ВОДНЫЕ РЕСУРСЫ, 2013, том 40, № 4, с. 350-358
ВОДНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕЖИМ ВОДНЫХ ОБЪЕКТОВ
УДК 556.16.:556.072
ГРУППОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОГРАФОВ МЕСЯЧНОГО СТОКА
© 2013 г. С. К. Давлетгалиев
Казахский национальный университет им. Аль-Фараби 050038Алматы, просп. Аль-Фараби, 71 E-mail: sdavletgaliev@mail.ru Поступила в редакцию 27.06.2012 г.
Показана возможность группового моделирования гидрографов месячного стока методом канонического разложения. Методика моделирования позволяет учитывать коэффициенты авто- и взаимокорреляции, а также воспроизводить соотношения между параметрами Cv и Cs для месячных интервалов времени. Модель сохраняет сходство внутригодового рапсределения натурных и смоделированных рядов.
Ключевые слова: Моделирование гидрографов стока, каноническое разложение, координатные функции, дисперсия случайных коэффициентов, показатель внутригодового распределения
DOI: 10.7868/S0321059613040032
При решении ряда водохозяйственных и водо-энергетических задач возникает необходимость статистического моделирования месячных величин стока нескольких рек с учетом авто- и взаимокорреляционных функций.
В настоящее время предложено довольно большое количество методов совместного моделирования гидрологических рядов. Большинство из них разработано применительно к задачам моделирования годового стока. Из существующих предложений по групповому моделированию гидрографов месячного стока можно отметить работы [1-3, 7, 11].
Модель дезагрегирования, предложенная Д. Ла-уксом и др. [4], для описания колебания стока с учетом внутригодового распределения предполагает получение рядов годового стока с помощью моделей ARMA и ARIMA, а затем — распределение величин годового стока по отдельным сезонам и месяцам. При этом заранее предусматривается, что смоделированный ряд является стационарным, т.е. корреляция между стоком различных месяцев не зависит от рассматриваемых сезонов [4]. Это допущение — весьма грубое и не позволяет воспроизводить особенности внутригодового распределения.
В модели "HEC-4 месячных расходов", разработанной Гидрологическим и инженерным центром США [12, 13], для стока всех месяцев принимается один и тот же закон распределения Пирсо-
на типа III, т.е. соотношение CS/CV = 2. Для реального стока это соотношение изменяется в более широких пределах: 1—6. Следовательно, модель "HEC-4 месячных расходов" имеет ограниченное применение.
Автором настоящей статьи предлагается метод статистического моделирования процесса месячного стока на основе использования канонического разложения случайной функции. Оно позволяет охарактеризовать случайный процесс совокупностью независимых случайных величин и неслучайных функций.
Задача моделирования годового гидрографа сводится к моделированию векторной случайной функции, компонентами которой являются месячные значения стока.
Компоненты Qr векторной случайной функции задаются формулой [10]
N M
Qtifv) = mQ(tv) + XX^ktv(i,€ = 1,...,N), (1)
i=1 v=1
где
i-1 M
v) = ±
к ¿¡J») - m)(t v )Фк) -
k=1 m-i (2)
v-1 n
- £ dM (tv^mw»)
И=1
— координатные функции;
м
Б. = К^А) -
I-1 м
м
(3)
к=1 т=1
и=1
v=1
v=1
м
м
м
у=1
у=1
у=1
где те1(?), ШдО, тез(?) — математическое ожидание составляющих 0^0, 02(0, 0з(0 соответственно, т.е. 0,(0 — месячные значения расходов воды в
трех створах. Ку , Ку , Ку — некоррелированные случайные величины, математические ожидания
которых равны нулю; ф®(0, Ф^кО — координатные функции 0^0 с составляющими 02(0 и 0з(0;
Ф^(0 — то же составляющих 02(0 и 03(0; ф®(0 — координатные функции составляющей 03(0.
Координатные функции ф®(0, ф^з(0, ф^з(0 вычисляются по формулам
=Бр-х>р2Ж)}, (5)
И=1
м
ф123)(?) = -1) | К23(Г^,) - X VФШ,) -
Б I т=1
V—1
(6)
- х Бi2)фL22(tv )ф(,Ж»,
^з(0 = Б!) \Кзз^^ ц) - х ^утк^ )Ф223(? ,) -
Б I т=1
м
V—1
(7)
- х ^Фтш V ^з«,) - х Бтз)Ф^3(^ V ,»,
Я=1
И=1
— дисперсия случайных коэффициентов V; Ки
— корреляционные и взаимнокорреляционные функции векторной случайной функции 0X0; М — количество расчетных интервалов в году (месяцы, декады); N — число составляющих, т.е. створов или рек; ^ и tll — соответственно аргументы случайной функции в данный и последующий моменты времени. Здесь V = 1, 2, ... М; ц > V; ц = V + 1, V + + 2, ... М(при € = 0; Ц =1, 2, ... М; I = /+ 1, / + 2, ... N (при € > /).
Формула (1) для канонического разложения трех случайных функций имеет вид:
м
а«) = т0()+х ф^ж®,
У=1
м м
Ш0 = т02(1) + х Ф^ОЖ® + х Ф^Ж(2), (4)
м
Б? = К
22(?А) - х Б(т [ф(>V)]
т=1
(8)
0,(0 = т^) + х Ф^Ж® + х Ф ^ + х Ф^®,
Я=1
м V—1
- х Б2 [ф2йС V)]2 - х б2 [ф2зз^ V)]2.
