№ 6, 2014
УДК 539.37
© 2014 г. Ганеева М.С., Моисеева В.Е., Скворцова З.В.
ХЛОПАЮЩИЕ ПРЕДОХРАНИТЕЛЬНЫЕ МЕМБРАНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ И ТЕМПЕРАТУРЫ
Институт механики и машиностроения Казанского НЦ РАН, г. Казань
Исследованы нелинейный изгиб и устойчивость хлопающих мембран, которые представляют собой сферические сегменты, находящиеся под действием давления нагретой или охлажденной жидкости (рабочей среды взрывоопасного аппарата) с выпуклой стороны оболочки. Получены результаты численных расчетов в зависимости от уровня температуры действующей среды, характеристик материала и утонения сегментов в окрестности полюса.
Условия эксплуатации предохранительных мембран многообразны по различным характеристикам, в частности, по диапазону рабочих температур от криогенных до повышенных [1]. В работе представлены результаты исследования нелинейного изгиба и устойчивости хлопающих мембран, которые представляют собой сферические сегменты, находящиеся под действием давления нагретой или охлажденной жидкости (рабочей среды взрывоопасного аппарата) с выпуклой стороны оболочки. Рассмотрены случаи, когда рабочие температуры существенно отличаются от начальной температуры. Исследован изгиб мембран с утонением в окрестности полюса, обеспечивающим необходимое по условиям эксплуатации осесимметричное выпучивание.
Постановка задачи и метод решения. Рассматриваются нелинейный изгиб и устойчивость тонкого сферического сегмента под действием давления жидкости с выпуклой стороны оболочки. Невесомая сжимаемая жидкость находится в герметически закрытой емкости с жесткими стенками (рис. 1). Давление в емкости создается медленной подачей жидкости. Характеристики сферического сегмента: R — радиус сферы, h — толщина, Щ — глубина полюса по отношению к основанию, а — радиус основания. Вводим координатные линии: меридианы s, 0 < s < sN; внешняя нормаль z — срединной поверхности —h/2 < z < h/2; г =Rsin9 — радиус параллели; 0 < 9 < 9дт — угол между осью вращения х и нормалью ^ Характеристики жидкости: M0, У0, p0, ^ — масса, объем, давление и температура в ненапряженном состоянии сегмента; m, V, p, T — масса дополнительно поданной в емкость жидкости, соответствующее изменение объема емкости, установившиеся в ней давление и температура. Температура сегмента совпадает с температурой жидкости.
Принимаем, что давление р в емкости в процессе всего нагружения изменяется по адиабатическому закону [2]
р = Ро(( 1 + т/Мо) / (1 + V/ У0 ))у, (1)
где у — показатель адиабаты. Таким образом, в данной задаче параметром нагружения будет служить масса подаваемой в емкость жидкости m.
106 ■ Р/Е0
1,2
0,8 0,4 0
106 ■ Р/Е0
Рн, Р
^ 0 0,5 1,0 м/к0
- 3
_|_I_I_I_с_I_I_I
Рис. 1
-10 0 10 30
Рис. 2
50 м>/к0
Используем соотношения термосиловой задачи теории оболочек, описывающие моментное, геометрически и физически нелинейное напряженно-реформированное состояние (НДС) при умеренных поворотах [3] под действием давления на оболочку Р = р — р0 и разности температур Т — Т0. При существенном отличии рабочих температур мембраны от начальной температуры Т0 возникает необходимость учета зависимости свойств материала от действующей температуры Т. При этом в соотношениях термосиловой задачи нужно использовать средний коэффициент линейного температурного расширения в интервале [Т0, Т] [4—6]. Зависимость напряжений от деформаций представляем по теории малых упругопластических деформаций [7] для сжимаемого материала с диаграммой линейного упрочнения и коэффициентом упрочнения X, модулем упругости Е, коэффициентом Пуассона V, пределом текучести коэффициентом линейного температурного расширения а и средним коэффициентом линейного температурного расширения а . В соотношениях задачи учтена зависимость характеристик материала от температур Т0, Т
Е = Е(Т), а, = а,(Т), а = а(Г0, Т). (2)
Для вектора разрешающих функций [8] У = (Т*, Q*, М11, Р, и, м, 91, Б)', где Т*1, Q* — меридиональное и перерезывающее усилия; М11 — изгибающий момент; и — касательное перемещение; 91 — поворот нормали: Б(и) — функция изменения объема из-за прогиба оболочки м(и)
В(5) = 2п ^^, В(0) = 0, = V
(3)
получена нелинейная разрешающая система уравнений
йУ/йи = А(и)У + Г(и, У) + ДТ(и), 0 < 5 < (4)
Здесь А(и) — матрица коэффициентов размерности 8 х 8; Г(и, У) — вектор геометрически и физически нелинейных членов 8 х 1; ДТ(и) — вектор температурных членов 8 х 1, содержащий выражения а*(Т — Т0), где а* = а (Т0, Т).
