ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2007, том 41, № 1, с. 50-60
УДК 533.72
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ТЕРМОДИФФУЗИОФОРЕЗА ДВУХ КАСАЮЩИХСЯ ШАРОВ ВДОЛЬ ЛИНИИ ЦЕНТРОВ В БИНАРНОЙ ГАЗОВОЙ СМЕСИ
© 2007 г. С. Н. Дьяконов, Л. В. Котлярова
ГОУ ВПО "Орловский государственный университет" s.dyakonov@univ-orel.ru Поступила в редакцию 17.03.2006 г.
В неограниченной неоднородной по температуре и концентрациям компонентов бинарной смеси газов рассматривается установившееся движение двух контактирующих высоковязких сферических капель вдоль линии центров с фазовым переходом на граничной поверхности. На основе гидродинамического анализа в режиме со скольжением получены общие выражения для термодиффузио-форетической и реактивной сил, скорости направленного переноса агрегата как целого.
В настоящее время достаточно подробно исследованы особенности динамики одиночных частиц (твердых, жидких) в неоднородных вязких средах. Обобщающие библиографии по вопросам физики аэродисперсных систем и физической кинетики приведены в [1, 2]. Влияние близкорасположенных тел друг на друга при движении существенно. В природных и промышленных условиях наиболее вероятны парные сближения аэрозолей. При изучении динамики ансамбля тел в неоднородных термодиффузионных полях задача о двух частицах имеет важное значение. Она является основополагающей, если при малых числах Рейнольдса и Пекле процессы описываются линейными уравнениями и граничными условиями. Термофорез двух жидких аэрозольных сферических частиц вдоль линии центров изучался на основе линейных стационарных уравнений. В би-сферической системе координат получены точные аналитические решения, когда неравные шары находятся на произвольных расстояниях далеко друг от друга, например [3, 4]. В предельном случае теории не дают точного решения задачи о двух касающихся шарах, так как накладывается ограничение на применение объемных уравнений. Анализ приближенных формул для мгновенных скоростей частиц на основе метода отражений также обнаруживает в квазистационарном приближении ухудшение сходимости решения для близкорасположенных тел. Для термо-форетического переноса двух твердых нелетучих контактирующих шаров вдоль линии центров построены приближенные формулы по малым параметрам в линейном приближении, когда постоянные теплопроводности частиц и внешней среды мало отличаются друг от друга [5].
Данная работа - попытка найти общее представление для скорости равномерного движения
двух крупных летучих неравных касающихся шаров вдоль линии центров. Направленный перенос происходит в режиме со скольжением в неоднородной по температуре и концентрациям компонентов бинарной смеси газов. На граничной поверхности наблюдается фазовый переход первого рода или иное физико-химическое превращение реагирующего вещества дискретной фазы с тепловыделением. Термодиффузионные поля вне тел считаются известными. Оценка влияния летучести и термодиффузии на динамику агрегата требует вычисления несобственных интегралов после решения концентрационной и тепловой задач. Расчетные формулы удачно обобщают [5, 6].
Постановка задачи. В неограниченной неподвижной изотропной вязкой бинарной газовой смеси с помощью внешних источников тепла и массы созданы градиенты (АТ, Ас) термодинамической температуры Т и относительной концентрации С первого компонента. Коллинеарные векторы АТ = (УТ)М и Ас = (УС)М поддерживаются постоянными. Величина С равна отношению числа п1 молекул первого компонента к полному числу п = п1 + п2 газовых молекул в единице объема. Молекулы ]-го сорта имеют массу т^ и среднюю длину Х свободного пробега. Несжимаемая среда характеризуется плотностью р, коэффициентами внутреннего трения ц и температуропроводности %. В неоднородную по температуре и численным концентрациям (и1, п2) смесь газов с коэффициентом Б12 взаимной диффузии компонентов, термодиффузионным отношением Кт помещаются две летучие контактирующие сферические капли с радиусами Я1 и Я2. Они имеют одинаковое высоковязкое химически чистое вещество с коэффициентом испарения а, удельной теплотой парообразования Ь. Молекулы дискретной фазы образуют первую (летучую) компоненту газовой смеси.
Для газовых молекул второго (несущего) компонента поверхность агрегата непроницаема. Испарение или конденсация молекул происходят при малых числах Маха; коэффициент испарения а совпадает по величине с коэффициентом конденсации паров летучего вещества и как независимый параметр принимает любые значения в пределах от 0 до 1. Шары и внешняя среда имеют произвольные коэффициенты удельной теплопроводности кь к2, к соответственно.
Некомпенсированный импульс телам передают газовые молекулы при взаимодействии с граничной поверхностью, вдоль которой наблюдается тепловое и диффузионное скольжение внешней среды. Направленный перенос агрегата как целого в режиме со скольжением вызывают термо-диффузиофоретическая и реактивная силы (¥ТрЬ FDph, Fа), которые стремятся скомпенсировать вязкое сопротивление Fv. окружающей среды. Реактивная сила Fa обусловлена эффектом летучести частиц. В осесимметричной задаче определяются общие выражения для всех интегральных действий. Искомая скорость равномерного термо-диффузиофоретического переноса агрегата достигается, когда исчезает результирующая сила:
F = FTph + FDph + ^ + ^ =
При испарении перераспределяется температура вне и внутри тел, а газовая среда насыщается паром летучего вещества. В результате появляется дополнительное скольжение газовой смеси вдоль граничной поверхности, усиливается термодиффузия ее компонентов. Теория позволяет найти относительный вклад прямого влияния а и Кт на скорость ирА.
