ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2009, том 35, № 5, с. 472-481
НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
УДК 533.951.8
ГЛОБАЛЬНЫЕ МОДЫ ЖЕЛОБКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЫ
© 2009 г. Е. А. Сорокина
РНЦ "Курчатовский институт", Институт ядерного синтеза,Москва, Россия
Поступила в редакцию 20.08.2008 г. Окончательный вариант получен 13.11.2008 г.
В рамках одножидкостной магнитной гидродинамики исследуется влияние вращения на желобко-вую неустойчивость цилиндрической гравитирующей плазмы в прямом неоднородном магнитном поле. Получено дисперсионное уравнение и интегральное выражение для инкрементов неустойчивости собственных мод. Показано, что в данной постановке задачи вращение является дестабилизирующим фактором; в общем случае доказывается соответствующая теорема. Для линейного радиального профиля угловой скорости вращения рассчитана структура собственных мод; установлено, что их инкремент растет с увеличением вращения и азимутального волнового числа. Показано, что вращение плазмы в области локализации собственной моды обнаруживает тенденцию к вытеснению возмущения из зоны вращения, что приводит к некоторому снижению инкремента неустойчивости. Демонстрируется отсутствие собственных мод (т.е. экспоненциальной неустойчивости системы) для определенных профилей плотности и угловой скорости вращения.
РАСЯ: 52.35 Ру
1. ВВЕДЕНИЕ
Желобковые моды относятся к числу хорошо изученных примеров неустойчивостей замагни-ченной плазмы. Механизм их возбуждения связан с фундаментальным свойством плазмы — диамагнетизмом, т.е. выталкиванием плазмы из области максимального магнитного поля. При этом желобковые возмущения, т.е. вытянутые вдоль силовых линий магнитного поля, реализуются при сколь угодно низком давлении плазмы, поскольку именно такие моды не возмущают магнитное поле, а — по образной интерпретации Кадомцева [1] — приводят к просачиванию "языков" плазмы через окружающее плазму магнитное поле.
Желобковая неустойчивость может быть стабилизирована "минимумом В" (в общем случае "средним минимумом В"), что было исчерпывающим образом продемонстрировано в экспериментах Иоффе и др. [2]. Структура "языков" может быть нарушена магнитным широм, оказывающим стабилизирующее воздействие [3]. В последнее время, особенно в связи с явлением транспортных барьеров [4], активно обсуждается возможная благоприятная роль ши рового вращения плазмы, также способного изменить структуру развивающихся возмущений, см., например, [5]. При этом, однако, за рамками рассмотрения оказывается вопрос о том, приводит ли шировое (дифференциальное) вращение плазмы собствен-
но к стабилизации неустойчивости или речь идет исключительно об изменении уровня и структуры результирующей турбулентности. Заметим, что стабилизирующая роль вращения вовсе не очевидна, поскольку добавление вращения, во-первых, привносит в систему такой явно дестабилизирующий фактор как центробежная сила, а, во-вторых, может привести к усилению неустойчивости вследствие взаимодействия вращения с другими гидродинамическими модами, их взаимного зацепления и раскачки.
В настоящей работе мы исследуем характер воздействия дифференциального вращения на магнитогидродинамическую неустойчивость плазмы в классической постановке — рассматриваются потенциальные возмущения в цилиндрической геометрии для магнитного поля с прямыми силовыми линиями. Возможная кривизна силовых линий учитывается введением эффективной силы тяжести, причем величина силы тяжести, необходимая для стабилизации системы, рассматривается нами в качестве порога неустойчивости. Традиционно, начиная с [6, 1], же-лобковую неустойчивость исследовали с помощью энергетического принципа, который легко позволяет определить порог неустойчивости в случае статических равновесий. При этом структура собственных мод, вообще говоря, не обязательно отвечает структуре возмущений, минимизирующих функционал энергии; открытым остается и вопрос о величинах соответствующих им
собственных значений (инкрементов). Кроме того, при наличии в системе стационарных течений энергетический принцип определяет только достаточное, но не необходимое значение порога, которое может значительно превосходить реальное. Поэтому здесь мы не используем энергетический принцип, а анализируем непосредственно уравнение малых колебаний желобковых мод, полученное в рамках одножидкостной магнитной гидродинамики (МГД). Задача решалась численно; для линейного (кусочно-линейного) профиля угловой скорости вращения плазмы найдены значения порогов, инкрементов неустойчивости и радиальная структура "желобков". Предложенный метод численного расчета позволяет определить весь спектр собственных частот (в отличие от традиционного метода стрельбы), что избавляет от необходимости аналитического нахождения границ спектра.
