ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 73. Вып. 1, 2009
УДК 621.9.047;532.528
© 2009 г. Н. М. Миназетдинов
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОЙ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ
Предлагается способ определения формы границы анода-детали при заданной форме катода-инструмента в плоских задачах теории размерной электрохимической обработки металлов. В рамках принятых предположений граница анода-детали разделяется на рабочую зону, в которой происходит растворение металла, и прилегающую к ней область, в которой обработка прекращается. Исходная задача сводится к задаче о плоскопараллельном потенциальном течении идеальной жидкости с нелинейным условием на ее поверхности. При этом точке, разделяющей две указанные области анодной границы, соответствует точка срыва струи с твердой границы. Для составления замкнутой системы уравнений в точке срыва струи задается условие гладкого отрыва Бриллюэна-Вилла.
Метод размерной электрохимической обработки металлов (ЭХО) основан на принципе локального растворения анода - обрабатываемой заготовки - в проточном электролите. Роль катода - обрабатывающего инструмента - выполняет электрод с заданной геометрической формой поверхности. Имеется подробное описание процесса и технологии размерной ЭХО [1-4].
Для обеспечения высокой точности копирования формы и размеров катода на обрабатываемой заготовке с данным припуском на обработку нужно локализовать процесс электрохимического растворения металла в зоне, предназначенной для обработки. За пределами этой зоны растворение должно резко замедляться вплоть до полного прекращения. На основе анализа электродных процессов для разных электролитов было показано [4], что локализация растворения металла существенно зависит от состава электролита, свойств металла и условий проведения процесса. При малых значениях плотности тока значение п выхода по току для реакций анодного растворения металла в растворах нитрата натрия и хлората натрия практически равно нулю. В результате анодной активации металла [4] под действием анионов этих солей, при некоторой критической плотности тока начинается увеличение п при возрастании плотности тока. При этом основное растворение металла сосредоточено на участках обрабатываемой заготовки, где межэлектродное расстояние наименьшее, а скорость растворения максимальна.
При соблюдении необходимых условий после длительного времени обработки поверхность принимает определенную, постоянную во времени форму, которую называют установившейся или стационарной [4]. В установившемся режиме форма обрабатываемой поверхности в подвижной системе координат, связанной с катодом не изменяется, т.е. поверхность анода перемещается вместе с катодом с постоянной скоростью.
Задачи, связанные с проблемой установления взаимосвязи между формами катода-инструмента и получаемой детали в процессе электрохимической обработки, называются задачами ЭХО. Известны постановки задач в модели идеального процесса и методы их решения [4]. В случае двумерного электрического поля, если значение п выхода по току - постоянная величина, годографом напряженности электрического поля на аноде является часть окружности. Это обстоятельство лежит в основе метода годографа [5]. На основе метода граничных элементов была решена [6] двумерная задача определения стационарной границы анода с учетом зависимости п от плотности тока.
Ниже в рамках модели идеального процесса [4] находится численно-аналитическое решение плоской задачи теории ЭХО, связанное с определением установившейся формы поверх-
ности детали при обработке трехгранным катодом симметричной формы, при учете локализующих свойств электролита на основе нитрата натрия. В отличие от ранее рассмотренных задач [4-6], при постановке и решении данной задачи учитывается переход из зоны интенсивного растворения металла в область, где анодный ток очень мал и растворение не происходит.
1. Модель процесса. Процесс электрохимической обработки в общем случае описывается системой уравнений движения вязкой многофазной электропроводящей жидкости, уравнениями Максвелла, энергии, конвективной диффузии, состояния газа и зависимости теплофизических параметров от температуры, давления и состава среды. Цель математического моделирования процесса - определение формы поверхности одного из электродов при заданной форме другого. В качестве первого приближения используется модель идеального процесса, основные допущения и их подробное обоснование приведены ранее [4].
Согласно модели идеального процесса электрическое поле с потенциалом u в межэлектродном промежутке может быть описано уравнением Лапласа
V2u = 0 (1.1)
Потенциал ua = U - Ea на поверхности анода определяется разностью между заданным неизменным значением напряжения U между электродами и скачком электродного потенциала Ea анода. На рабочей поверхности катода потенциал uc = -Ec совпадает со значением скачка электродного потенциала катода. В модели идеального процесса предполагается, что Ea, Ec - постоянные усредненные на поверхности электродов скачки потенциалов [4].
В дальнейшем рассматривается плоская задача. Вводится система декартовых координат х1, у1, связанная с катодом. Считается, что катод движется в направлении оси ординат.
Исходя из уравнения (1.1) функцию u(x1, y1) можно считать мнимой частью аналитической функции f(z1) = u(x1, y1) + iu(x1, y1) комплексной переменной z1 = x1 + iy 1. Функция f(z1) - комплексный потенциал электростатического поля, а ее действительная часть u(x1, y1) - функция тока. Линии уровня u(x1, y1) = const - эквипотенциальные линии поля, а линии u(x1, y1) = const - силовые линии. Через комплексный потенциал выражается вектор напряженности E(x1, y1) = -grad u(x1, y1), а следовательно, и все величины, характеризующие поле [7].
