РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 6, с. 713-719
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 517.9
ХАОС И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В НЕЛИНЕЙНО СВЯЗАННЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ © 2004 г. Б. Е. Железовский, Э. В. Кальянов, В. Я. Кислов
Поступила в редакцию 24.09.2003 г.
Приведены уравнения сложной автоколебательной системы, содержащей несколько нелинейно связанных парциальных подсистем с запаздыванием. При этом элементы связи также обладают запаздыванием. Численными методами исследованы параметрические явления при периодическом и хаотическом изменении параметра усиления в системе, состоящей из двух подсистем, когда каждая из них описывается уравнением Мэки-Гласса. Показана возможность параметрического управления структурой колебаний при наличии нелинейной связи с запаздыванием.
ВВЕДЕНИЕ
Параметрические явления в системах с регулярной динамикой хорошо изучены. Им посвящено относительно большое число работ, и результаты исследований описаны в учебных пособиях и монографиях [1-7], в основном применительно к эффектам усиления. Параметрические явления в системах с хаотической динамикой также исследовались, в том числе и в системах с запаздыванием, но в значительно меньшей степени [8-10]. В то же время параметрические явления в системах с хаотической динамикой значительно сложнее, чем в регулярных системах и имеют свои особенности. Наиболее сложными являются процессы в системах с запаздыванием, обладающих свойством многомодовых систем с гиперхаотической динамикой. Изучение таких систем является актуальным. Ими моделируются многие реальные системы в различных областях науки.
В данной работе исследуются параметрические явления в системе нелинейно связанных генераторов, обладающих гиперхаотической динамикой. Приводятся уравнения системы и их численный анализ на примере двух связанных автоколебательных подсистем с запаздывающим аргументом, когда нелинейный элемент связи тоже обладает запаздыванием.
1. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнения, описывающие систему связанных генераторов с запаздыванием при их нелинейной взаимной связи, можно записать в виде
йх^йг = - Г Х( г) + Вф;(Х;т) + / Ф (Х]Т), (1)
где (, / = 1, 2, 3...к, к - число генераторов, Гг, В, О, -постоянные коэффициенты, хг, хт, хТ - переменные. При этом х, = х(г), хн = х (г - т г), Хт = х(г - т/),
где т - запаздывание в цепи обратной связи г'-го генератора (подсистемы), Т, - задержка сигнала в элементах связи между г'-й и /-й подсистемами, г -текущее время.
Нелинейные функции фг(хгт) и ¥/(Х/Т) могут быть аппроксимированы различными выражениями. В достаточно общем виде их можно представить следующим образом:
Ф ,т( х,т) = х\т ехр (-хт)/(1 + х"т), (2)
¥ г т( Хг т) = ехр (-хЦт) / (1+ х]т), (3)
где 1, т, п, X, ц, V - положительные величины.
Уравнения, получающиеся из системы (1)-(3) при т = ц = 0, рассматривались в [11] применительно к изучению взаимодействия двух подсистем, например, для моделирования изменения продукции во взаимодействующих регионах.
В частном случае I = 1, т = 0 при О, г = 0 из системы (1)-(3) получается хорошо известное уравнение Мэки-Гласса [12], описывающее образование кровяных клеток у человека.
В случае I = 1, т = 2, п = 0 при О, = 0 из системы (1)-(3) получается уравнение [13], предложенное одним из авторов работы для описания процессов в генераторе типа электронный поток-бегущая электромагнитная волна.
В данной работе будем, для определенности, использовать уравнения (1)-(3) применительно к сложной связанной системе, обладающей задержкой сигнала как в цепях обратной связи парциальных подсистем, так и в нелинейных элементах взаимной связи. Для изменения параметров подсистем целесообразно осуществлять их модуляцию в соответствии со следующим соотношением:
5 = 50[1 + Аи(г)], (4)
4.0
2.5
1.0
(а) 4
3
Рис. 1. Двухпараметрические диаграммы, отображающие области различных движений при увеличении параметра нелинейности (а) и при его уменьшении (б): 1 - область отсутствия колебаний, 2 - область од-ночастотного режима, 3 - область многочастотных колебаний, 4 - область хаоса.
где 5 - изменяемый параметр, - постоянная составляющая изменяемого параметра, А - коэффициент пропорциональности, и(г) - воздействующий сигнал.
В качестве изменяемых параметров в системе могут служить значения постоянных г, В, Б^. Для краткости ограничимся случаем модуляции параметра усиления. Источником колебаний и(г) могут служить автоколебательные системы со сложной динамикой, позволяющие осуществлять как регулярные, так и хаотические колебательные процессы. При осуществлении регулярного воздействия будем использовать гармонический сигнал частоты О, т.е. и(г) = со8(Ог), а для формирования хаотических внешних колебаний - одну из моделей Спротта (модель Р) [14, 15]
йи/йг = ^ + м>, dv|dt = а V - и, йм>/йу = и2 - м>, (5)
где а - постоянный коэффициент, и, v, м> - динамические переменные.
При а < 0.25 колебания и(г) являются квазигармоническими, а при а е [0.4, 0.5] - хаотическими. При а = 0.5 колебаниям и(г) соответствует аттрактор рёсслеровского типа с характеристическими показателями Ляпунова, равными 0.117, 0 и -0.617.
