научная статья по теме HENLM-LA: ЛОКАЛЬНО-АДАПТИВНЫЙ АЛГОРИТМ НЕЛОКАЛЬНОГО СРЕДНЕГО НА ОСНОВЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ФУНКЦИЯМ ЭРМИТА Математика

Текст научной статьи на тему «HENLM-LA: ЛОКАЛЬНО-АДАПТИВНЫЙ АЛГОРИТМ НЕЛОКАЛЬНОГО СРЕДНЕГО НА ОСНОВЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ФУНКЦИЯМ ЭРМИТА»

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

У л :

HeNLM-LA: ЛОКАЛЬНО-АДАПТИВНЫЙ АЛГОРИТМ НЕЛОКАЛЬНОГО СРЕДНЕГО НА ОСНОВЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО

ФУНКЦИЯМ ЭРМИТА

© 2014 г. Н.В. Мамаев, A.C. Лукин, Д.В. Юрин

Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова 119991 Москва, ул. Ленинские горы, 1 E-mail: mamaev.nikolay93@mail.ru, lukin@ixbt.com, yurin@cs.msu.su Поступила в редакцию 13.01.2014

Предлагается алгоритм подавления шума (НеКЪМ-ЬА), представляющий собой модификацию алгоритма нелокального среднего на основе разложения локальных окрестностей пикселя по функциям Эрмита. Параметр, определяющий силу фильтрации, выбирается пропорциональным уровню шума в локальной окрестности. На основе анализа модельной задачи разработан алгоритм локальной оценки среднеквадратичного отклонения шума, идея которого состоит в подавлении в локальной дисперсии яркости больших значений, обусловленных скачком яркости на границе объектов.

1. ВВЕДЕНИЕ

Задача подавления шума важна во многих областях обработки изображений. Одним из популярных классов алгоритмов подавления шума является усреднение пикселей, при котором веса усреднения зависят от схожести некоторых величин, характеризующих окрестности пикселей [1],

[2], [3]. Первый алгоритм, известный как алгоритм нелокального среднего (NLM), вычисляет веса в зависимости от нормы разности целых блоков (патчей) вокруг пикселей. Алгоритмы [2],

[3] являются модификациями XI.M и позволяют повысить эффективность шумоподавления. В основе этих алгоритмов лежит замена блоков сравниваемых пикселей на характеризующие их вектора признаков. Их размерность значительно ниже, чем количество пикселей в блоке, что позволяет снизить вычислительную сложность. Алгоритм GFNLM [3] основан на признаках, полученных путем разложения окрестности пикселя по функциям Габора. В основе алгоритмов LJNLM-LR и LJNLM-UR [2] лежит разложение окрестности пикселя в ряд Тейлора, коэффициенты которого определяются производными функции Гаусса (Local Jets). Достоинством [2]

является поиск и сравнение не только блоков, отличающихся смещением, но и повернутых на любые углы.

Многие алгоритмы подавления шума зависят от параметра, характеризующего уровень шума на изображении. Так, для алгоритмов среднего по ву [4], билатеральной фильтрации [5] и нелокального среднего [1], [2], [3] параметр алгоритма имеет смысл величины размаха яркости, которую следует расценивать как шум и подавлять. Естественным подходом являлось бы выбрать в качестве этого параметра величину, пропорциональную среднеквадратичному отклонению шума (считая среднее шума нулевым). Однако уровень шума на реальных изображениях обычно априори неизвестен и требует оценки.

В том случае, если известно, что шум постоянен по всей площади изображения, типичным подходом является сканирование изображения небольшой рамкой, расчет дисперсии яркости в пределах этой рамки и выбор в качестве оценки шума наименьшего значения по всем возможным положениям рамки. Этот подход основан на предположении, что в пределах изображения содержится фрагмент размером не менее рамки, имеющий яркость близкую к констант-

ной. Пример подобного подхода описан в работе [6], где усредняется величина градиента в гладких или малотекстурных областях изображения. Также в [6] рассматривается случай зависимости уровня шума от уровня интенсивности изображения — такая зависимость наблюдается при получении изображений с фотокамер с гамма-коррекцией. Дальнейшее развитие идея получает в [7], где строится робастная вероятностная оценка уровня шума в зависимости от яркости и от позиции на изображении.