Распределение плотности тока на установившейся анодной границе определяется равенством [4]
П( ia) ia = е-1 pVc cos 9 (1.2)
где ia = Kdu/dna - анодная плотность тока, к - удельная электропроводность среды, е -электрохимический эквивалент металла, р - плотность материала анода, 9 - угол между вектором Vc скорости подачи катода и вектором na внешней нормали в данной точке анодной границы. В условии (1.2) учитывается, что п - функция ia.
Были представлены [8] графики зависимости выхода по току от плотности тока при обработке стали 5XHM в растворах нитрата натрия и хлората натрия разной концентрации. Для этих электролитов аналитическую связь n(ia) можно представить в виде [6]
i0' ia - icr
п( la) = \ .. . . (1.3)
К + a1a' ia > icr
1.0 п
0.5
о о
icri
50 ia, A, cm 2 Фиг. 1
100
Здесь а0, а1, ¡сг постоянные величины. На фиг. 1 представлена зависимость п0а) при обработке стали 5ХНМ в растворе нитрата натрия с концентрацией 15%. Сплошной линией изображен график функции (1.3) для данного частного случая, точками нанесены результаты эксперимента [8].
Используя соотношения (1.2), (1.3), получим краевое условие на установившейся анодной границе
Эи a1 р Vc
К -- =--+ -cos 0
dn„
aо £
(1.4)
Введем в рассмотрение характерную плотность тока ¡0, характерную длину Н [5] и безразмерные переменные
¡0 = Н = к(иа - ис)/¡0, х = х11 Н, у = у1/Н, п = па/Н
и перейдем к безразмерному комплексному потенциалу
Ж(г) = ф(х, у) + Iх, у); г = х + ¡у
с помощью преобразования [5]
Ж(г) = (/(г) - ¡ис)/(иа - ис)
Тогда функция у удовлетворяет уравнению Лапласа в межэлектродном промежутке с условиями на границах электродов
Va = 1. Vc = 0
и на неизвестной анодной границе
Эу/д n = a + b cos 0; a = -a1/a0i0. b = 1/a0
(1.5)
(1.6)
В частных случаях катод может иметь линии симметрии или участки границ диэлектрических покрытий, которые наносят на нерабочие поверхности электрода инструмента. На линиях симметрии и границах диэлектрических покрытий выполняется условие
Эу/Э n = 0
(1.7)
0
B
Фиг. 2
Согласно гидродинамической аналогии [9] плоское потенциальное электрическое поле моделируется фиктивным плоскопараллельным потенциальным течением идеальной несжимаемой жидкости. Потенциалу электрического поля ставится в соответствие функция тока фиктивного течения, а функции тока соответствует потенциал скорости. Гидродинамическим аналогом напряженности E электрического поля является скорость V указанного течения; следует отметить, что векторы V и E взаимно ортогональны [7]. Тогда в случае гидродинамической интерпретации вдоль линии тока у = const выполняется равенство Эу/Эя = V, где V = |V|. В указанной системе координат ось абсцисс ортогональна направлению подачи катода. В этом случае угол наклона вектора V к оси абсцисс в данной точке анодной границы с точностью до знака совпадает с углом между направлением подачи катода и вектором внешней нормали в той же точке. Тогда согласно условию (1.6) на анодной границе скорость фиктивного течения изменяется по закону
V = a + b cos 9, (1.8)
где 9 - аргумент вектора скорости.
Задаче определения формы анодной границы, при ее гидродинамической интерпретации, соответствует задача о течении идеальной жидкости со свободными поверхностями [10]. Гидродинамическая аналогия облегчает формулировку краевых задач и позволяет применить методы теории струй идеальной жидкости [10, 11] к задачам размерной электрохимической обработки металлов.
2. Постановка задачи и ее численно-аналитическое решение. Схема сечения межэлектродного промежутка представлена на фиг. 2. Сечение катода - равнобедренный треугольник с углом при основании ал. В силу симметрии межэлектродного промежутка ограничимся рассмотрением левой его части. На ней полигон CDE соответствует границе катода. Оси симметрии BC и EF - линии электрического тока, ортогональные к эквипотенциальным линиям поля.
Электрод-инструмент описанной схемы можно применять для формообразования глубоких пазов в деталях машин, резки заготовок и других технологических процессов.
А Р Е Б С В £
Фиг. 3
Согласно условию (1.3) искомую анодную границу можно разделить на две области. В области АВ происходит растворение металла. Нормальная производная Эу/Эя на этом участке удовлетворяет условию (1.6). В области, которая моделируется вертикальным прямолиней
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.