У основания оболочки и = % рассматриваем условия жесткой заделки и = 0, w = 0, 91 = 0. (5)
К условиям при и = % добавляется нелинейная зависимость между неизвестными Р и V, приближенно следующая из (1) с учетом (3)
Р + Ро (1 + т/Мо )Уу^0 = - Ро + Ро (1 + т/М, )у х
х [(1 + у(у + 1)(V/Vз)2)/2 -у(у + 1 )(у + 2)(V/Vз)3/6].
т
Р
Р
5
0
Т, °с -253 -193 -103 -70 20 300 500 600 Источник
E ■ 10-5, МПа 2,23 2,12 2,09 2,03 1,74 1,53 1,48
а5, МПа 520 448 380 250 137 118 [9, 10]
ав, МПа 1420 1000 660 392 343
а(7) ■ 105, 1/град 0,08 0,66 1,42 1,60 1,80 2,07 2,17 [10, 11, 5]
й(7), 7) ■ 105, 1/град 1,12 1,32 1,49 1,58 1,72 1,79 1,82
В работе [8] предложен алгоритм численного решения нелинейной краевой задачи (4)—(6) на основе пошагового процесса по параметру ml/M0, I = 1, Ь. При численном решении задачи вместо (6) можно реализовать крайний случай нагружения, когда задано изменение объема оболочки в процессе деформации
V-+1 = V- + Д V, - = . (7)
Приведем результаты расчетов, в которых p0 принимаем равным атмосферному давлению T0 = 20°. Характеристики материала из нержавеющей стали 12 х 18Н10Т сегмента представлены в табл. 1. Используем следующие обозначения этапов НДС: I — неосесимметричное волнообразование по параллели, II — осесимметричная потеря устойчивости, III — скачок (прохлопывание).
НДС сферического сегмента постоянной толщины в зависимости от уровня температуры. При вычислениях принято: а = 100 мм, Н0 = 18 мм, H = 2Н0, sN = 102,147 мм, у = 7, V = 0,3, X = 0,9. Толщина сегмента постоянна
h = ^ = 0,3 мм. (8)
В табл. 2 представлены безразмерные параметры нагрузки P/E0, максимальных значений прогиба w/h0 и интенсивности напряжений ст/Е0 = (ст^ + —1Стцст22)0'5/Е0 при нарастании подачи жидкости m/M0 в емкость для различных температур 7. Картина НДС сегмента сложна вследствие совместного действия двух основных факторов — давления жидкости и температурных напряжений. Видна значительная зависимость НДС сферического сегмента от температуры Т. При всех рассмотренных значениях температур в интервале T е [—250, 500]°, за исключением Т = 50°, определяются нагрузки PH, при которых происходит волнообразование по параллели с числом волн k (точки бифуркации). На осесимметричной ветви решения при дальнейшей подаче жидкости в емкость определяются верхние предельные нагрузки Рв осесимметричной потери устойчивости. В интервале T е [—250, 45]° с уменьшением охлаждения оболочки и с приближением к уровню Т = 45° критические нагрузки PH, PB возрастают. В интервале температур Т е [50, 500]° нагрузки PH и PB приуменьшаются с ростом нагрева. При Т = 45° и T — To = 25° критические нагрузки Pн, Pв являются наибольшими. Отметим, что при T = 70 = 20° НДС сегмента определяется без учета влияния температуры нагружающей среды [12].