Численный анализ проводился методом Рун-ге-Кутта 4-го порядка при шаге интегрирования по времени г, равном 0.02. При этом полагалось,
что I = X = 1, т = | = 0, г = г, т = т, Ц = Т, В1 = В,
Б = Б
При параметрическом воздействии рассматривался случай двух связанных генераторов, различающихся значениями параметра нелинейности: п для первой подсистемы и V - для второй.
При воздействии гармонического сигнала его частота поддерживалась равной величине О = = 0.25. В случае использования для управления хаотических колебаний постоянный параметр в системе (5) равен а = 0.5.
2. АВТОНОМНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Уравнение одного автономного генератора с запаздывающим аргументом легко получить из системы (1), (2), опуская индексы и полагая, что Б = 0.
На рис. 1 приведены двухпараметрические бифуркационные диаграммы, иллюстрирующие области различных режимов работы одной парциальной подсистемы, описываемой обычным уравнением Мэки-Гласса. Они облегчают и делают наглядным выбор режимов работы в случае связанных систем. Диаграмма рис. 1а построена на основе серии однопараметрических диаграмм, рассчитанных при адиабатическом увеличении параметра нелинейности для различных значений г; при этом В = 12. Диаграмма рис. 16 построена на основе однопараметрических диаграмм, полученных при тех же значениях г и В, но при адиабатическом уменьшении параметра нелинейности. В обоих случаях запаздывание в цепи обратной связи равно т = 3. Область 1 соответствует отсутствию автоколебаний, область 2 - одночастотным колебаниям, область 3 - многочастотному режиму, область 4 - режиму хаотических движений.
Из рис. 1 видно, что диаграммы существенно различаются: проявляется гистерезис. Из обеих диаграмм следует, что увеличение параметра нелинейности при определенных значениях г может приводить к дехаотизации колебательного процесса. Так, в случае рис. 1а при значении г = 3 увеличение параметра нелинейности п сопровождается при п ~ 7.2 переходом от хаотического режима к регулярным колебаниям. При г = 3.5 увеличение параметра нелинейности после возбуждения хаотических движений не приводит к их дехаотизации. Однако при обратном изменении параметра нелинейности дехаотизация возникает в интервале п е [7.2, 8.8].
Для отмеченного значения г (г = 3.5), при котором наблюдается своеобразное изменение колебательного процесса, на рис. 2 приведены однопараме-трические диаграммы; на них показано характерное изменение максимальных значений колебательного процесса х(г), обозначенных [х], в зависимости от параметра нелинейности при его увеличении (а) и уменьшении (б). Как видно, в соответствии с
г
0 [х]
(а)
(б)
[Х1]
1.3
0
(а)
[Х1 - Х2]
. (б)
-2.6
0
1
2
О
Рис. 2. Изменение максимальных значений колебательного процесса х(г) при г = 3.5 в зависимости от параметра нелинейности в случае его увеличения (а) и уменьшения (б).
Рис. 3. Изменение максимальных значений колебательного процесса Х1(г) (а) и максимальных значений разности колебаний Х1(г) и Х2(г) (б) в зависимости от параметра связи.
0
0
4
8
п
двухпараметрической диаграммой рис. 16 в интервале п е [7.2, 8.8] реализуются многотактные движения.
В данном разделе под автономностью связанной системы подразумеваем отсутствие внешнего параметрического воздействия. Каждый парциальный генератор в такой "автономной" связанной системе, естественно, неавтономен.
На рис. 3 приведены бифуркационные диаграммы, иллюстрирующие изменение колебательных процессов в системе связанных генераторов при изменении параметра связи. На рис. 3 а показано изменение максимальных значений колебательного процесса первого генератора, а на рис. 36 -изменение максимальных значений разности колебательных процессов. Расчеты проведены для значений параметров, представленных на рис. 1 при п = 8 (первая подсистема) и п = 9 (вторая подсистема); в обеих подсистемах параметр г = 4.
Как видно, колебательный процесс х1(г) при увеличении параметра связи остается хаотическим вплоть до величины О - 0.8. В интервале О е е [0.8, 1.2] происходит дехаотизация колебаний, после чего вновь, при превышении величины О -- 1.2, реализуется хаос. Вторая область дехаоти-зации колебаний х1(г) возникает при О > 2.2. Максимальные значения разности колебаний х1(г) и х2(г) отображают области дехаотизации колебаний в тех же интервалах значений параметра связи, что
и рис. 3 а. Это свидетельствует о взаимной детерминированной синхронизации взаимодействующих колебаний. Синхронизация происходит на комбинационных частотах.
Фазовый портрет (рис. 4а) и траектория движения изображающей точки в проекции на плоскость {х1, х2} (рис. 46), соответствующие колебаниям, реализующимся при О = 3 (рис. 3), отображают самоорганизацию (взаимную регулярную синхронизацию) связанной системы. Образом самоорганизации является предельный цикл, имеющий относительно простую структуру.
В дальнейшем при изучении параметрического управления колебаниями системы двух связанных генер
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.