ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2008, том 44, № 2, с. 271-275
УДК 550.373
ГЕНЕРАЦИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН ПРИ НЕЛИНЕЙНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ГИДРОАКУСТИЧЕСКОГО И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЕЙ В МОРСКОЙ СРЕДЕ
© 2008 г. С. В. Семкин, В. П. Смагин, В. Н. Савченко
Владивостокский государственный университет экономики и сервиса 690990 Владивосток, ул. Гоголя, 41
E-mail: Li15@rambler.ru Поступила в редакцию 22.12.2006 г., после доработки 19.09.2007 г.
Рассмотрена возможность генерации дополнительных акустических гармоник в геомагнитном поле при прохождении звуковой волны в проводящей среде через область с переменным электромагнитным полем. Проанализированы два возможных механизма такой генерации: параметрический и связанный с пондеромоторными силами (динамический). Получены выражения для трех акустических гармоник, генерируемых магнитным диполем с переменным магнитным моментом.
1. ВВЕДЕНИЕ
Известно [1], что при прохождении в морской среде звуковой волны через область с переменным электромагнитным полем генерируются добавочные акустические гармоники. Однако в настоящее время нет полной ясности в отношении механизма этой генерации. В любом случае электромагнитное поле в проводящей среде индуцирует электрические токи. Можно предположить, что эти токи способны создать периодическую тепловую структуру, которая, в свою очередь, приведет к генерации дополнительных звуковых гармоник при прохождении акустической волны [1]. Назовем этот возможный механизм генерации "параметрическим", имея в виду, что периодическая тепловая структура может привести к пространственной периодичности скорости звука - параметра волнового уравнения. В данной работе мы исследуем возможность генерации акустических гармоник по параметрическому механизму, предполагая, что среда безгранична и в ней отсутствуют макроскопические движения.
Другое возможное предположение о механизме генерации дополнительных звуковых гармоник, которое мы также исследуем в данной работе, заключается в том, что акустические гармоники создаются механическим воздействием электромагнитного поля на индуцированные токи (понде-ромоторные силы). Такой механизм мы будем называть динамическим. Ниже мы рассматриваем генерацию гармоник по динамическому механизму, предполагая, что кроме переменного электромагнитного поля в среде существует также и постоянное геомагнитное поле.
Данная работа является продолжением ранее проведенных нами исследований электромагнитных процессов в океане [2, 3].
2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИИ МЕХАНИЗМ ГЕНЕРАЦИИ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
Рассмотрим безграничную среду, характеризующуюся плотностью р, удельной теплоемкостью у и коэффициентом теплопроводности к. Будем считать, что в среде отсутствует тепловая конвекция и макроскопические движения. Тогда распространение тепла описывается уравнением теплопроводности
л и - f ( г > t )
-a2dt -- к '
(1)
где и = Т - Т0 (Т0 - начальная температура среды, одинаковая во всем пространстве), а2 = к/ру, Дг, г) -мощность источников тепла в единице объема. Общее решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с нулевым начальным условием имеет вид [4]:
2 t
и (г,t) = и ^drf (г', 0( 20^
t -1)
(2)
х expI -
г - г
4a (t -1)
Мощность тепловых источников в нашем случае
.2
определяется законом Джоуля-Ленца / = а, где . -
плотность тока, а - электрическая проводимость морской воды. Допустим, что пространственно-временная зависимость плотности тока имеет вид .(г, г) = .0(г)ео8(ю0, г). Подставим это выражение в
(2) и перейдем в интеграле по г' к новой перемен-г - г'
ной =
2 а^г -г'
и (г, г) =
2кап
1 (г'),
3 /2 [
2| ^ I (г', г);
(3)
1(г', г) = [
/
008'
Юр г -
V
Юр I г - г . 4 Д2
2
ехр () . (4)
2 а^г
I(г', г) = ег^(^ + 111008(2юрг) + + 112 81п (2Юр г),
(5)
где
егГо(г) = -7= е у йу №г
а Д и 12 равны
1-= i
/
-у
е 008
Юр I г - г
т 2 2
2а у
2
йу,
2 а/г
=[
/
-у
е 81П
Юр I г - г
т 2 2
2а у
2
(6)
йу.
2а4г
висимость температуры среды за пределами этой области. Заменяя в (3) и (7) |г - г'| на г, получим
ир (г, г) = Г1 + ехр Г - Г>0|Х
X 008
8 пкг
Г г7Ю0
(8)
а
-2 Юр г ,
иг Г^р(г'Ь -где т = -йг - полная мощность токов, со-
а
здаваемых антенной в морской среде.
Из структуры выражения (8) видно, что помимо монотонно убывающей с расстоянием составляющей температурного поля, есть и периодическая убывающая его компонента, имеющая вид бегущей тепловой волны. На первый взгляд, наличие этой волны подтверждает предположение о существовании пространственной периодичности температурного поля. Сделаем, однако, количественную оценку длины этой температурной
волны X = а/(2п ) и фазовой скорости ее распространения Уф = 2а Взяв ю0 порядка 103 с-1,
получим: X ~ 10-6 м, Уф ~ 102 м/с. Таким образом, помимо того, что амплитуда температурной волны экспоненциально быстро убывает с расстоянием, ее параметры не соизмеримо малы по сравнению с параметрами звуковой волны частоты порядка Ю0. Иными словами, даже если пренебречь конвективными движениями в морской среде, способными легко разрушить такую периодичность, маловероятно, что периодичность со столь малым пространственным периодом способна привести к генерации дополнительной звуковой гармоники.
