ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 3, 2014
УДК 531/534
© 2014 г. В. В. Величенко
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА: ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Геометрическая механика, развивающая традиционные геометрические методы механики, позволяет строить теории сложных связанных систем на основе аксиоматики Ньютона, без обращения к методам аналитической механики Лагранжа, методам динамики твердого тела Эйлера и другим теориям и принципам. Геометрические методы упрощают общую теорию сложных механических систем, приближают ее к компьютерным вычислительным технологиям и к инженерной практике.
Цель работы — возвращение механике ее родового имени — "геометрическая" и развитие общей теории сложных связанных механических систем на основе традиционных и современных геометрических методов.
Механика создавалась в результате сотрудничества и соперничества между ее наглядными геометрическими и формальными аналитическими методами. Родилась механика в геометрии. По дошедшим до настоящего времени источникам, основателем механики был древнегреческий геометр Евдокс (408—355 гг. до н. э.). Это событие через пять веков обнародовал знаменитый историк Плутарх (45—127 гг. н. э.), подчеркнув его конфликтность: "Платон порицал последователей Евдокса — Архита и Менехма, пытавшихся произвести удвоение куба посредством механических приспособлений ... не при помощи разума, но каким-то другим возможным способом ". Этот первый в истории отрицательный отзыв о механике философ Платон (428—348 гг. до н. э.) обосновывает так: "Ведь при этом губится и извращается самое благо геометрии, если она вновь возвращается к чувственному от стремления ввысь к созерцанию вечных и бестелесных образов".
Практическая механика, конечно, на эти интеллектуальные споры внимания не обратила, жила и развивалась в нашем трехмерном пространстве как геометрическая — пользовалась линейкой, циркулем, отвесом, рычагом и колесом. Первым механиком, использовавшим в механических расчетах теоретическую геометрию, был, по-видимому, Клавдий Птолемей (90—160). Через 1500 лет после него Галилей (1564—1642) и Декарт (1596—1650) построили основы теоретической механики, исследуя геометрические характеристики движения. Наконец, Ньютон (1643—1727) завершил построение фундамента теоретической механики, обобщив исследования Галилея [1] в системе геометрических аксиом механики [2]. Эти аксиомы Ньютон изложил на языке созданной им новой математической дисциплины — анализа, и геометрическая механика Ньютона стала одновременно первой аналитической механикой. Такой механика Ньютона пришла в наше время — как подвижная геометрия, изложенная на языке математического анализа.
Однако это, заложенное механикой Ньютона плодотворное сотрудничество инструментов геометрии и математического анализа, через столетие после Ньютона было разрушено Лагранжем (1736—1813). Лагранж предпринял революционные преобразования — сверг устаревшую механику Ньютона и дряхлую геометрию Евклида и объявил исключительное главенство математического анализа. В своем знаменитом труде
"Аналитическая механика" он объявил: "В этой работе совершенно отсутствуют какие бы то ни было чертежи. Излагаемые мною методы не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и однообразному ходу. Все любящие анализ с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благодарны за то, что этим путем я расширил область его применения" ([3], с. 9, 10).
Профессиональные геометры и механики пытались протестовать, знаменитый в то время геометр Пуансо указал на ограниченность теории Лагранжа [4].1 Но оригинальные методы "виртуальных скоростей"2 Лагранжа позволили ему исследовать недоступные наблюдению и измерению внутренние взаимодействия тел, построить общую теорию связанных механических систем, отсутствовавшую в механике Ньютона и, по существу, завершить теорию классической механики. К сожалению, с этого момента она из живой, наполненной поисками, спорами, конфликтами, бескомпромиссными дискуссиями, и потому развивающейся науки закономерно превратилась в современный скучный учебник, развивающийся лишь тиражами переизданий.3
С этим некрологом классической механике согласились не все. Гаусс предложил свой, равносильный принципу Лагранжа "принцип наименьшего принуждения" [7], и частный "принцип стационарного действия" Лагранжа в трудах Гамильтона, Якоби, Остроградского и других исследователей превратился в общую теорию вариационных принципов механики [5].
Настоящая публикация также посвящена продолжению исследований общей теории механики. Но мы, наоборот, отступаем от работ Лагранжа в прошлое — возвращаемся в механику Ньютона. Великая теория Ньютона построена на фундаменте аксиоматики [2], а аксиоматическая теория — открыта, она предполагает неограниченное развитие в своих выводных теоремах. Первый слой этих выводных теорем, общие законы механики, был построен самим Ньютоном. В настоящей работе строится следующий, второй слой выводных теорем аксиоматики Ньютона — теория связанных механических систем. Эта теория, построенная независимо от теории Лагранжа, закономерно приводит к тем же результатам, хотя и представленным в геометрической форме. В итоге результаты аналитической механики Лагранжа оказываются во втором слое выводных теорем аксиоматики Ньютона.
