МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2009
УДК 539.3
© 2009 г. Ю.А.ЧИРКУНОВ
ГРУППОВОЕ РАССЛОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАМЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Выполнено групповое расслоение системы уравнений Ламе классической динамической теории упругости относительно некоторой бесконечной подгруппы, содержащейся в нормальном делителе основной группы. Разрешающая система этого расслоения включает в себя две классические системы математической физики: систему уравнений безвихревой акустики и систему уравнений Максвелла, что позволяет использовать более широкие группы для получения точных решений уравнений Ламе. Получена конформно-инвариантная система первого порядка, описывающая волны сдвига в трехмерной упругой среде. Приведены примеры частично инвариантных решений.
1. Введение. Групповое расслоение уравнений Ламе классической статической теории упругости, выполненное в работе [1], позволило перейти к равносильному этим уравнениям объединению систем уравнений первого порядка: автоморфной и разрешающей. Найденное общее решение автоморфной системы является я-мерным аналогом известной формулы Колосова-Мусхелишвили. Разрешающая система в имеющих физический смысл двумерном и трехмерном случаях оказывается конформно-инвариантной, в то время как сами уравнения Ламе допускают лишь группу подобий евклидова пространства. В двумерном случае разрешающая система совпадает с системой Коши-Римана, что и позволяет успешно применять методы теории функций комплексной переменной в плоских задачах статической теории упругости. Эффективность группового расслоения статических уравнений Ламе приводит к естественной задаче: выполнить групповое расслоение динамических уравнений Ламе с целью получения новой информации о множестве решений этих уравнений. Эта задача и решена в настоящей работе. Основные понятия и алгоритмы современного группового анализа дифференциальных уравнений заинтересованный читатель может найти в известной книге [2].
2. Групповое расслоение уравнений Ламе. Уравнения Ламе классической динамической теории упругости записываются следующим образом:
и„ = а0У Шуи и (2.1)
где и = и(г, х) е Я" - вектор перемещений; г - время; х б Я" (я = 2, 3); а0 > 2 - постоянная, характеризующая упругие свойства среды.
2.1. Основная группа. Уравнения (2.1) ввиду линейности допускают бесконечную группу Ли преобразований с нормальным делителем, порождаемым операторами:
где и0(г, х) - произвольное решение уравнений (2.1). Факторгруппа по этому нормальному делителю конечномерна и ее алгебра Ли имеет базис
ио (г, х) • Э,
(2.2)
Х0 = дг, X = дх, Z = х Лдх + и Лд, Я = гдг + х • дх, Р = и • ди
и
и
(2.3)
Операторы Z образуют фактор Леви, а операторы Х0, X, Я, Р - радикал этой алгебры, оператор Р - ее центр.
2.2. Групповое расслоение. Задача отыскания операторов (2.2) равносильна решению исходных уравнений (2.1). Поэтому эти операторы не находят применения в групповом анализе для построения классов частных решений. Но они могут быть использованы для преобразования системы (2.1) в ей равносильную. Среди операторов (2.2) содержатся операторы
где h(x) - произвольная гармоническая функция.
Базис дифференциальных инвариантов первого порядка бесконечной группы с оператором (2.4) можно выбрать так:
= t, I2 = x, I3 = divu, I4 = rotu, I5 = ut
что позволяет выполнить групповое расслоение уравнений Ламе относительно этой группы. Автоморфной системой данного группового расслоения является система:
ut = u(t, x), divu = 0(t, x), rotu = w(t, x) (2.5)
а разрешающей - система:
ut = aoV0 -rotw, 0t = divu, wt = rotu, divw = 0 (2.6)
Система уравнений Ламе (2.1) равносильна системе уравнений (2.5), (2.6), в которых искомыми функциями являются: вектор перемещений u и дополнительные функции u, 0, w.
3. Разрешающая система. Если в (2.6) заменить вектор u вектором перемещений u, то получится система
ut = aoV0 -rotw, 0t = div u, wt = rotu, divw = 0 (3.1)
содержащая меньшее, чем система (2.5), (2.6), число дополнительных функций, а именно: 0, w. При этом справедливо следующее утверждение:
Теорема 1. Система (3.1) равносильна уравнениям Ламе (2.1) в том смысле, что для любого решения (u, 0, w) системы (3.1) функция u - решение системы (2.1), и обратно: для любого решения u системы (2.1) найдутся функции 0, w такие, что (u, 0, w) - решение системы (3.1).
Следствие. Эволюционная часть системы (3.1) равносильна уравнениям Ламе.
Среди равносильных в указанном смысле уравнениям Ламе линейных, однородных систем первого порядка, имеющих следующую структуру: временные производные перемещений линейно выражаются через пространственные производные дополнительных функций, а временные производные дополнительных функций линейно выражаются через пространственные производные перемещений, место системы (3.1) определяется следующей теоремой.
Теорема 2. Среди систем первого порядка, равносильных уравнениям Ламе, система (3.1) имеет наименьшее число дополнительных функций. Любая система первого порядка, равносильная уравнениям Ламе, имеющая то же, что и (3.1), число дополнительных функций, совпадает с ее эволюционной частью с точностью до линейного невырожденного преобразования дополнительных функций.
