ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 5, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Б. Д. Аннин, Н. Ф. Бельмецев, Ю. А. Чиркунов
ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ УПРУГОЙ МОДЕЛИ
Выполнено групповое расслоение системы уравнений движения транс-версально-изотропной упругой модели геоматериалов, удовлетворяющей условиям Гассмана. Получена линейная система дифференциальных уравнений первого порядка, равносильная уравнениям этой модели. Доказан ряд теорем, описывающих ее свойства. Найдена основная группа Ли преобразований и оптимальная система ее подгрупп, что позволяет получить все инвариантные, частично инвариантные и дифференциально-инвариантные подмодели динамической модели трансверсально-изотропной упругой среды. Получены некоторые точные решения, указан их физический смысл.
1. Введение. Среди моделей линейной теории упругости выделяют модель трансвер-сально-изотропного упругого тела, позволяющую описывать поведение материалов, обладающих анизотропией упругих свойств [1, 2]. К таким материалам, например, можно отнести некоторые композитные материалы, слоистые горные породы, эффективное исследование которых — актуальная задача, не укладывающаяся в рамки классической линейной теории упругости.
Для рассматриваемой модели компоненты тензора напряжений О и тензора дефор-
.. 12 3
маций е j в декартовой системе координат (х = х , y = х , z = х ) связаны соотношениями [2]
11 /л , о ч 11 , Л 22 , л , 33 12 0 12 22 л 11 - , 0 ч 22 , л , 33
а = (А + 2ц)е + Ае +А8 , а = 2це , а = Ае + (А + 2ц)е +А8
13 13 23 23 33 л v 11 22ч , , , ~ ,ч 33 ( . )
а = 2G е , а = 2G е , а = А (е + е ) + (А + 2ц )е
Здесь А, ц, А', G', ц' — независимые параметры тензора модулей упругости.
Компоненты тензора деформаций связаны с компонентами вектора перемещений
u = u(t, х\ х2, х3) е R3 по формулам: 2еj = u1 j + uj (i, j = 1,2,3).
x х
Исходную систему уравнений динамической трансверсально-изотропной упругой среды, соответствующую соотношениям (1.1), можно записать в виде
р u)t = д х ((к + ^)(u\ + u2y) + (к' + G)u\) + ^(ulxx + ulyy) + G' u\z
2 1 2 3 2 2 2
p utt = д y((X + ^)(ux + uy) + (X' + G')uz) + ^(uxx + uyy) + G uzz (1.2)
p u)t = д z ((k' + G')(ulx + uy) + (k' + ja')uZ) + G'(u 3xx + u Zyy) + j u3zz где p — постоянная плотность среды; x = (x, y, z)T e R3.
2. Основные уравнения. Непосредственными вычислениями устанавливается справедливость следующего утверждения.
Теорема 1. Система уравнений движения трансверсально-изотропной модели упругости в деформациях (1.2) имеет в качестве частного решения градиент гармонической функции h = h(x, y, z) в следующих случаях:
1) hz = const, 2) hzz = F(z), ц' = G', 3) hzzz = 0, X' = A, + 2ц- 2G', 4) ц' = G', X' = 1 + 2ц - 2G
Только в четвертом случае ограничение накладывается лишь на модули упругости; оказывается, что при этом заведомо выполняется условие Гассмана [3-5], которое широко применяется в геофизике при исследовании распространения волн в трансвер-сально-изотропных упругих средах.
В четвертом случае уравнения (1.2) принимают вид
putt - (Х + 2|a)V divu + rot (Mrot u) = 0; M = diag (G', G',ц) (2.1)
и служит здесь основным объектом исследования.
