МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008
УДК 531.36
© 2008 г. А.В. КАРАПЕТЯН
ГЛОБАЛЬНЫЙ КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИКИ КИТАЙСКОГО
ВОЛЧКА (ТИП-ТОП)
Китайский волчок, или тип-топ, представляет собой динамически и геометрически симметричное тело, опирающееся о горизонтальную плоскость. Если китайский волчок быстро закрутить вокруг вертикально расположенной оси симметрии при наинизшем расположении центра масс, то он перевернется на 180° и начнет вращаться вокруг вертикально расположенной оси симметрии при наивысшем расположении центра масс. Локальный анализ динамики китайского волчка (в окрестности его вращений вокруг вертикально расположенной оси симметрии) приведен в работах [1, 2].
Простейшей моделью китайского волчка может служить динамически симметричный неоднородный шар, центр масс которого лежит на оси динамической симметрии, но не совпадает с его геометрическим центром. Такая модель позволяет дать глобальный качественный анализ динамики волчка.
Рассмотрим тяжелый неоднородный динамически симметричный шар на горизонтальной плоскости. Пусть r - радиус шара, c - расстояние между его геометрическим центром O и центром масс S. Прямая SO предполагается главной центральной осью инерции шара - осью динамической симметрии; положительное направление этой оси определяется ее ортом e = SO/c. Пусть A и C - экваториальный и осевой моменты инерции шара, m - масса, g - ускорение свободного падения.
Введем следующие переменные: u - скорость центра масс шара, w - его угловая скорость, g - единичный вектор восходящей вертикали. Скорость скольжения шара определяется соотношением u = u + [w, r], где r = ce - rg - радиус-вектор точки контакта шара и опорной плоскости. На шар действуют сила тяжести P = -mgg, нормальная реакция N = Ng, сила трения скольжения F и момент трения верчения M.
Уравнения движения шара, отнесенные к его главным центральным осям инерции, имеют вид
mu + [ w, mu] = (N - mg)g + F (1)
где J = Ша§(А, А, С) - центральный тензор инерции шара.
Уравнение (1) выражает теорему об изменении импульса шара, уравнение (2) - теорему об изменении кинетического момента относительно центра масс, уравнение (3) -условие постоянства вектора у в абсолютной системе отсчета, а уравнение (4) - условие безотрывного движения шара. Если сила трения Р и момент трения М заданы в виде
Jw + [w, Jw] = [r, Ng + F] + M
(2)
g + [w, g] = 0 (u + [w, r], g) = 0
(3)
(4)
2 Механика твердого тела, № 3
33
F = F(u, w, g, N), M = M(u, w, g, N), то система (1)-(4) замкнута относительно переменных u, w, g и N.
Формулы для вычисления силы F и момента M приведены в [1], а их явные выражения получены в [3]. Заметим, что при выводе этих формул [1, 3] точечный контакт шара с опорной плоскостью заменяется контактом по кругу радиуса р. Естественно предположить, что p2/r2 = е ! 1; при этом (см. [1, 3]):
F = F(u, w, g, N, е) = F0(u, w, g, N) + еFx(u, w, g, N, е) M = M(u, w, g, N, е) = еM1(u, w, g, N) + е2M2(u, w, g, N, е)
Следуя [1], сначала исследуем динамику китайского волчка, пренебрегая моментом трения верчения, т.е. рассмотрим систему уравнений (1)-(4) при M = 0. В этом случае в рамках предложенной модели китайского волчка (динамически симметричный шар со смещенным центром масс) для качественного анализа его динамики не требуется (в отличие от [1, 2]) знания явного выражения силы трения скольжения F(u, w, g, N). Все изложенное ниже справедливо при любом законе трения скольжения, удовлетворяющего естественным условиям
(F, u) < 0 при u Ф 0, F = 0 при u = 0 (5)
которые заведомо выполнены в рамках модели, предложенной в [1, 3].