После достижения верхней критической нагрузки PB при малейшем увеличении подачи жидкости в емкость m/M0 мембраны выворачиваются скачком со значительным снижением давления и увеличением прогибов и напряжений.
На рис. 2 представлены зависимости P(w) в полосе сегмента при температурах Т = 250° (кривые 1), T = 20° (кривые 2), T = 500° (кривые 3). Сплошными линиями изображены результаты, полученные при выполнении граничных условий (5), (7), когда нет учета влияния сжимаемости жидкости. В этом случае решение гладкое, без
Этапы т, °с -250 -150 -100 -50 0 20 45 50 55 100 200 300 400 500
10 -т/м0 1,468 1,346 1,357 1,472 1,696 1,833 2,041 1,933 1,596 1,135 0,775 0,477 0,206
Ю6' Ря/Е0 0,476 0,463 0,523 0,659 0,897 1,041 1,286 1,202 0,978 0,748 0,595 0,488 0,401
I к 10 10 11 12 13 14 9 12 11 10 10 9 9
ц>/к0 4,327 3,336 2,503 1,648 0,816 0,487 0,057 -0,243 -1,252 -3,071 -4,624 -6,073 -7,469
Ю3 • а,/£„ 3,638 2,896 2,473 1,919 1,386 1,008 0,660 0,842 1,400 1,890 2,164 2,362 2,509
10 -т/М0 2,070 2,008 2,065 2,121 2,143 2,119 2,094 1,995 1,952 1,753 1,221 0,816 0,501 0,217
II Ю6' Рв/Е„ 0,815 0,861 0,994 1,144 1,277 1,304 1,338 1,252 1,220 1,116 0,804 0,612 0,494 0,403
5,675 4,555 3,617 2,601 1,444 0,811 0,259 -0,100 -0,239 -1,301 -3,283 -4,854 -6,227 -7,553
103 • а,/£0 3,685 2,972 2,574 2,037 1,466 1,240 0,959 0,733 0,839 1,389 1,875 2,157 2,359 2,508
10 -т/М0 2,087 2,019 2,075 2,123 2,145 2,120 2,095 1,996 1,953 1,754 1,223 0,819 0,505 0,226
III Ю6' Рс/Е0 0,083 52,96 0,071 53,62 0,066 55,13 0,059 56,54 0,050 57,67 0,047 57,87 0,045 58,10 0,045 57,41 0,045 57,14 0,042 56,10 0,040 51,13 0,039 45,55 0,038 40,59 0,037 36,01
Ю3 • а,/£„ 3,560 3,149 3,078 2,910 2,600 2,461 2,417 2,400 2,387 2,294 2,071 2,238 2,443 2,588
103 2,544 2,091 1,954 1,720 1,371 1,231 1,203 1,198 1,191 1,139 1,023 0,907 0,791 0,675
(Рв - Ря)/Рв, % 42 46 48 42 30 20 4 1,5 12 7 2,7 1,3 0,5
скачков. Штриховые линии соответствуют области скачка, вызванного сжимаемостью жидкости (6).
В силу наличия нагрузки Рн сферический сегмент постоянной толщины не отвечает требованиям эксплуатации предохранительных мембран, предусматривающим надежное прохлопывание мембраны без волнообразования по параллели, уводящего НДС оболочки на ветвь неосесимметричного деформирования.
Исследовано влияние полноты учета зависимости характеристик материала от температуры на НДС. Наряду с полным учетом (2) известны подходы, в которых приближенно принимается
а* = а( Т), Е = Е( Т), ст, = ст,( Т) (9)
или зависимость характеристик материала от температуры не учитывается
а* = а(То), Е = Е(Т0), ст, = ст,(Т0). (10)
В табл. 3 приведены сравнительные данные для трех подходов. Различия между результатами, полученными при полном и приближенном выборе зависимостей характеристик материала, наиболее выражены при крио
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.