3. Групповое расслоение. Оператор, допускаемый системой (2.1), ищется в виде
X = (t, x, u) d t + £ (t, x, u) • d x + n (t, x, u) • d u
Уравнения (2.1) ввиду линейности допускают бесконечную группу Ли преобразований с нормальным делителем, порождаемым операторами
u °(t, x) -5 u (3.1)
где u °(t, x) — произвольное решение уравнений (2.1). Факторгруппа по этому нормальному делителю конечномерна, ее алгебра Ли разрешима и имеет базис
dx, д y, дz, дt, xdy - ydx + u1du2 - u2dui, tdt + x • дx, u • дu
Задача отыскания операторов (3.1) равносильна решению исходных уравнений (2.1), вследствие чего эти операторы не находят широкого применения в групповом анализе для построения классов частных решений. Но они могут быть использованы для преобразования системы (2.1) в ей равносильную.
Среди операторов вида (3.1), допускаемых системой (2.1), содержатся операторы
Vh(x,y, z) -5u (3.2)
где h(x, y, z) — произвольная гармоническая функция.
Базис дифференциальных инвариантов первого порядка бесконечной группы с оператором (3.2) можно выбрать следующим образом [6]:
J1 = t, J 2 = x, J3 = div u, J 4 = rot u, J5 = ut
что позволяет выполнить групповое расслоение уравнений (2.1) относительно этой группы.
Автоморфная система имеет вид
u t = v(x, t), divu = 9(x, t), rot u = ra(x, t) (3.3)
а разрешающая система
pvt = (X + 2ц)V9 - rot (Mи), 0t = div v, = rot v, divra = 0 (3.4)
123 T 123 T
где v = (и , и , и ) , и = (ю , ю , ю ) .
Система уравнений (2.1) равносильна составленной из уравнений систем (3.3) и (3.4) системе первого порядка, в которой искомыми функциями являются вектор перемещений u и дополнительные функции v, 0, ю.
Если в системе (3.4) заменить вектор v на вектор перемещений u, то получится система уравнений (назовем ее системой RT), содержащая меньшее, чем объединенная система (3.3), (3.4), число дополнительных функций, а именно: 9(x, t) и ю(х, t).
Теорема 2. Система RT равносильна системе (2.1), т.е. для любого решения (u, 9, ю) системы RT функция u — решение системы (2.1), и обратно: для любого решения u системы (2.1) найдутся функции 0 и ю, такие, что (u, 9, ю) — решение системы RT.
Доказательство. Если (и, 9, ю) — решение системы RT, то его подстановка в данную систему и дифференцирование по t первого соотношения дает уравнения (2.1) для функции u.
Пусть теперь u — решение системы (2.1). Из третьего уравнения системы RT после подстановки в него u получается
t
ю = J rot u (т, x)dx + ю° (x) (3.5)
0
Чтобы удовлетворить последнему уравнению системы RT, можно взять
ю° (x) = rot у (x) (3.6)
с некоторой функцией y(x).
Оставшиеся уравнения дают систему для функции 9
(X + 2ц) V 9 = put + rot (M и), 9t = div u (3.7)
условия совместности которой таковы:
rot (put + rot (M ю)) = ° (3.8)
Для функции f ((, x) = rot (pu t + rot (M ю)) справедливо равенство ft(t, x) = rot (putt + rot (M rot u)) = rot ((X + 2^)V9t) = 0 Это означает, что f (t, x) = f (°, x). Условия совместности (3.8) принимают вид
rot(putIt=° + rot (Mю° (x))) = 0. Они заведомо выполнены, если в качестве ю° (x) взять функцию (3.6), где y(x) =
= (^1, ^2, ^3) — решение линейной эллиптической системы с постоянными коэффициентами
Лу + (l -■£) rot(°,°, Vx -^y)T =PuJ (3.9)
С) - " " ,у' О "«=о
Итак, функция 9 определяется из совместной системы в полных дифференциалах (3.7), а функция ю задается формулами (3.5), (3.6) и (3.9).
Следствие. Если в системе RT отбросить последнее уравнение, то оставшаяся эволюционная часть этой системы будет равносильна уравнениям (2.1) движения нестационарной трансверсально-изотропной упругой среды.
Последнее уравнение системы RT делает ее переопределенной, но оставляет пассивной. Роль этого уравнения сводится к уменьшению произвола в выборе дополнительных функций.
