РАСПЛАВ Ы
3 • 201:5
УДК 681.3.07
ИДЕНТИФИКАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
© 2015 г. Г. Л. Хазан*, И. А. Кузнецов**
*Институт материаловедения и металлургии УрФУ, 620002, Екатеринбург. ул. Мира, 19
e-mail: genhaz.an@mail.ru
**ОАО "НПК "Уралвагонзавод". Центр исследований и испытаний материалов, 620007, Нижний Тагил, Восточное шоссе, 28
Поступила в редакцию 16.07.2014 г., в окончательном варианте 02.05.2015 г.
Приводятся методы идентификации объектов при решении научных и производственных задач: распознавание в линейном и нелинейном случае, метод Гаусса-Зай-деля, последовательный симплекс-метод, метод деформируемых многогранников, проблема агрегирования откликов на основе обобщенной функции желательности.
Ключевые слова: Многомерное пространство, распознавание, идентификация, научно-производственная задача.
При исследовании многокомпонентных расплавов все чаще обращаются к методологии активного эксперимента ввиду его известных [1, 2] оптимальных свойств. Однако руководства по планированию экспериментов в большинстве случаев написаны в рецептурном аспекте и не предостерегают от затруднений, возникающих при использовании стандартных планов в нестандартных ситуациях. Между тем, подобные ситуации как раз характерны для высокотемпературных физико-химических исследований, связанных с изучением нелинейных и неаддитивных многофакторных систем.
Будем называть многомерным такой агрегат или процесс, который характеризуется двумя множествами координат: входным X = X x2 ... xm) и выходным Y = y y2 ... yn).
Все чаще в исследовательской практике возникают задачи, в которых требуется найти алгоритм, позволяющий распознавать (например, прогнозировать) вектор Y по заданному вектору X (прямое распознавание), либо вектор X по вектору Y (обратное распознавание).
Пусть m = n и линейно связанные переменные Xи Yмогут принимать любые значения. Тогда. связь между этими переменными может быть описана матричным уравнением Y = AX, где А — квадратная матрица параметров. В этом случае существуют как прямое решение, так и единственное соответствующее ему обратное. В случаях, когда m ф n искомых решений либо нет, либо их много.
Рассмотрим в этом аспекте методы распознавания в многомерном пространстве откликов применительно к ситуациям, регулярно возникающим, например, в сфере ис-
1
следования процессов литья.
1. РАСПОЗНАВАНИЕ ВНУТРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА
Обратимся к актуальной задаче расчета шихты для выплавки чугуна в высокочастотной индукционной печи. Химический состав исходных компонентов приведен в табл. 1. В настоящем примере угар элементов в процессе плавки не учитывается.
Здесь m = n = 4.
'Это процессы шихтовки, плавки, смесеприготовления, формовки, заливки форм, кристаллизации и охлаждения отливок.
Таблица 1
Химический состав продуктов
№ п.п. Наименование Химический состав, %
(/) С Мп
1 Чушковый чугун 3.5 3.3 0.5
2 Возврат 3.3 2.1 0.7
3 Стальной лом 0.2 0.3 0.8
4 Чугунная брикетированная стружка 3.3 2.1 0.3
Требуемый состав чугуна после плавки 3.0 2.6 0.5
Химический состав шихты и ее компонентов связаны друг с другом следующими соотношениями:
Сх + С2Х2 + С3 Х3 + С4 Х4 = С, 81 х + 812х2 + 813х3 + 814 х4 = 81, Мпх + Мп2х2 + Мп3 х3 + Мп4 х4 = Мп, Х^ + х2 + х3 + х4 = 1.
Или А X = У.
(х1 ^
Здесь X =
х2 х3 ^ х4.
на единице);
вектор долевого содержания компонентов (сумма его элементов рав-
А =
( С1 С2 С3 С4
811 812 813 814
Мп1 Мп2 Мп3 Мп
1
матрица параметров;
У =
( С ^ 81 Мп 1
вектор химического состава шихты.