При M = 0 система уравнений (1)-(4) допускает энергетическое соотношение
H = (F, u) < 0, где
H = H(u, w, g) = 1/2mv2 + 1/2(Jw, w) - mg(r, g) < h (6)
есть полная механическая энергия, а h - ее начальное значение, и два первых интеграла
K = K(w, g) = -(Jw, r)/r = k (7)
Г = (g, g) =1 (8)
Наличие линейного интеграла (7) (интеграла Желле) позволяет ввести [4-6] эффективный потенциал
Vk = minH(u, w, g)\ = H(uk, wk, g) = Vk(g)
u, w IK (w, g) = k
где uk и wk доставляют минимум полной механической энергии H на фиксированном уровне интеграла Желле K = k и определяются соотношениями
uk = 0, wk = wk (g) = Г1 (g) k (g - e c/r) (9)
J(g) = (J(g - ec/r), (g - ec/r)) (10)
Таким образом, эффективный потенциал Vk(g) определен на сфере Пуассона S2 = {g е R3: (g, g) = 1} (см. (8)) и имеет вид
k2
Vk = - mgc(g, e) + г--j + mgr (11)
Согласно модифицированной теории Рауса [6] критическим точкам g0 эффективного потенциала на сфере Пуассона соответствуют стационарные движения волчка вида (см. (9))
g = -0(k), u = 0, w = w0(k) = r-^k)( -0(k) - ec 1 (12)
(при этом N = т£), причем точкам минимума - устойчивые стационарные движения. Если у0 = ±е, то стационарные движения (12) представляют собой равномерные вращения волчка вокруг вертикально расположенной оси симметрии при наинизшем (у0 = е) или наивысшем (у0 = -е) расположении центра масс, при этом
№о = (±е) = С(±Т-Сг)70 = ± С( ± С / Г)е (13)
Если же 70 Ф ±е, то стационарные движения (12) представляют собой прецессионные движения: волчок вращается с постоянной угловой скоростью ыГ = юГе вокруг оси симметрии, которая прецессирует с постоянной угловой скоростью ыр = юд0 вокруг вертикали, проходящей через центр масс волчка, и составляет с последней постоянный угол 0 = 00. Здесь
ЮГ = -Т(7шС, ЮР = кТт)• 0о = агсс°8(70(ке)
Отметим, что на всех стационарных движениях (12) скорость скольжения волчка равна нулю и = 0. Можно показать [6], что при условии (5) на всех других движениях волчка скорость его скольжения не равна нулю. Таким образом, полная механическая энергия (6) волчка сохраняет свое начальное значение только на стационарных движениях (12) и убывает на всех других движениях. Отсюда, в частности, следует [6], что стационарные движения (12), соответствующие минимуму эффективного потенциала (11) на сфере Пуассона (8), устойчивы, причем асимптотически по части переменных, а остальные стационарные движения неустойчивы.
На сфере Пуассона (8) величина /(7), определенная соотношением (10), имеет вид
3(7) = А[ 1 - (7, е)2] + С[(7, е) - с/г]2
Следовательно, эффективный потенциал (11) на сфере (8) можно представить в виде функции одной переменной х = (7, е) б [-1, 1]:
Ук(7)|7е ^ = тяс/(х) + rn.gr
р2 (14)
/ ( х ) = - х + -2р-Т
2[а( 1-х ) + (х- Ь)2]
Здесь а и Ь - безразмерные параметры волчка, р - безразмерная постоянная интеграла Желле:
а = А е[ 1/2, +<~], Ь = С е(0, 1), р2 = -к— е[0, +Н С г Стяс
Таким образом, исследование стационарных движений динамически симметричного пара со смещенным центром масс на горизонтальной плоскости с учетом трения скольжения сводится к задаче анализа критических точек функции/(х): [-1, 1] ^ Я (см. (14)). Эта функция всегда имеет критические точки х = ±1, отвечающие равномерным вращениям волчка вокруг вертикально расположенной оси симметрии, и, при соответствующих значениях параметра р (постоянной интеграла Желле), критические точки х0 е (-1, 1), отвечающие прецессионным движениям волчка.