Система (3.1) наряду с уравнениями Ламе (2.1) являются основными объектами исследования в настоящей работе. Она включает в себя две классические системы математической физики: при w = const она совпадает с системой уравнений безвихревой акустики
Vh(x) • Э,
(2.4)
ut = aoV0, 0t = divu, rotu = 0
(3.2)
а при 0 = const - с уравнениями Максвелла
ut = -rotw, wt = rotu, divu = 0, divw = 0 (3.3)
Значение систем (3.2), (3.3) для системы (3.1) состоит в следующем.
Теорема 3. Любое решение системы (3.1) есть сумма решений уравнений безвихревой акустики и уравнений Максвелла.
Из этой теоремы вытекает известный результат [3] о разложении решения уравнений Ламе на потенциальную и соленоидальную части. Из теорем 2 и 3 следует еще одно утверждение о разложении решения уравнений Ламе.
Предложение. Для любого решения u уравнений Ламе найдутся решение уравнений безвихревой акустики (V, 0, 0) и решение уравнений Максвелла (W, 0, w) такие, что u = V + W.
4. Групповое свойство системы (3.1). Решение системы определяющих уравнений показывает, что основная группа системы (3.1) (факторгруппа по нормальному делителю, связанному с линейностью системы) порождается операторами
X 0 = д„ X = 3x, Z = x Лдх + u ЛЭи + w ЛЭЮ
(4.1)
R = tdt + x • 3x, P = u • 3u + 0Э0 + w dw
Таким образом, система (3.1) допускает ту же самую группу, что и уравнения Ламе, только действующую в другом пространстве.
Система уравнений безвихревой акустики (3.2) допускает основную группу, базис алгебры Ли которой состоит из операторов (4.1) и оператора Лоренца a0tdx + x3t -- (ао0Эи + u30).
Основная группа системы уравнений Максвелла (3.3) при n = 3 является семнадца-типараметрической [4] и содержит конформную группу четырехмерного пространства Минковского, а при n = 2 она порождается операторами (4.1) и оператором Лоренца t3x + x3t - (œ3u + иЗю) в котором u = (u2, -uj), (0, 0, ю) = w.
Добавление к уравнениям Ламе условия потенциальности или условия соленои-дальности вектора перемещений, как показывает решение соответствующих определяющих уравнений, не приводит к расширению основной группы этих уравнений. Следовательно, система уравнений безвихревой акустики (3.2) и система уравнений Максвелла (3.3) позволяют использовать в групповом анализе системы (3.1) и системы уравнений Ламе более широкие группы, чем группу с операторами (4.1) или (2.3).
5. Теорема о разложении инвариантных решений системы (3.1). Представление каждого решения системы (3.1) в виде суммы решений уравнений безвихревой акустики и уравнений Максвелла следующим образом конкретизируется для инвариантных решений:
Теорема 4. Любое нестационарное инвариантное Я-решение системы (3.1) есть сумма инвариантных Я-решений уравнений безвихревой акустики и уравнений Максвелла.
Доказательство. Строится оптимальная система подгрупп основной группы системы (3.1), вычисляются универсальные инварианты всех подгрупп из этой оптимальной системы, что позволяет для всех инвариантных Я-решений найти их вид и получить соответствующие фактор-системы S/Я. Для каждого нестационарного инвариантного Я-решения системы (3.1) устанавливается, что его можно представить в виде суммы соответствующих инвариантных Я-решений уравнений безвихревой акустики и уравнений Максвелла.
6. Теорема о разложении инвариантных решений уравнений Ламе. Представление любого решения уравнений Ламе в виде суммы потенциального и соленоидального решений этих уравнений следующим образом конкретизируется для инвариантных решений.
Пусть Н1 и Н2 - подгруппы, порождаемые соответственно операторами аХ0 + Х3, Я - Р, г3 и аХ0 + Х1, Х3, Я (а Ф 0).
Теорема 5. Любое нестационарное инвариантное Н-решение уравнений Ламе, за исключением Н-решений на подгруппах, подобных Н1 и Н2, можно представить в виде суммы инвариантного потенциального и инвариатного соленоидального Н-решений этих уравнений.
Доказательство. Эта теорема доказывается с помощью перебора всех существенно различных нестационарных инвариантных решений уравнений Ламе аналогично тому, как это делается при доказательстве теоремы 4 для инвариантных решений системы (3.1). Исключительными являются инвариантные Нк-решения (к = 1, 2).
Инвариантное Н1-решение уравнений Ламе, описывающее цилиндрическую автомодельную волну, определяется по формулам
/ \
С2Т
с, + -
I 2 2 7 ^/а0т + а0а - 1
с3/(т) + с41К(т)(т2 + а2 - 1) 3/2йт
«ф = [ с5 + с6 /(т)]/г
1
«3 = --3 г
С2а Сз Сл
2 +—, 3 + -
, 2 2 1 / 2 2 7 Т
чл/а0т + а0а - 1 ал/т + а - 1
а
g(т) +
тК (т)
0
V
л/т2 + а2 -
/ (т)
12 —- при а
2 т2
(а'
- 1 )л/т2 + а2 - 1
2
при а Ф 1
^(т)
(т2 + а0а2 - 1)
(а0 т2 + а0а2 - 1)
1п (д/а0т2 + а0 а2 - 1 + тТа)
22 а0т + а0 а - 1
-1
+1
К (т) = (а0-1 )|
т2 + а2 - 1
22 а0т + а0а - 1
1+
3 (а 0 а - 1 ) g ( т)
2 2 т + а0 а - 1
йт
где т = (? - ах3)/г; «г, «ф, «3 - компоненты вектора перемещений в цилиндрической системе координат г, ф, х3; с1, с2, .с6 - произво
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.