Для любого варианта химического состава и долей исходных компонентов легко рассчитать компонентный состав получаемой смеси. Таким образом, прямая задача распознавания (найти У по X) имеет единственное тривиальное решение. По результатам этого решения довольно просто решается и обратная задача (найти X по У). Однако она не будет иметь решения, если из имеющихся компонентов шихту заданного химического состава получить невозможно. В этом случае некоторые элементы искомого вектора X окажутся отрицательными.
В качестве другого примера обратимся к системе соотношений, используемых для трехкомпонентной шихтовки полидисперсной смеси как некоторой статистической
совокупности частиц. При этом начальные моменты [1] компонентов и их смеси связаны друг с другом линейными соотношениями:
Миа + М12р + М13у = шъ М21а + М22Р + М23У = Ш2,
(1)
где М1Ь М12, М13 — первые начальные моменты компонентов; М21, М22, М23 — вторые начальные моменты компонентов; а, Р, у — долевые содержания компонентов в их смеси; Ш2 — первый и второй начальные моменты шихтуемой смеси.
При этом обязательно ограничение: а + Р + у = 1. (2)
Кроме того необходимо, чтобы а, в и у были неотрицательны.
Прямая задача функционального распознавания сводится к расчету функций Шь Ш2 для произвольно выбранных неотрицательных аргументов а, Р, у, сумма которых равна 1. Пусть
М11 = 0.222, М12 = 0.186, М13 = 0.361, М21 = 0.056, М22 = 0.042, М23 = 0.175, а = 0.5, в= 0.3, у = 0.2.
Подставив эти данные в (1), получим т' = 0.239, т2 = 0.076. Объединим (1) и (2):
М11а + М12р + М13у = ш1, М21а + М22в + М23у = ш2, а + Р + у = 1 .
(М11 М12 М13 ^ (а0\
М21 М22 М23 1 1 1
в
у \Уу
(ш1 ^
Ш2 1
Выполним обратное функциональное распознавание — по заданным Ш1, Ш2 найдем а, Р, у:
в
чУу
(М11 М12 М13 ^ 1 М21 М22 М23 1 1 1
( ш1 ^ Ш2 1
( 0.5^1 0.3 0.2
Результаты прямого и обратного распознаваний соответствуют друг другу взаимно однозначно, поскольку соотношения (1) и (2) строго линейны.
2. РАСПОЗНАВАНИЕ ВНУТРИ ГИПЕРКУБА В НЕЛИНЕЙНОМ СЛУЧАЕ
Рассмотрим более универсальную ситуацию, когда т не обязательно равно п, а связи между Xи У, вообще говоря, нелинейны.
Прямая задача распознавания (прогноз У по X) по-прежнему имеет тривиальное однозначное решение, в отличие от обратной задачи. Специфику последней рассмотрим на примере поиска оптимальных режимов работы лабораторного смесителя.
В производственном лопастном смесителе литейного цеха приготовляется химически твердеющая смесь с производительностью 60 т/ч. Для лабораторных экспериментов необходимо приготовление такой же смеси в небольшом количестве (до 1 кг).
Опытным путем требуется найти время перемешивания и скорость вращения вала лабораторного смесителя, при которых однородность и физико-механические свойства лабораторной и производственной смеси отличались бы незначительно.
или
Таблица 2
Условия и результаты опытов
№ п.п. (г) Факторы Отклики
¿1 ¿2 ¿3 /1 /2 /3 /4
1 1 0.5 4 3.05 1.2 0.2 3.0
2 2 0.5 4 2.05 1.8 0.3 3.5
3 1 1.5 4 9.37 1.6 0.31 2.5
4 2 1.5 4 3.02 0.8 4.5 5.5
5 1 0.5 8 4.12 1.35 0.7 3.5
6 2 0.5 8 9.0 3.5 0.13 4.5
7 1 1.5 8 1.7 0.8 2.3 5.5
8 2 1.5 8 3.83 1.5 3.38 7.5
9 1.5 1 6 5.68 1.35 0.9 3.5
В качестве входных координат рассматриваются три технологических фактора (п = 3): и I з, закодированные (масштабно преобразованные) по формуле ху = (г у - Су)/А у), где у = 1...3 — порядковый номер фактора; Су — среднее значение фактора в интервале варьирования; А у — модуль максимального приращения фактора относительно Су.
