Автоматика и телемеханика, № 9, 2014
Линейные системы
© 2014 г. Ю.П. НИКОЛАЕВ, д-р физ.-мат. наук (unickola@mail.ru) (Московский институт электромеханики и автоматики)
ГЕОМЕТРИЯ МНОГОМЕРНОЙ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ЧЕТНЫХ (НЕЧЕТНЫХ) КОЭФФИЦИЕНТОВ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Предлагаются необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости линейных систем, основанные на раздельном анализе пространства четных и пространства нечетных коэффициентов характеристического полинома. Рассматриваются характеристические полиномы с положительным и отрицательным коэффициентами в старшем члене. Доказывается, что при этом область устойчивости в пространстве четных (нечетных) коэффициентов описывается системой линейных неравенств и является выпуклым многогранным конусом (ВМК) с вершиной в начале координат. Анализируются некоторые свойства ВМК, в частности, решается задача о пересечении произвольного числа областей устойчивости. Приводятся примеры.
1. Введение
Анализ геометрии канонической области устойчивости, т.е. многомерной области асимптотической устойчивости в евклидовом пространстве коэффициентов характеристического полинома линейных систем - одна из сложных и пока еще не решенных проблем теории и практики автоматического управления. Проблема известна давно - она восходит к классической диаграмме Вышнеградского [1]. На ее важность для прикладных задач обращали внимание академик А.А. Андронов [2] и другие видные ученые. Проблема актуальна и в настоящее время. Это обусловлено, в частности, необходимостью разработки более совершенных методов анализа и синтеза современных и перспективных высокоточных систем управления в условиях неопределенности.
Трудность решения проблемы обусловлена сложностью геометрии области устойчивости даже при малых значениях порядка n системы. Так, область устойчивости в трехмерном пространстве коэффициентов а0,а\,а2 (при а3 > 0) характеристического полинома системы третьего порядка -гиперболический параболоид [3, с. 8]. С увеличением порядка n системы резко возрастает сложность необходимых для анализа вычислений. Это отчетливо проявляется, например, при попытке использования критерия Гурвица. Поэтому критерий Гурвица применяется обычно только при n ^ 4. Но что делать при больших значениях n и тем более при произвольном порядке системы?
Можно предложить следующий подход к исследованию указанной проблемы. Предварительно поставить и попытаться решить вспомогательную
задачу: анализ геометрии области устойчивости в пространстве четных и в пространстве нечетных коэффициентов, т.е. разделить исходную сложную задачу на две более простые. И только потом с учетом полученных результатов вернуться к основной теме.
Коротко остановимся на публикациях, близких (в той или иной мере) к указанной вспомогательной проблеме. Полином Pn(s) = ао + ais + ... + ansn всегда можно записать в виде P(s) = U(s2) + sV(s2), где вспомогательные полиномы U(s2),V(s2) образованы с использованием соответственно только четных или только нечетных коэффициентов полинома P(s).
В [4] на основании этого свойства полиномов были получены необходимые и достаточные условия устойчивости, представленные в виде системы линейных неравенств. При доказательстве использован математический аппарат с применением положительной пары полиномов [5]. На основании полученных линейных неравенств был проведен анализ областей устойчивости семейства полиномов вида P(s) = U(s2) + ¿J=1 kjU^s2) + sV(s2), k = {k1,..., kY} € RY. Результаты [4] обобщены в [6] на случай полиномов с комплексными переменными. В [7] рассматривалась с использованием идей D-разбиения структура области устойчивости в пространстве параметров для непрерывных и дискретных систем. Для непрерывных систем анализировались аффинные семейства полиномов с вещественными коэффициентами P(s,k) = Po(s) + + F (s) f=1 kiPi(s2), k = {k1,...,k^} € R^. Показано, что область устойчивости для полиномов рассматриваемого вида является объединением выпуклых многогранников в пространстве параметров. Это свойство позволило сформулировать простой и эффективный способ выделения компоненты области устойчивости, содержащей номинальный полином, и нахождения радиуса устойчивости для различных норм неопределенности. Следует также отметить работы [8-10], в которых подробно рассмотрены особенности областей устойчивости в пространстве параметров ПИД-регулятора с передаточной функцией L(s) = ^ + кр + k¿s (при фиксированных значениях кр).
В данной статье в рамках указанного направления исследований ставится задача анализа геометрии многомерной области устойчивости в евклидовом пространстве четных (нечетных) коэффициентов характеристического полинома.
2. Постановка задачи
Пусть задан характеристический полином линейной непрерывной системы произвольного порядка
(1) Рп(з) = ао + а^ + ... + а^"", а^ € И, V? = 0,1,..., п; п ^ 1.
Общая задача, которая ставится в статье: анализ геометрии сечения многомерной области асимптотической устойчивости в каноническом пространстве коэффициентов а0, а1,..., ап некоторой специально формируемой гиперплоскостью. При этом все нечетные (четные) коэффициенты полинома заданы. Другими словами, требуется провести исследование основных геометрических свойств области устойчивости, которая рассматривается:
а) в пространстве четных коэффициентов 00,02,04,... при заданных, в общем случае произвольных, значениях всех нечетных коэффициентов 01,03,05,...;
б) в пространстве нечетных коэффициентов 01,03,05,... при заданных, в общем случае произвольных значениях всех четных коэффициентов 0о, 02, 04,...
