АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 6, с. 647-655
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 519.624,534.1
ИДЕНТИФИКАЦИЯ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ НА ОБОИХ КОНЦАХ СТРУНЫ ПО СОБСТВЕННЫМ ЧАСТОТАМ КОЛЕБАНИЙ © 2015 г. А. М. Ахтямов*, **, И. М. Утяшев**
*Башкирский государственный университет 450074 Уфа, ул. Заки Валиди 32 **Институт механики им. Р.Р. Мавлютова УНЦРАН 450054 Уфа, пр. Октября 71 E-mail: akhtyamovam@mail.ru, utyashevim@mail.ru Поступила в редакцию 05.03.2015 г.
Решена задача идентификации вида и параметров краевых условий для краевой задачи, описывающей колебания струны. Показано, что для идентификации как вида, так и параметров краевых условий достаточно двух собственных частот. Найдено множество корректности данной задачи и доказана корректность ее по Тихонову. На основе доказанной теоремы предложен метод, позволяющий отыскивать приближенные решения.
Ключевые слова: спектральная задача, идентификация закрепления, струна, условие Плюккера, собственные значения, корректность по Тихонову.
БО1: 10.7868/80320791915050019
ВВЕДЕНИЕ
Целью настоящей статьи является восстановление вида и параметров краевых условий для краевой задачи о колебаниях струны. В качестве данных восстановления используются две собственные частоты. Ранее в такой постановке задача не рассматривалась. Решалась задача идентификации параметров краевых условий Штурма по двум собственным частотам [1]. Однако в [1] вид краевых условий был известен — это условия Штурма (условия вида у'(0) - hy(0) = 0, у'(1) + Ну(1) = 0). Восстанавливались лишь неизвестные параметры Н и Н. Аналогичные задачи рассматривались также в [2— 8]. В работах [7—11] решались обратные спектральные задачи Штурма—Лиувилля. В этих работах коэффициенты краевых условий идентифицировались вместе с коэффициентами дифференциальных уравнений. Причем в качестве данных восстановления в этих работах использовалась не часть спектра, как в нашей работе, а несколько спектров или же спектр и дополнительные спектральные данные (функция Вейля, матрица Вейля, спектральная функция, весовые числа и т.п.). В [12—14] (см. также [1] и библиографию к этой работе) решались близкие задачи идентификации вида стержней, пластин и оболочек по конечному набору собственных частот. Однако соответствующая задача идентификации общих краевых условий в задаче о колебаниях струны не рассматривалась.
В [10] краевые условия представлены в виде условий Штурма у'(0) - hy(0) = 0, у'(1) + Ну(1) = 0,
где предполагается, что значения Н и Нмогут принимать значения, равные и бесконечности. Однако при решении задачи идентификации общих краевых условий такой подход не всегда приводит к верным результатам.
Действительно, для задачи о колебаниях струны с жестко закрепленными концами у" + X2 у = 0, у(0) = 0, у(1) = 0, первые собственные значения и Х2 равны п и 2п соответственно. Предположим, что вид краевых условий неизвестен, требуется по двум собственным значениям определить их. Рассмотрим данную задачу, подразумевая, что краевые условия имеют вид Штурма. Подставив собственные значения в характеристический определитель
Д(Х) = X sin(X) - h cos(X) - Hcos(X) -
hH sin(X)
получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными: h + Н = 0, ^ - Н = 0. Отсюда следует, что h = -Н, т.е. система имеет бесконечное множество решений. Если исходить из физических соображений и положить что Н > 0 и Н> 0, то следует что Н = Н = 0. Тогда полученное решение соответствует граничным условиям для струны со свободными концами у'(0) = 0, у'(1) = 0. Найти же второе решение — задачу у" + X у = 0, у(0) = 0, у(1) = 0 — этот метод не позволяет.
Таким образом, если учитывать только условия Штурма, то получаем только одно решение, что является неверным. Поэтому требуется теорема о количестве решений и другой метод идентифика-
ции. Ниже соответствующая теорема и метод приведены. Прежде чем изложить эти результаты, приведем постановку прямой задачи о колебаниях струны.
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Рассмотрим колебания струны, описываемые уравнением
д 2u _ 2 д 2ы д 2t д 2x
2,2 ю l
получаем задачу Штурма—Лиувилля:
у" + Х2 у = 0, (4)
их(у) = апу'(0) - а 12у(0) = 0, (5)
и2 (у) = а2з у(1) + а24 у(1) = 0, (6)
где ап = Ьи/1, аи = Ъп, а2Ъ = Ъгъ/1, а24 = Ъ2А.
Обозначим матрицу, состоящую из коэффициентов краевых условий а у форм и1(у), и2(у), через А:
А = {а11 а12 0 0 1- (7)
^0 0 а2з а24)
Исходя из физического смысла задачи, коэффициенты матрицы А можно считать неотрицательными. Матрицу А будем называть матрицей краевых условий.
Общим решением задачи (4)—(6) является функция
y(x, X) = C1 cos(Xx) + C2-
X
Для определения констант С1, С2 используют краевые условия (5), (6). Уравнения частот получают из условия существования ненулевого решения для С. Ненулевое решение для С1 существует
А(Х) =
U2(cos(Xx)) U2
(8)
тогда и только тогда, когда не равен нулю характеристический определитель
и1(ес8(^х)) и1 (Й^М ( X
соответствующей системы (см. [17]). Преобразо вывая (8), получим
Д(Х) = 1иМХ) + (/14 + /2Ъ)/ц(Х) + ¿24/24$) = 0, (9)
(1) где/13 = X sin X, /14 = /23 = -cos X, /24 = -
sin X
X ,
а че-
с краевыми условиями на левом и правом концах [15, 16]
bnux(0, t) - bi2«(0, t) = 0, (2)
b23Ux(l,t) + b24U(l,t) = 0. (3)
В таблице представлены виды закреплений струны в зависимости от значений коэффициентов b11, b12,
b23, b24-
Прямой задачей будем называть задачу определения собственных частот колебаний струны, если известны вид краевого условия и параметры b11, b12, b23, b24. А под обратной задачей будем понимать задачу идентификации вида краевых условий из таблицы (1) и параметров b11, b12, b23, b24 по известным собственным частотам.