Рассматривается задача отыскания равносильных уравнениям (2.1) систем первого порядка, имеющих вид
и = х + Л2Ф у + Лзф г, <р, = В^ х + В^их у + Взи г (3.10)
5 Прикладная математика и механика, № 5
где и = (и1, и2, и3)Т — вектор перемещений, ф = ф(г, х) е Як (к > 1) — вектор дополнительных функций, А и Б1 (/' = 1, 2, 3) — постоянные матрицы размера (3 х к) и (к х 3) соответственно.
Система (3.10) называется равносильной системе (2.1), если для любого решения (и, ф) системы (3.10) функция и — решение системы (2.1), и обратно: для любого решения и системы (2.1) найдутся дополнительные функции ф, такие, что (и, ф) — решение системы (3.10).
Система (3.10), обладающая указанными свойствами, определена с точностью до линейной невырожденной замены дополнительных функций
ф' = Sф (3.11)
где — любая невырожденная постоянная матрица ^го порядка. Формула (3.11) задает преобразование эквивалентности искомой задачи.
Место системы ЯТ среди систем данного класса определяется следующей теоремой.
Теорема 3. Среди систем (3.10), равносильных уравнениям (2.1), система ЯТ имеет наименьшее число дополнительных функций. Любая система (3.10), равносильная уравнениям (2.1), имеющая то же, что и система ЯТ, число дополнительных функций, совпадает с ней с точностью до линейного невырожденного преобразования дополнительных функций.
Доказательство. Уравнения (3.10) заданы с точностью до преобразования (3.11), в силу которого матрицы эквивалентных систем связаны соотношениями
-Г-1
а; = А^ 1, Б = 8Б1; i = 1, 2, 3
Условия совместности систем (2.1) и (3.10) имеют вид
А1Б1 = (Х + д) Е„ + М0, АБ + АзБ = (X + 2ц - О,)(ЕЙ + Ех); / = 1,2
А3Б3 = (X + д) Е33 + М, А1Б2 + А2Б1 = (X + д) (Еп + Е21)
Мо = Д (Ец + Е22) + О' Е33, М = О' (Ец + Е22 ) + ЦЕ33
(3.12)
(.13)
Здесь Еу (I, у = 1,2,3) — матрицы, в которых ((, у)-элемент равен единице, а остальные равны нулю. Поскольку (X + 2д)д О' ф 0, то условия, необходимые для существования решения системы (3.10), принимают вид
к > 3, сСЫ(АуБ]) Ф 0; у = 1,2,3
Очевидно, что при к = 3 система (3.13) не имеет решения. При к = 4 непосредственной проверкой устанавливается, что с точностью до преобразований эквивалентности (3.12) решение системы (3.13) определяется по формулам
А, =
Б, =
(Х + 2ц 0 0 0 ^ 0 0 0 ц 0 0 -О' 0
( 0 0 0 -д^
(10 0 ^
0 0 0
0 0 -1
\0 1 0 у
б9 =
А2 =
( 0 10 ^ 0 0 1 0 0 0 4-1 0 0,
д
Х + 2д 0 0 0 0 О' 0 0
(0 0 1 ^ 0 -10 1 0 0 0 0 0
' 0 0 О' 0^1 А3 = 0 -О '00 Х + 2д 0 0 0
(3.14)
Б3 =
12 3 Т Т
Система уравнений (3.10), (3.14) при и = (и , и , и ) , ф = (0, ю) совпадает с системой ЯТ.
Примечателен тот факт, что система RT включает в себя две классические системы математической физики: при ю = const она совпадает с уравнениями безвихревой акустики AT
put = (Х + 2|a)V0, 9t = div u, rot u = °
а при 0 = const — с уравнениями Максвелла MT в анизотропной среде специального вида
put =- rot (M ю), rat = rot u, div u = div ю = °
Теорема 4. Любое решение системы уравнений RT является суммой решений уравнений безвихревой акустики AT и уравнений Максвелла в анизотропной среде специального вида MT.
Доказательство.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.