Значительной проблемой методов, основанных на поиске минимума дисперсии в рамке, является наличие на изображении границ и текстур, отсутствие гладких областей [8]. Эти особенности изображения приводят к завышению большинства оценок уровня шума, включая популярную оценку по медиане высокочастотных вейвлет-коэффициентов. В работе [8] предлагается подход, основанный на разложении блоков изображения по методу главных компонент. При этом в качестве оценки уровня шума выбираются наименьшие собственные числа матрицы ковариации. Это позволяет получить оценку шума даже в области с регулярной текстурой, при условии, что текстура является «предсказуемой» (аппроксимируется методом главных компонент).

В настоящей статье предлагается новый метод нелокальной фильтрации НсХГМ. основанный на разложении блока пикселей по функциям Эрмита. Наследуя все достоинства подхода [2], метод НсХГМ лучше различает текстуры за счет большей независимости компонент вектора параметров, из-за ортонормированности функций Эрмита и лучшего описания ими высокочастотных компонент локальной окрестности. Вторым вкладом настоящей работы является новый метод локальной оценки шума на изображении и построение на его основе локально-адаптивной версии алгоритма НсХТАМ.А. Предлагаемый метод оценки шума алгоритмически и вычислительно проще, чем [7], [8], но не приводит к заниженным оценкам шума, в отличие от [9].

2. МЕТОД ЛОКАЛЬНЫХ СТРУЙ ДЛЯ АЛГОРИТМА НЕЛОКАЛЬНОГО СРЕДНЕГО

В алгоритме нелокального среднего [1] зна-

чение выходного пикселя /(х, у) представляется взвешенной суммой значений исходного изображения I(х, у) по некоторой окрестности Q:

/(х, у) = —- ^ т(х,у,£,ц)1 (х + £,у + щ).

) т

(Шея

(2.1)

Здесь веса т(х,у,£,ц) зависят от схожести блоков ь(х, у) вокруг пикселя с координатами (х, у):

т(х, у, £, п) = ехр(-

\ь(х,у) - у(х + С, у + '

2 р2

Л12 ) (2.2)

Достоинством этого метода является высокое качество получаемого изображения. Однако данный алгоритм имеет высокую вычислительную сложность. Также метод [1] не инвариантен к поиску блоков относительно вращения, т.е. для пикселей, лежащих на одной границе, но с разным направлением градиента, веса будут малыми (2.1). Это может привести к плохому подавлению шума вдоль границ, где градиент в каждой точке границы имеет разные направления. Алгоритм XI. \! также сильно чувствителен к шуму, так как вычисление весов (2.2) происходит путем сравнения необработанных значений пикселей.

Метод локальных струй (алгоритмы Г.ГХГАГ Ы1 и I ..ГХГАП'Н [2]) частично преодолевает недостатки [1]. В IДХТМ веса для усредняемого пикселя зависят от расстояния между векторами признаков, характеризующими некоторую окрестность пикселя. Компонентами вектора признаков являются значения коэффициентов разложения в ряд Тейлора окрестности пикселя, которые определяются как значения сверток изображения I(х, у) с производными функции Гаусса на различных масштабах:

п+т ,]п+тг~<

Г = Т(т у) * ( а а а)

/пт (х,у) (1+ п + тАхПйут )•

Функция Гаусса задается выражением

Са (х,у) =

1

2 па2

е

(2.3)

(2.4)

а множитель ап+т вводится в (2.3) для того, чтобы отклик фильтра на одинаковые текстуры на разных масштабах был одинаков [10]. Ины-

а

во столько же раз растянуть функцию I(х,у),

то значения (2.3) не должны изменяться. Знаменатель 1 + п + т отражает количество разных производных порядка п + т и исключает ситуацию, когда вклад высших производных приводит к игнорированию низших.