Преобразуя выражение под знаком интеграла (4), приведем его к следующему виду
- интеграл вероятностей,
При г —► ^ нижний предел в интегралах (6) стремится к нулю; интегралы в этом случае можно вычислить точно. Выражение (5) в этом пределе принимает вид
I(г' г) = £( 1 + ехр(-^)
Х 008
(7)
Юр|г - г'|
-2 юр г
2. ДИНАМИЧЕСКИМ МЕХАНИЗМ ГЕНЕРАЦИИ ЗВУКОВЫХ ВОЛН
Рассмотрим возможность генерации добавочных звуковых гармоник за счет пондеромоторных сил. Предположим, что звуковая волна, созданная акустическим источником с частотой Ю, распространяется в морской среде, где находится искусственный источник электромагнитного поля (антенна) с частотой ю0. Будем основываться на линеаризованных гидроакустических уравнениях
Для дальнейшего анализа используем следующие соображения. Амплитуда плотности индуцированных антенной токов у0(г) является быстро убывающей функцией от расстояния до антенны [7]. Если размеры антенны ограничены, можно считать, что подынтегральное выражение в (3) отлично от нуля только в пределах некоторой области. Рассмотрим пространственно-временную за-
ЭР
дг
+ ррШуу = р,
(9)
Эу 2у7 „
РрЭг = "с УР + f.
Здесь р0 - равновесная плотность морской воды, с - скорость звука, р и у - соответственно акусти-
2
2
2
ГЕНЕРАЦИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН ПРИ НЕЛИНЕИНОМ ВЗАИМОДЕИСТВИИ
273
ческая плотность и скорость. Плотность пондеро-моторной силы f запишем в следующем виде
f = [.), В] + кУЕ2,
(10)
где В - магнитная индукция, Е - напряженность электрического поля, к - диэлектрическая восприимчивость морской воды, а плотность тока j определяется законом Ома (а - проводимость морской воды)
j = а(Е + [у, В]).
(11)
Магнитное поле В является суперпозицией постоянного геомагнитного поля Е и осциллирующего поля антенны В0. Ограничимся только рассмотрением влияния магнитной составляющей электромагнитного поля антенны. Строго говоря, скорость у, входящая в (11) сама должна определяться из решения задачи. Мы ограничимся приближением, в котором у можно считать равным V - скорости звуковых волн, создаваемых акустическим источником. Из системы (9) получим уравнение для акустического давления Р = рс2
У2Р -1др = ^.
с2 Эг2
(12)
Записав поле антенны
^ = 2([[и, Е], Ьо] + [[и, Ьо], Е]).
(13)
У2Р± + ю Р± = Шу^.
(14)
Р±
= -- г -
4пг
-1к± Я
Я
-divf ±йг',
(15)
где к± = ю±/с, Я = |г - г'|. Если же глубина океана Н значительно меньше расстояния между электромагнитным источником и точкой наблюдения акустических волн, то вместо решения краевой задачи с трехмерным уравнением (14) можно искать решение двухмерного уравнения Гельмгольца
Н/2
У2Р± + к±Р± = й, где й = Н Г divf±йг. (16)
-Н/2
Решение этого уравнения имеет следующий вид [4]: Р± = ^ Г * о (г'к±1 г - г1) й (х', у') йХ йу\ (17)
Если мы предположим, что область, где существенно электромагнитное поле антенны, мала по сравнению с расстоянием от антенны до точки
-1к± Я -1к± г -наблюдения, то можно считать ——— = - х
Я г
х -к+о,г )/г , (15), а , (17), используя асимптотиче-
ское выражение К0(1а) ■■
2- е-(а+П/4) [5], ад±г- -
виде В0 = 2 Ьо х
х (е 0 + е 0) и V = ие,юг и подставляя в (11) и (10), получим выражение для плотности пондеромотор-ной силы. Это выражение будет содержать слагаемые с различными частотами. Ограничимся теми слагаемыми, частоты которых равны ю± = ю ± ю0.
Выражения для этих слагаемых имеют вид е'ю±', где
- г'|)
2к±г
(15) и (17) переходят
-1к±г
П -1(к±г + п/4) 1к±(г, г')/г
е е . Тогда решения
ее "к±(г, г)/г Р± = —-— е divf±йг и • J
4 п г.
(18)
Р± = -
1
П -¡(к±г + гс/4)Г ¡к±(г, г')/г
е I е ййг. (19)
Будем искать решение (12) с правой частью (13) в
¿ю±г
виде Р = Р± е . Тогда уравнения для Р± есть уравнения Гельмгольца
Уравнение (14), вообще говоря, должно быть дополнено краевыми условиями на поверхности и на дне океана. Однако, в некоторых случаях имеет смысл постановка задачи о нахождении решений (14) в безграничной среде. Например, если размеры антенны малы по сравнению с расстоянием до поверхности и дна океана, решение (14) можно представить в виде [4]
2П 2к±г
Преобразуем подынтегральное выражение в (18), используя тождество фdiv а = div(фa) - (а, grad ф). Если предположить, что f±(r) спадает быстрее, чем 1/г2, то, применяя теорему Гаусса, уравнение (18) можно привести к виду:
Р± =кПГ" i ' )(ег' f±) йг' , ег = г/ г. (20)
Вычислим (ег, £±), используя (13):
(ег, f±) = а((ег, Е)(и, Во) -
2 (21)
-2(ег, и)(Е, Во) + (ег, Во)(и, Е)).
Значение этого выражения зависит от взаимной ориентации входящих в него векторов. Рассмотрим частный случай, когда Е перпендикулярно и и ег. (Если полагать, что вектора и и ег лежат в горизонтальной плоскости, этот случай соответствует учету только вертикальной компоненты ^ геомагнитного поля.) В этом случае (21) переходит в
(ег, f±) = -иаео8 а^ Во ,
(22)
с
где а - угол между векторами и и ег. Если положить и = и0е~,(к' г), т.е. задать гидроакустическое по
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.