Для решения поставленной задачи реализован план полного трехфакторного эксперимента:
'хп х 12 х1з ^ ^ -
х21 х22 х23
х31 х32 х33
X _ х41 х42 х43
х51 х52 х53
х61 х62 х63
х71 х72 х73
Vх81 х82 х83У V - - -у
Как известно, этот план обладает хорошими статистическими свойствами: он ортогонален, ротатабелен и Б-оптимален [2]. Геометрически — это гиперкуб, охватывающий всю область определения факторов.
Восемь строк этого плана были дополнены девятым опытом в центре гиперкуба: х91 = х92 = х93 = 0. В каждом из 9 опытов фиксировались значения четырех откликов /1,/2,/3,/4 — инструментально измеренных четырех (и = 1...4) технологических свойств химически твердеющей смеси (табл. 2).
1 -1 -1
-1 1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
1 -1 1
-1 1 1
1 1 1
(3)
Выполним операцию нормирования откликов: yiu = -
fiu - minC/и)
где
Y =
(4)
тах(/«) - тт(/„)
I = 1...8; и = 1...4.
(0.176 0.148 0.016 0.Г 0.046 0.37 0.039 0.2 1 0.296 0.041 0 0.172 0 1 0.6 0.316 0.204 0.13 0.2 0.952 1 0 0.4 0 0 0.497 0.6 ч0.278 0.259 0.744 1 , В центре плана, т.е. при Х9 = (0 0 0) нормированные отклики составили: У9 = (0.519 0.204 0.176 0.2).
Матрица У в неявном виде содержит существенную информацию о связях между входными (X) и выходными (У) координатами рассматриваемого многомерного объекта.
Рассмотрим вектор-строку нормированных откликов, характеризующих свойства производственной смеси:
Ур = (ур1 ур2 ур3 ур4) = (0.544 0.528 0.016 0.015).
Рассчитаем евклидово расстояние между этим вектором и каждой из строк матрицы (4):
R = JZ (уiu - УРu)2 = (536 555 512 1314 452 733 1072 1282)-10 3.
1 V=1
Из расчета следует, что наименьшее евклидово расстояние достигается в пятой строке: R = 0.452.
Заметим, что если какие-либо две вектор-строки откликов Ya и Yb близки друг к другу, то допустимо предположение о близости породивших их векторов Xa и Xb. Иначе говоря, можно допустить, что сочетание факторов, породивших состояние Yp ближе к вектор-строке X 5 = (-1 -1 1), чем к остальным строкам матрицы Х.
Таков результат начального приближения к решению обратной задачи функционального распознавания.
Обратим внимание на то, что в нашем случае наименьшее значение R не (заметно отличается от нуля). Это говорит о том, что искомое решение (если оно существует физически) локализовано не в одной из вершин гиперкуба пространства факторов, а внутри этого пространства, либо на ограничивающих его гиперплоскостях. Однако эти точки отсутствуют в плане эксперимента.
Этот дефицит данных может быть устранен с помощью статистической процедуры Bootstrap [3, 4]. Процедуру применяют, в частности, в тех случаях, когда требуется использовать статистические особенности наблюдавшейся совокупности данных для генерирования новой совокупности гораздо большего объема.
В нашем случае речь идет о получении расширенной обучающей выборки, точки которой равномерно заполняют пространство (исходный гиперкуб) факторов Х.
Расчетные координаты Y этих точек будем определять с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.