Достоинством метода является легкость получения инвариантных к повороту признаков. Для этого они переводятся в систему координат (д, т), где д — градиент в точке (х,у), а т — перпендикуляр к д (рис. 1).

Рис. 1. Система координат (д,т).

Тогда вектор, характеризующий окрестность пикселя, выглядит следующим образом:

р = Ш™; п + т < г; а е 5},

(2.5)

где /П™ — признак в системе ко ординат (д,т) , г — максимальный порядок производной, 5 — множество масштабов [10].

3. ФУНКЦИИ ЭРЛ4ИТА

Будем определять функции Эрмита следующим образом [12]:

2

, ^ 1 (п(е-х ) (-1)" , ,

фп(х) = -е 2 ( = ~^Нп(х)е 2 ,

Сп Сп

где Сп = \!л/л2пп!

-х2 2

ех .

Нп (х) = (-1)п

(1хг

Они образуют полную ортонормированную систему в Ь2(~ж, [11]:

Фи (х)Ф™ (х)(х = 8Г

(3.2)

Рис. 2. Функции Эрмита (слева) и производные функции Гаусса (справа).

Многомасштабные функции Эрмита определим как:

= - Фи( -). (3.3)

а а

Множитель 1 в (3.3) приводит к тому, что фи, в отличие от (3.2), оказываются нормированными не на единицу, но обеспечивают более важную нормировку по отклику на текстуры — см. комментарий после формулы (2.4). Функции (З.З)удовлетворяют дифференциальному уравнению [11]:

Фи + (а2(2п + 1) - х2)ФП(х) = 0.

(3.4)

Некоторые функции Эрмита и производные функции Гаусса представлены на рис. 2. Видно, что области локализации функций Эрмита и производных функции Гаусса примерно совпадают, однако функции Эрмита позволяют значительно лучше представлять края интервала за счет того, что величина амплитуды на краях и в середине примерно одинаковы.

Двумерные функции Эрмита будем определять [12] как:

фи™ (х,у) = фи(х)фт(у).

(3.5)

4. АЛГОРНТА4 НЕЛОКАЛЬНОГО УСРЕДНЕНИЯ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИЙ ЭРА4ИТА

Мы предлагаем модификацию метода локальных струй с использованием разложения по функциям Эрмита вместо производных функции Гаусса. Теперь элементами вектора

признаков являются значения сверток исходного изображения и с функциями Эрмита:

unm — u * ^nm •

(4.1)

Так же как и в методе ЫМЪМ-Ы1, признаки переводятся в систему координат (д,т). Получим явное выражение. Рассмотрим две системы координат, связанные поворотом:

— R

,R —

cos $ sin $ — sin $ cos $

(4.2)

Тогда оператор дифференцирования в новых координатах можно выразить через линейную комбинацию операторов в старой системе координат:

d

d i — 1, 2; — С; 6 — П

а а ъ —

- = / Я^з-,

,±1'2 ах3 з — 1, 2; хх — х; х2 — у

' ' (4-3)

При этом выражение для производной функции Гаусса примет вид:

dn+m Gn I ^ _ d

dcndcm

j = 1,2

^ R2j dx

j = 1,2

d

Gf

(4.4)

Функция Эрмита представляет собой произведение производной функции Гаусса, радиально

(х2+у2)

симметричного множителя е 2 и нормировочной константы в^. Подставляя (3.1) в (3.3), а (3.3) в (3.5), учитывая (4.4), раскрывая скобки при производных функций Гаусса, приводя подобные слагаемые и учитывая вид матрицы Я (4.2), получим:

п+т

спвт^пт = ^^ а3 с3 сп+т-з Ф^п+т-З , 3=0

тгп(з,п)

аз — Е (-1)3(совЯ)™-+2к ■

к=тах(0,з -т)

■ (въп$У

n+j-2k сkcj-k

n!

ГД6 СП — k!(n — k!) •

(4.5)

За

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»