Сформулируем прямую и обратную задачи в терминах задачи Штурма—Лиувилля и характеристического определителя. После замены u( x, t) = y(x)cos ю?
2 2 из (1) получим —ю y(x) cos юt = a y"(x) cos ®t. Отсюда
после введения новых обозначений £, = x/l и X2 =
рез Jy = det
гйц ai ^ Va2i a2 j J
обозначен определитель, со-
ставленный из 1-го иу-го столбцов матрицы краевых условий А (обозначение /у взято из работы [9]).
Подставляя коэффициенты краевых условий, можем получить спектр собственных частот соответствующей задачи. Это будет решение прямой задачи. Тогда обратную задачу — задачу идентификации краевых условий по собственным частотам — в терминах функции (9) можно сформулировать следующим образом: коэффициенты ауу матрицы А неизвестны; ранг матрицы А равен двум; известны корни Хк характеристического определителя (9). Требуется идентифицировать матрицу А с точностью до линейных преобразований строк.
СООТНОШЕНИЕ ПЛЮККЕРА
При решении поставленной задачи будет использовано соотношение Плюккера [1, 18—21]. Покажем, как оно возникает для нашей задачи.
С помощью линейных преобразований строк, при условии /13 Ф 0, матрицу краевых условий можно представить с помощью ее определителей /:
A =
1 J23/J13 0
0 0 J
13
0
J14
(10)
Обратим внимание, что в записи матрицы А не используется определитель /24, и его можно вы-
числить: J24 =
JI! 0 J13 0 J
14
= — J14. Таким образом, для
J13
матрицы должно выполняться соотношение
Если J
24
J13J24 - J23J14 = 0. (11)
Ф — J14 (соотношение (11) не выпол-
J1
13
няется), то восстановить матрицу А по определителям /у невозможно, так как таковой не существует. Этот вывод верен не только в случае /13 Ф 0, но и в том случае, когда отличен от нуля другой из определителей /у. В зависимости от того, какой из определителей не равен нулю, матрица А имеет следующий вид:
2
a
Виды краевых условий
¥ =
N1
Рисунок.
А-[0 ^ 0 г ], при '.4- 0, С2)
V0 0 У 13 У 14 У
А = Г/,3//23! о 0 У, при '23- 0, (,3)
V 0 0 У 23 У 24 У
А = ^^.40^24 1 0 0 У, при '24 - 0. (14)
V 0 0 У 23 У 24 У
Нетрудно, заметить, что для всех этих матриц должно выполняться соотношение (11) и верна
Теорема 1 (соотношение Плюккера). Для того чтобы набор чисел '13, '14, '23, '24 являлся набором определителей второго порядка некоторой матрицы А размера 2 х 4 и ранга 2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение (11), называемое соотношением Плюккера.
Таким образом, если для матрицы краевых условий А найти ее определители '13, '14, '23, '24, то с помощью формул (10), (12), (13), (14) легко находится сама матрица, а значит и краевые условия.
ДВОЙСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
Пусть Х1, Х2 являются собственными значениями соответствующей краевой задачи (4)—(6). Тогда Х1, Х2 — корни характеристического уравнения (9) [17]. Подставив эти два значения в уравнение (9), получим систему двух уравнений для отыскания четырех определителей '13, '14, '23, '24 матрицы А:
А(^) =
= ^13/13(^1) + У + J2з)fl4&l) + /24/24(^1) = 0,
АХ 2) =
= /13/13(Х 2) + (/14 + /23)/14(Х 2) + /24/24(Х 2) =
Обозначим через ¥ следующую матрицу, состоящую из коэффициентов системы (15):
(15)
(16)
(17)
'/13(^1) /14(^1) /24(^1)^
к/13(Ь2) /14(К2) /24(К2)у а через — определитель, получаемый из ¥ вычеркиванием столбца с элементом /у(Хк). Справедлива следующая теорема: Теорема 2 (о двойственности решения). Пусть Х1, Х2 являются собственными значениями задачи (4)—(6), ранг матрицы ¥равен 2. Тогда задача идентификации краевых условий имеет два решения, которые представляются в явном виде в терминах определителей
Доказательство. Обозначим определитель '13 через х, сумму '14 + '23 — через у, '24 — через z. В новых обозначениях система (15) запишется в виде
А(^) = /13(^1)^ + /14<Л1)у + /24(^1)^ = 0,
2) = 2)Х + /14<^ 2)у + />4^ 2% = 0. Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (17) представляет собой уравнение плоскости Ах + Ву + С1 = 0, проходящее через начало координат [22, с. 46] (см. рисунок), где А = /13(Х), В = =/м(Х), С = /24(Х).
Нормальный вектор плоскости, заданной первым из уравнений системы (17), есть N = (/13(Я1),
/14(^1),/24(^1)), а N2 = (/13(Х2), /^2),/м(^2)) -нормальный вектор плоскости, заданной вторым уравнением системы (17) (см. рисунок). Поскольку ранг матрицы ¥ равен 2, то эти векторы не коллине-арны (плоскости А(Х1) = 0 и А(Х2) = 0 не совпадают и не параллельны).
Обоз
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.