-1 exp(-l|X|), St = |X|a (1.11)
Исключив из системы уравнений (1.11) величину a, получим
Stt + ®2S = Qt (1 + A ^)-1 exp (-) (1.12)
ю2 = |X| (1 + A |X| )-1(g + CX2 + BX4) (1.13)
Если в некоторый момент времени источник начинает свою работу в изначально невозмущенной среде, то естественно считать, что S (X, -да) = 0, St (X, -да) = 0. Решение уравнения (1.12), удовлетворяющее таким начальным условиям, имеет вид
S (Я t)=^p+A| Í —т (т) Sin [ (t-T)]dT (1.14)
Преобразовав интеграл в выражении (1.14) по частям, найдем
S(X,t)= )— (T)cos[ю(t — т)]dт (1.15)
' ' -да
Вызванная источником волна на границе раздела жидкости и льда находится применением обратного преобразования Фурье к выражению (1.15)
П(x, t)= — í S(X, t)exp(iXx)dX (1.16)
2n
Как видно из равенств (1.13), (1.15), функция 5 = 5 (X, г) является четной по переменной А, поэтому из (1.15), (1.16) следует
П(xt) = i +|exp(-/+)™s(Xx) )q(T)cos[ю(t - T)]dTdX
(1.17)
2. Установившаяся волна от пульсирующего источника. Рассмотрим источник, мощность которого определяется как
Q (t) = 9 (t) Qo sin (nt)
(2.1)
где 9 (г) = 0 при г < 0, 9 (г) = 1 при г > 0.
Из (1.17), (2.1) находим генерируемую на границе раздела жидкости и льда волну
/ \ / \t
П (x t) = Q JeXP (-/+ (Xx) J sin (Qx)cos [ (t -x)]d Td X
(2.2)
Найдем волновой режим, устанавливающийся при длительной работе источника. Обозначим внутренний интеграл в (2.2) через I(t). По известному свойству свертки
t
I (t) = J sin [Q (t -x)]cos ((ox)dT
o
Используем представление
t
I (t) = Im [exp (tat) J (t)], J (t) = j exp (-tQr) cos (ют) dr (2.3)
Найдем предел J (+<») величины J(t). Воспользовавшись формулой Эйлера для cos (ют) и выполнив непосредственное интегрирование во втором равенстве (2.3), получим выражение, предел которого представляется в виде [16, 17].
J (+«) =п [8 (ю-П) + 5 + +
2 ю - Q
где 5 — дельта-функция.
С учетом равенства 8 (ю - Q) + 8 (ю + Q) = 2^8(ю2 - Q2) (2.4) принимает вид
(2.4)
J (+») = Q
п5(ю2 - Q2) +
2
ю - Q _
(2.5)
Целесообразность перехода от (2.4) к (2.5) связана с рационализацией аргумента 8-функции. Действительно, как видно из равенства (1.13), при X > 0
ю2-Q2 = (1 + AX) 1P(X), P(X) = Ж5 + СХ3 + (g - AQ2)X-Q
2
(2.6)
Выражения (2.2), (2.3), (2.5), (2.6) с помощью известных свойств 8 -функции [16,17] позволяют представить установившуюся на границе раздела жидкости и льда волну в виде
П (x, t) = Q0Q j exp (-/X) cos (Ax)
8 (P (A)) sin (Qt )+■
s(Qt)
nP (X)
d X
(2.7)
o
да
o
Изучим расположение всех комплексных корней многочлена P(X). Очевидно, этот многочлен имеет те же корни, что и многочлен
2 2
ЯШ = Х5 + аХ3 + ЬХ + й, а = С, Ь = 8 - АП , й =(2.8)
В В В
Поскольку Я (0) < 0, Я (+<») = +<», а в области X > 0 производная Я' (X) имеет не более одного вещественного корня и > 0, многочлен Я (X) имеет единственный поло-
жительный простой вещественный корень X ь Таким образом,
Я (X) = (Х-Х!) Т (X) (2.9)
где Т (X) — многочлен четвертой степени, коэффициенты которого определяются из равенств (2.8), (2.9). Можно показать, что многочлен Т (X) не удовлетворяет критерию Гурвица [18] отрицательности действительных частей всех его корней и не имеет чисто мнимых корней. Следовательно, многочлен Т (X) имеет корни в правой полуплоскости. Они не могут быть вещест
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.