т=1 т=1
Уравнения (5) и (6) следуют из (2) соответственно при I = 1, € = 3 и I = 2, € = 3, а выражение
(7) — при I = 3, € = 3. Функции ф^, ф^2 и ф^2 могут быть получены соответственно при I = € = 1; I = 1,
€ = 2 и I = € = 2.
Дисперсии Б® случайных величин V, получаются из (3) при I = 3, к = 1, 2. Функции ф®(0, ф^з(0 образуют квадратную несимметричную матрицу,
функции ф®(0 образуют верхнюю трехугольную матрицу с единицами на главной диагонали, т.е.
ф®(0 = 0 при V > ц и ф®(0 = 1 при V = ц.
Статистическое моделирование гидрографов месячного стока выполнено по формуле (4). Из нее следует, что сначала строится каноническое разложение стока первой составляющей 0^0, как и в случае одномерного разложения, затем по значениям ф®(0, ф12(0 — каноническое разложение второй составляющей 02(0, по функциям ф®(0,
Ф®(0, ф^з(0 — разложения третьей составляющей 03(0. Если моделирование проводится в створах, расположенных на одной и той же реке, то в качестве 0^0 удобно принимать самый верхний (первый) створ, в качестве 02(0 — второй створ. Если же пункты наблюдений расположены на разных реках, то безразлично, какой из пунктов принимать за первую или вторую составляющую.
Алгоритм моделирования гидрографов стока заключается в следующем:
1. оценка однородности рядов наблюдений;
2. ввод исходных данных — реализация месячных величин стока и ординаты таблицы кривой обеспеченности С.Н. Крицкого и М.Ф. Менкеля при соответствующих соотношениях между параметрами Су и С,;
3. вычисление математических ожиданий, коэффициентов вариации и асимметрии, ковара-ционной и нормированной корреляционной мат-
риц, коэффициентов автокорреляции месячного стока;
4. ввод принятого соотношения между коэффициентами вариации Су и асимметрии С^;
5. оценка несмещенного значения коэффициентов вариации и автокорреляции месячного стока рек;
6. определение средних месячных расходов воды по уравнению авторегрессии с учетом связи между смежными членами стокового ряда;
7. вычисление координатных функций и дисперсии случайных коэффициентов;
8. формирование случайных коэффициентов Уу с заданным стандартным отклонением и нулевым математическим ожиданием;
9. получение реализации случайных величин по уравнению канонического разложения;
10. определение вероятности (обеспеченности) переменных, вычисленных в пункте 9;
11. преобразование рассчитанных значений обеспеченности (0—100%) в табличный интервал от 0.001 до 99.9%;
12. вход по полученным значениям обеспеченности в таблицу кривой распределения Крицко-го—Менкеля при заданных значениях Су и С/Су и вычисление модульных коэффициентов стока путем интерполяции их табличных значений;
13. сравнение статистических параметров исходных и смоделированных рядов.
Согласно [5, 6], в качестве закона распределения декадного и месячного стока может приниматься трехпараметрическое гамма-распределение Крицкого—Менкеля. При этом для рек снегового питания рекомендуется принимать С5 = 3Су для месячных величин, С8 = 4СГ — для декадных и пентадных значений. Исследования автора показывают, что для многих рек соотношение С/СV для месячного стока может меняться в пределах 1—6.
Оценку однородности рядов наблюдений и принадлежности отскакивающих точек к одной совокупности необходимо выполнить на основе рекомендаций ГГИ [8].
Аномальные значения стока в зоне малой обеспеченности в период половодья в основном лежат выше теоретической кривой, что может привести к получению заниженных значений моделируемой последовательности. Если смоделированные значения стока данного интервала существенно отличаются от натурных и приводят к искажению формы гидрографа стока, то моделирование стока в рассматриваемой зоне обеспе-
ченности, видимо, нужно проводить с введением гарантийного поправочного коэффициента, как это делается при расчете максимального стока.
Исследование показало, что трехкомпонент-ная модель канонического разложения хорошо воспроизводит нормы и коэффициенты вариации. Величина коэффициента автокорреляции первого порядка сохраняется в пределах точности расчета г1. Устойчивость коэффициентов асимметрии недостаточно высокая. Причем существенная разница между сопоставляемыми величинами С8 имеет место при больших значениях параметров Су и С5. Как видно из табл. 1, суще-ственнное расхождение между значениями С5 имееет место для стока р. Урал — с. Кизильское в месяцы VI и VII при С5 = 6Су. Однако расхождение между значениями С5 наблюденных и смоделированных рядов в большинстве случаев лежит в пределах точности расчета С5 [9]. По мере увеличения числа моделируемых гидрографов улучшается сходимость параметров С^. При п > 10 000— 15000 лет влияние длины ряда на сходимость параметра ряда незначительно. Значения других статистических параметров стока: нормы, коэффициента вариации, коэффициента авто- и взаимокорреляции — при п > 5000 остаются более менее устойчивыми.
Моделирование ведется по сложной цепи Маркова. Первое значение стока моделируется в соответствии с ее безусловным распределением, а каждая последующая величина — в соответствии с условным распределением с учетом ранее полученных значений стока. Метод учитывает всевозможные связи, заложенные в корреляционной матрице, что позволяет воспроизводить особенности сезонного хода стока любой реки. Следовательно, предлагаемая модель воспроизводит не только отмеченные выше статистические характеристики месячного стока, но и полную корреляционную матрицу (табл. 2, 3).
Важным критерием качества модели является сов
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.