Точка контакта шаров жестко связана с началом системы круговых цилиндрических координат (у, г, ф); полярная ось г проходит через геометрические центры частиц и направлена вдоль вектора Ат || Ас; точка наблюдения имеет радиус-вектор г. Относительно агрегата центр инерции газовой среды перемещается со скоростью и = ~ир11. В правой ортогональной сепарабельной системе тангенциально-сферических координат п, ф)вращения каждая точка пространства обходится только один раз: 0 < < +га, < п < 0 < ф < 2п,
=
^ - 2 2' + п2
г
22 + п
Внешние массовые силы не действуют; тепловые источники внутри и в окрестности тел отсутствуют; внутренняя циркуляция высоковязкого вещества частиц не рассматривается. Продолжительность гидродинамической, тепловой и концентрационной релаксации достаточно малые по сравнению с характерным временем переноса агрегата. Состояние смеси газов описывается в рамках гидродинамического анализа при исчезающе
малых числах Кнудсена, Рейнольдса и Пекле: Я1 =
= 1/Ль Я2 = 1/п2, Я0 ^ тах(А,ь Х2),
Я ¡Я;
Яо я + я;
и0 Я0 р Яе = -0-0-- < 1,
РеТ =
ио Я
00
< 1,
ио Я
Ре» = я
00
< 1'
где Я0 - единица измерения пространственного масштаба; п = п1 > 0, п = -п2 < 0 - граничные поверхности; и0 - величина характерной скорости центра масс газовой среды (размерный вид конечных результатов не зависит от значения и0). Осесиммет-ричные распределения скорости у(г), давления р(г) и относительной концентрации С(г) летучего компонента в газовой смеси, температурные поля Т(г), Т1(г) Ф га, Т2(г) Ф га вне и внутри шаров считаются в любой момент времени как установившиеся (в уравнениях опускаются нелинейные инерционный и конвективные члены):
цАу = Ур, divv = 0, АС = 0, АТ — 0, АТ1 — 0, АТ2 — 0.
На бесконечности газовый поток однородный, давление р(г) и термодиффузионные поля Т(г), С(г) невозмущенные.
у = ие2, р — ре,
Т — Т0 + ЛТг,
С — С0 + Лег,
где р0, Т0, С0 - давление, температура, относительная концентрация первого компонента в плоскости г — 0 при отсутствии агрегата в газовой смеси.
В меридианной плоскости локальные характеристические единичные векторы s, п на границе ориентированы по касательной и вдоль направления внешней нормали. Для правой системы векторов s, п, еф имеем s1 — е^, п1 — -еп при п — п1 > 0; s2 — -е^, п2 — еп при п — -п2 < 0 [7]. На непроницаемой для несущей компоненты межфазной поверхности температура непрерывна и выполняется баланс тепла; плотность нормального потока летучего компонента представляется как нормальный ноток пара, который отводится с единицы площади через слой Кнудсена и пропорционален коэффициенту испарения; касательная составляющая ^ у) скорости газовой среды равна сумме скоростей теплового и диффузионного скольжений, пропорциональных локальным тангенциальным градиентам ^УТ) и ^гУС) соответственно (коэффициенты пропорциональности [1]
V- — к
КГ^1 КГх1 ™
р Т'
КПг1 К Пг1 D-|
12
Г
оо
вычисляют математическими методами кинетической теории газов)
2
п т
$: п п,V-—-^(УС + КГОУ 1пУ) =
= avn[С,(Тг) - С(Т)],
2
п т,
$: + (У С + КГОУ 1п Т )] = 0,
8^ = 8,( Ку,,У Т + К0„ У С ),
$: Т = Тг, Пг( - КУТ + КгУТг) =
= -Ьт,ауп[С,(Т,) - С(Т)],
где,
р = т, п, + т2-2, V = Т) =
кТ 2п т,'
температурой Т^ на поверхности линеаризованные граничные соотношения имеют вид
$: п,о^ - Ппт^УС + К^УпТ1 =
'о
Э С
= ( -1)^( Т„г) по| С, ( Т„г) + -С
( Тг - Т„г) - С
$г: п20^ - '
Цо
2
п0т,
£,2( УпС
Т = Т.
К
0
у1 Уп Т| = 0,
^ = К Т51,^^
Ро1 с
У, Т + К^У, С,
$: - К0Уп Т + Кг0Уп Тг = (^ ) + ' Ьт, аv( ТК1 )х ( д С Л
х п0(С,( Тш ) + ^ ( Тг - Т„г) - С],
Т = Тш
п0 = п,0 + п20, р0 = т, п,0 + т2п20.
В системе (,, п, ф) вращения с метрическими коэффициентами И, = Ип = Л скорость V = {V,, vп} определяется через функцию тока [7]
) И дР(,,п)
Т = У,,
С,(Т) - относительная концентрация насыщенных паров летучего компонента газовой смеси при локальной температуре Т, граничной поверхности; V - четвертая часть средней абсолютной тепловой скорости газовых молекул первого сорта; к - постоянная Больцмана.
Выражение для наблюдаемой скорости испарения с единицы площади avn[Cs(T1) - С(Т)] не имеет строгого обоснования и получают на основе простых статистических соображений, когда в слое Кнудсена толщиной порядка тах(^ь ^2) справедливо равновесное максвелловское распределение и при динамическом равновесии обмен молекулами пара происходит беспрепятственно как в вакууме [6].
Плотность нормального потока avn[Cs(T1■) -С(Т)] мол
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.