Последние определяются из уравнения/(х) = 0, которое можно представить в виде
2 2 2
2 [а( 1-х ) + (х - Ь) ] , , ,1СЛ
р = - Ь - (1-а)х = Ф(х) (15)
2* 35
Фиг. 1
Характер критических точек х = ±1, а также количество и характер критических точек х0 е (-1, 1), удовлетворяющих уравнению (15), существенно зависят как от параметров волчка а и Ь, так и от параметра р2.
Множество всех стационарных движений волчка, соответствующих критическим точкам х = ±1 и х = х0(р2), можно представить в виде обобщенной диаграммы Смейла [4, 5] на плоскости р2 е [0, +«>], q = (Н - ш£г)/(ш£с) е (-«>, +«>), где q с точностью до постоянной совпадает с безразмерным начальным значением полной механической энергии волчка. На этой плоскости стационарным движениям соответствует множество Х = Х+ и Х- и Х0, где Х± представляет собой прямые
2
q = +1 + —^-2 (q = / (±1)) (16)
2 (1 + Ь )2
а множество Х0 - кривые, заданные параметрически формулами (см. (14), (15)):
q = /(х, р2), р2 = ф(х) (17)
причем х е (-1, 1) - параметр, подлежащий исключению из соотношений (17).
Вид диаграмм Смейла существенно зависит от параметров волчка а и Ь. На основе детального анализа функции ф(х) плоскость этих параметров разбивается на семь обла-
стей (а)-(^) (фиг. 1), каждой из которых соответствует своя диаграмма Смейла (фиг. 2, а-2, g). Области (а)-^) определяются следующими соотношениями:
(a) а > 1 + Ь
(b) 1 + Ь > а > а+ (Ь)
(c) а+(b )> a >а* (b)
1-b, b > 7-,v58
(d) а * ( b ) > a > ■
'a+(-b), b < 7-748
(e) a+( -b )> a > 1- b
(f) 1 -b > a >a-(-b)
Г 1-b, b > 7-748
(g) a < \
[a-(-b), b <
a±( b) = ^ (7 + b ±71 + 14 b + b2), a*( b) _( 1 + 3 b 2 )2( 1 - 4b 2 ) 8 1+6b +b
На диаграммах Смейла (фиг. 2, a-2, g) полужирными линиями выделены кривые X± и X0 или их части, соответствующие локальным минимумам эффективного потенциала, т.е. устойчивым стационарным движениям. Невыделенные кривые X± и X0 или их части соответствуют локальным максимумам эффективного потенциала, т.е. неустойчивым стационарным движениям. Бифуркационные значения безразмерной постоянной интеграла Желле, при которых происходит смена устойчивости и ветвление стационарных движений, определяются соотношениями
2 _ (1 + b )4 2 _ 1 6 a 3/2 ( 1 - a - b ) 3 /2 (18)
р± _ a+Тл—h\, р* _-г-2— (18)
a + (1-b) 373(1-b)
В частности, если параметры волчка удовлетворяют условию 1 - b < a < 1 + b [1, 2], то (фиг. 2, b-2, e) быстрые вращения волчка вокруг вертикально расположенной оси сим/ 2 2 2 2 ,
метрии неустойчивы при наинизшем расположении центра масс (р > р+, т.е. ю > ю+) и
2 2 2 2
устойчивы при его наивысшем расположении (р > р-, ю2 > ю-). Здесь (см. (13) и (18)):
ю2 _ mgc (1 =F b)2 ± C a + (1-b)
Заметим, что все точки плоскости (р2, q), принадлежащие множеству X, инвариантны относительно фазового потока системы (1)-(4) при M = 0, а все остальные точки эволюционируют вдоль прямой р2 = const в сторону уменьшения q. Это обстоятельство позволяет дать глобальный качественный анализ динамики динамически симметричного шара со смещенным центром масс
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.