Исследования по влиянию вращения с широм скорости на неустойчивость желобкового типа ранее уже проводились рядом авторов, однако однозначный вывод о его стабилизирующей (или дестабилизирующей) роли из этих работ сделать сложно. В частности, Брейзман и Цельник [7] указывали на возможную устойчивость нарастающих профилей плотности при наличии угловой скорости вращения, т.е. речь шла не о стабилизации с помощью вращения неустойчивости типа Рэлея — Тейлора, а об избежании неустойчиво-стей, вращением вызванных. Бехтенев и Волосов [8] из сопоставления скорости разбегания возмущенной плотности плазмы на разных радиусах по азимуту со временем нарастания возмущений сделали вывод о стабилизации с помощью вращения мод с большими азимутальными номерами (при ниспадающем профиле плотности). Численно они демонстрировали снижение инкремента возмущений, однако при этом не доходили до порога, а говорили о стремлении инкремента к нулю в асимптотике. Схожее уменьшение инкремента отмечается и в экспериментах [9], хотя определенного вывода о роли вращения на основании экспериментальных данных сделать не удается
[10]. Задачу аналогичную нашей (т.е. желобковые возмущения в цилиндрической геометрии в рамках одножидкостной МГД) рассматривали Шпиз
[11] и Хамейри [12]. В [11] численно проверялся на устойчивость некий класс профилей угловой скорости вращения с широм; при этом устойчивых конфигураций обнаружено не было. В [12] было получено аналитическое выражение для точного числа неустойчивых мод, и из него делалось утверждение о существовании определенных профилей плотности и угловой скорости вращения, для которых система устойчива относительно несжимаемых возмущений; однако этот вывод не был подтвержден численно. Таким образом, несмотря на широкий круг работ, посвя-
щенных рассматриваемой проблеме, возможность стабилизации желобковых мод с помощью вращения остается неочевидной.
В данной работе нами показано, что в рассматриваемой постановке задачи роль вращения является дестабилизирующей, в том смысле, что если в системе существует собственная мода, удовлетворяющая граничным условиям, то она всегда будет экспоненциально нарастать со временем. При этом порог неустойчивости вращающейся плазмы ниже порога покоящейся плазмы с тем же распределением плотности. Данный результат получен аналитически и подкреплен анализом численных расчетов. Единственно возможным путем стабилизации является подбор таких профилей, при которых собственные моды возмущений вообще не могут удовлетворить граничным условиям. На такую возможность указывали многие авторы; реальные профили и некоторые аналитические соображения по поводу их построения были предложены в [12]. В последней части нашей работы мы численно проверяем предложенные профили на устойчивость.
2. УРАВНЕНИЕ НА СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ
Введем стандартную цилиндрическую систему координат {г,ф, г} с ортами ег = Уг, еф = гУф, е г = V г и рассмотрим осесимметричную плазму, находящуюся в прямом магнитном поле и в поле силы тяжести g = ge г = -V Ф, задающем эффективную кривизну магнитных силовых линий (Ф — гравитационный потенциал). В равновесии
В о = Вф г, Уо = гО е ф,
А\ Р0 + в2 ] = РоОг +
А
Аг ^0 8пу
где давление р0, магнитное поле В0, плотность р0 и угловая частота вращения О — функции радиуса г.
Будем использовать уравнение движения идеальной одножидкостной МГД в терминах смещения жидкого элемента I, г), которое в линейном приближении имеет известный вид [13]
р0! + 2р0(У0 • V)4 - Р(4) = 0, (1)
где
Р(5) = -5р(У) • У)У0 - р0(5У • V)У - р0(У0 • V)5У -
-У5р + —((V х 8В) х В0 + (V х В0) х 8В) - 5рVФ 4п
— силовой оператор, составленный из возмущенных физических величин
8р = -V • (р0^), 5У = (У • У)£, - (£, • У)У, 5В = У х (£, х Во).
Ограничим рассмотрение желобковыми потенциальными возмущениями, для которых возмущение магнитного поля отсутствует,
5 В = 0. (2)
Проекция уравнения желобковости (2) на оси г и ф дает условие д%г>ф/дг = 0, т.е. однородность возмущений вдоль магнитного поля, а проекция на ось г — условие
с ___к В Р
В0 аг
(3)
Ро| та - г-
.ао
аг
а
Ър - Во V • аг I 4п
£г - 2/ротаП^„ =
-5р& + 02г) - -1 А(, 4п аг\
аВо аг
1т г
рото £ф + 2/ротоО^г =
2 ^V
5р - Во V 4п
1 т(в0 ^
4п г \ аг
(4)
(5)
(6)
Рота %г = о.
Здесь та = ю - тО. Из уравнения (6) немедленно следует равенство нулю продольного смещения плазмы Е £. Совместное решение (4), (5) с (3) дает искомое уравнение на собственные частоты:
А
аг
Ро ш2 Аг^
2
Во т аг
а
/
аг
g + гО +--таО
т
ро та ((-та| + Во \т Аг
2 г
(7)
^г =
для желобковых мод, если жидкость считать несжимаемой. Отметим также, что в отличие от дрейфовой теории [15] в одножидкостной МГД фигурирует именно ро/Во, а не ро/Во2. "Гидродинамический" вид уравнения (7) служит дополнительным аргументом для ограничения рассмотрения потенциальными возмущениями, являющимися наиболее опасными в гидродинамике.
Полезно также переписать (7) в виде
Условие невозмущенности продольной (г) компоненты магнитного поля (3) делает систему (1) замкнутой; при этом конкретизация возмущения давления Ър не требуется, так же как и в случае несжимаемой жидкости.
Удобно провести фурье-разложение возмущенных величин вида /(г,ф,^ = /(г)ехр(-/ю^ + + /тф), после чего проецирование уравнения (1) на цилиндрические оси дает
1 а_
гАг
Ро 2 3 т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.