Этот путь обобщения и поглощения предшествующих результатов общей теорией предложен самим Лагранжем. Он включил в свой общий "принцип виртуальных скоростей" ([3], с. 313, 314) все частные принципы механики, известные в его время (принцип сохранения живых сил, принцип сохранения движения центра тяжести, принцип площадей, принцип наименьшего действия и др.). Но любые положения механики, в том числе и общие принципы виртуальных скоростей Лагранжа и наименьшего принуждения Гаусса, ограничены и должны быть следствиями полной неограниченной аксиоматической теории механики. Построение такой систематической теории механики, включающей в себя все ее предшествующие частные положения, принципы и теории — вопрос только времени, которое, однако, фундаментальная механика неспешно отмеряла тысячелетиями и веками. Но вхождение механики в информационную компьютерную эру заставляет ее этот процесс систематизации принципиально ускорить. Часть этой большой программы выполнена в настоящей публи-
1Геометрические методы, использованные в настоящей публикации, позволяют показать, что Пуансо был неправ, но в то время обнаружить его ошибку было невозможно.
2Используем оригинальную терминологию Лагранжа.
3Вместе с тем, внимательное изучение этих споров и конфликтов полезно не только с исторической точки зрения. Например, самая ожесточенная из этих дискуссий — о "принципе наименьшего действия" Мо-пертюи [5], докатившаяся до наших дней, инициировала разработку новых вариационных и топологических методов механики [6], перспективных для развития ее компьютерных приложений.
кации, которая является теоретическим экстрактом из прикладных разработок автора, посвященных компьютерной автоматизации механических исследований. Ее название указывает на инструмент, позволивший выполнить эту работу, но она не только реабилитирует отвергнутую Лагранжем геометрию. Данная работа возвращается к традиции сотрудничества геометрии и анализа, заложенной Ньютоном — в качестве ее основного инструмента используется аналитическая геометрия.
Возвращение к аксиоматической теории Ньютона, и к методам геометрии расширяет математический инструментарий механики, и дает ей новый импульс развития. Принципиальное упрощение теории механических систем в аксиоматической конструкции позволяет исследовать новые сложные задачи, не ограниченные теми или иными условиями и принципами. На некоторые из них укажем в конце этой публикации.
1. Исходные уравнения механики связанных систем. Основы геометрической теории для наглядности изложим вначале на примере объекта исследований Ньютона, Лагранжа и Гамильтона [2, 3, 5] — систем "материальных точек": из этих элементарных "квантов" механики можно сконструировать произвольное твердое тело ([8], Приложение) и, следовательно, любую систему твердых тел. Поэтому конструируемые уравнения справедливы для произвольных голономных систем. Ниже приведем эти уравнения для механических систем произвольного вида. Механические связи между элементами системы считаем конечными и идеальными [3, 7].
Матричное уравнение Ньютона связанной механической системы. Известные и новые уравнения механики будем строить в векторно-матричных обозначениях [8—10]. Уравнения движения Ньютона для системы материальных точек в трехмерном пространстве нумеруем последовательно, массам точек присваиваем номера координат, и записываем эту систему уравнений в форме векторно-матричного уравнения
т1хс1 т1 0 • • 0 " А(хЪ х2,~' ^ XN, ХЪ •^2,' ^ хN, г) _Р1
т2 *2 = 0 т2 • • 0 х2 = /2(хЪ х2,'~ ^ XN, ХЬ ^^ ', хN, г) + Р2
mN х N _ 0 0 • • mN _ X N _ _/N(хЬ x2,' % XN, хЪ ХГ хN, г)_ _PN
или в компактной векторно-матричной форме
Мх = /(х,х,г) + р; М = &т%[тп], тп * 0, det М ф 0, ййшх = N (1.1)
Уравнения связей. Обобщенные и общие координаты. Совокупность скалярных уравнений связей, накладываемых на систему (1.1), записываем в форме одного векторного уравнения
(штрихом обозначена — операция транспонирования, производная от вектора-столбца £(х, г) по вектору-строке X является матрицей частных производных [8—10]).
Будем рассматривать два вида преобразований декартовых координат системы х: к обобщенным координатам Лагранжа q минимальной размерности
Ц.х, г) = 0; = А, А < N, гапк^^ = А
дх
(1.2)
х = х(д,г), Шшд = В = N - А, гапкдх(дг) = В
дд'
(1.3)
и к общим координатам и произвольной размерности
х = х(и,г), йши = С, N > С > В, гапкдх(";г) = С
ди
(1.4)
Условия, накладываемые на ранги матриц в соотношениях (1.2)—(1.4), гарантируют функциональную независимость этих уравнений. Обобщенные координаты в механической системе почти всегда можно указать, однако построить для них явные уравнения (1.3) можно тольк
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.