3. Вспомогательные данные и обозначения
При решении задачи придется иметь дело с полиномом четной (нечетной) степени п и с четными (нечетными) коэффициентами этого полинома. Из комбинаторики следует, что возможны четыре варианта: четная степень п полинома, четные коэффициенты; четная степень п полинома, нечетные коэффициенты; нечетная степень п полинома, четные коэффициенты; нечетная степень п полинома, нечетные коэффициенты. Кроме того, будут рассматриваться два множества полиномов: полиномы с положительным и отрицательным старшим коэффициентом. Таким образом, получается восемь вариантов.
В работе используются известные вспомогательные уравнения, которые получаются из (1) подстановкой в = где = \/—1, ш € (0, оо], и приравниванием нулю найденного выражения: Р(;ш) = V(ш2) + ^шУ(ш2) = 0. Уравнения V (Л) = 0, V (Л) = 0, где Л = ш2, можно представить для последующих выкладок, с учетом четырех вариантов, в виде:
а) для четных значений п:
(2) V(Л) = 00 - 02Л + 04Л2 - ... + (—1)га/20„Лга/2 = 0,
(3) V(Л) = 01 - 03Л + 05Л2 - ... + (-1)(п-2)/20„-1Л(п-2)/2 = 0;
б) для нечетных значений п:
(4) V(Л) = 00 - 02Л + 04Л2 - ... + (-1)(п-1)/20„_1Л(га-1)/2 = 0,
(5) V(Л) = 01 - 03Л + 05Л2 - ... + (-1)(п-1)/20„Л(га-1)/2 = 0.
Число д корней уравнений V(Л) =0, V(Л) = 0, т.е. д(у) и д(и), а также количество N четных (021) и нечетных (021+1) коэффициентов полинома (1), т.е. Nи N("24+1), ^ = 0,1,..., определяются соотношениями: - для четного порядка п
(6)
д(у) =
п- 2
= |,
М(а2г) = П±2 2 '
ДГ(«2г+1) _
2'
для нечетного порядка п
(7) д(у) =
п1
7(и) _
п1
ДТ{аы) =
2 '
М(а^+1) = П+1_
В дальнейшем понадобятся следующие положения.
Лемма 1. Для устойчивости полинома Р(5) с произвольным знаком коэффициента ап в старшем члене необходимо выполнение следующих двух условий (для анализа области устойчивости в пространстве четных коэффициентов ):
• ап-1ап > 0;
• все корни уравнения V(Л) = а1 — а3Л + а5Л2 — ... = 0, обозначаемые ... ..., гд, должны быть вещественными, положительными и простыми:
(8) 0 < V! < . . . < V < . . . < Уд.
Лемма 2. Для устойчивости полинома Р(5) с произвольным знаком коэффициента ап в старшем члене необходимо выполнение следующих условий (для анализа области устойчивости в пространстве нечетных коэффициентов ):
• ап-1ап > 0;
• все корни уравнения и (Л) = а0 — а2Л + а4Л2 — ... = 0, обозначаемые и1,... ..., , должны быть вещественными, положительными и простыми:
(9) 0 < «1 < ... < щ < ... < пч.
Указанные выше необходимые условия устойчивости (леммы 1 и 2) непосредственно следуют из критерия Эрмита-Билера для полиномов с вещественными коэффициентами [11, с. 48].
Так как в дальнейшем будем использовать условные обозначения, принятые в выпуклом анализе, то придется соответственно переобозначить коэффициенты полинома (1). Вектор четных коэффициентов (а0, а2, а4,...) будем обозначать ), а для вектора нечетных коэффициентов
(а1, аз, а5,...) будет использоваться обозначение (у1,... , ).
4. Область устойчивости в пространстве четных коэффициентов
Обозначим через множество всех точек (аь аз, а5,...) в евклидовом пространстве нечетных коэффициентов, для которых выполняются необходимые условия устойчивости леммы 1, а именно: ап-1ап > 0 и все корни уравнения V(Л) = а1 — а3Л + а5Л2 — ... = 0, обозначаемые у1, ..., гд, должны быть вещественными, положительными и простыми: 0 < г>1 < ... < у < ... < гд. Тогда имеет место теорема 1 для пространства четных коэффициентов.
Теорема 1. Для асимптотической устойчивости линейной системы с характеристическим полиномом Р(5) = а0 + а^ + ... + апзп необходимо и достаточно, чтобы при условии (а1, а3, а5,...) € 5(1) выполнялись неравенства:
(10) Вх < 0 (при ап > 0) или Вх > 0 (при ап < 0),
где х = (ж1,...,жя) - вектор-столбец неизвестных переменных, т.е. четных коэффициентов (хг = 02г-2, г = 1,..., N) полинома (1), а ^ х N)-матрица В равна:
(11)
-1 ^0 -V) V
1 -V! - V
В= -1 -V2 V
1 -^3 «2 -V
Здесь -и0 = 0; vг является г-м корнем, г = 1,..., д уравнения V(Л) = 0. Для четных п последняя строка матрицы имеет вид (0 ... 0 ... -1). Число строк
(столбцов) матрицы В: N = - для нечетных п, N = - для чет-
ных п.
Теорема 2. Неравенства (10) определяют многомерную область асимптотической устойчивости в пространстве четных коэффициентов характеристического полинома Р(5), которая при 0п > 0 или при 0п < 0 является выпуклым многогранным конусом К с вершиной в начале координат О.
Отметим, что многомерная область устойчиво
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.