научная статья по теме ИДЕНТИФИКАЦИЯ СВОЙСТВ НЕОДНОРОДНОЙ ЭЛЕКТРОУПРУГОЙ СРЕДЫ Математика

Текст научной статьи на тему «ИДЕНТИФИКАЦИЯ СВОЙСТВ НЕОДНОРОДНОЙ ЭЛЕКТРОУПРУГОЙ СРЕДЫ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 76. Вып. 5, 2012

УДК 539.3

© 2012 г. И. В. Богачев, А. О. Ватульян, О. В. Явруян

ИДЕНТИФИКАЦИЯ СВОЙСТВ НЕОДНОРОДНОЙ ЭЛЕКТРОУПРУГОЙ СРЕДЫ

Предлагается методика эффективного решения обратных коэффициентных задач о восстановлении законов изменения свойств неоднородной электроупругой среды в прямоугольнике. Рассмотрены два типа нагруже-ния — электрическое и механическое, позволившие сформулировать три коэффициентные обратные задачи для нахождения искомых функций. Сформулирован итерационный процесс для решения обратной задачи, на каждом шаге которого из решения системы интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода определяются поправки к неизвестным функциям относительно начальных приближений. Проведены вычислительные эксперименты по восстановлению неоднородных упругих и пьезоэлектрических характеристик.

Задачи о колебаниях электроупругих однородных тел (в том числе и задачи идентификации свойств для однородных моделей) изучены достаточно подробно [1, 2]. Модели неоднородной электроупругости на начальном этапе исследования базировались на слоистых моделях [3], однако неоднородность поляризации или располяризации, часто встречающаяся у реальных пьезоэле-ментов, требует как разработки методов исследования, так и совершенствования определения не-однородностей различного типа [4—6]. Отметим ряд работ, посвященных решению обратных задач об определении пьезомодуля, который является наиболее изменяемой характеристикой при неоднородной поляризации (располяризации) образца. Теоретические основы решения обратных задач и способы их построения для пьезоэлектрических стержней при продольной поляризации описаны рядом авторов (см., например, [7—9]). Были представлены [8, 9] способы решения обратных задач о восстановлении пьезомодуля неоднородного стержня по информации об амплитудно-частотных характеристиках тока в цепи или смещению торца стержня. Кроме того, отметим работы, в которых рассмотрены важные обратные задачи об определении граничных условий и выявлении повреждений в электроупругих телах. Так, был предложен [10] численно-аналитический метод определения осесимметричной ударной нагрузки для пьезокерамического преобразователя в форме диска.

В цикле работ [11—13] представлены разные аспекты разработки методов обнаружения повреждений в пьезоэлектрических пластинах на основе стандартной процедуры минимизации целевого функционала.

В настоящей работе в соответствии с общим подходом, изложенным [14] для линейных моделей механики сплошной среды, представлено решение обратной коэффициентной задачи для электроупругой неоднородной по толщине прямоугольной области, колебания в которой возбуждаются разностью потенциалов на электродах, нанесенных на верхнюю и нижнюю границы. Предлагаемый алгоритм основан на предварительном сведении к более простым краевым задачам относительно усредненных характеристик — механических смещений и потенциала, которые разделены относительно неизвестных функций и являются одномерными. Каждая из полученных задач решается с привлечением итерационных схем. В результате удается восстановить три характеристики электроупругой среды: два упругих модуля и пьезомодуль.

1. Постановка обратной коэффициентной задачи. Рассмотрим установившиеся колебания с частотой ю прямоугольной области £ = {х е [-1,1], х3 е [0, И]}, заполненной неоднородной электроупругой средой, поляризованной вдоль вертикальной координаты х3. Нижняя грань жестко защемлена и электродирована, на верхней электродиро-ванной границе приложены механические и электрические нагрузки.

После отделения временного множителя представим краевую задачу, описывающую колебания рассматриваемой области, в виде

2

<3у1 у + рю щ = 0, Бц = 0; у = 1,3 (1.1)

где р — плотность среды (будем считать ее постоянной), u¡ — компоненты вектора перемещения, D¡ — компоненты вектора электрической индукции.

Определяющие соотношения для поляризованной керамики представимы в форме [1]

0У = С1Уи1,1 + СузЫз,з + 013 = Стз1 = С44(ы1,з + «зд) + е15фд (1 2)

А = е15(ы1,з + «з,1) - £11ф,Ь Бз = еззЫз,з + е1з«1,1 - ЕззФ,з

где ф — функция, характеризующая потенциал электрического поля. Граничные условия на нижней и верхней границах в общем случае имеют вид

хз = 0: щ = 0, ф = 0; хз = Н: а,з = рь ф = ф0 (1.3)

на боковых гранях задан один из вариантов граничных условий:

х1 = ±1: од = 0, Б1 = 0, I = 1,з (1.4)

х1 = ±1: о1з = 0, ы1 = 0, Б1 = 0 (1.5)

Здесь Сц, С1з, Сзз, С44 — упругие характеристики, ез1, е15, езз — пьезоэлектрические модули, 8ц, Езз — характеристики диэлектрической проницаемости, которые могут быть произвольными положительными функциями координаты x3.

Обратная коэффициентная задача состоит в определении неоднородных свойств прямоугольной области по дополнительной информации о механических и электрических характеристиках, измеренных на верхней границе области хз = Н.

Отметим, что при измерении полей на боковых границах подход к решению задачи не слишком отличается от рассматриваемого варианта.

2. Сведение исходной двумерной задачи к одномерным задачам. Для упрощения решения двумерной краевой задачи сведем ее к более простой одномерной задаче, осуществив интегрирование всех соотношений по координате x1. Введем в рассмотрение функции

и у (хз) = | Ыу (х1, хз)Лх1, у = 1,з, ¥(хз) = | ф(х1, хз)^х1

и рассмотрим несколько частных типов нагружения.

Первый тип нагружения. Считаем, что p3 = ф0 = 0, а Р1(х{) — четная функция координаты x1, на боковых гранях задано условие вида (1.4). Тогда из = ¥ = 0 и после интегрирования по x1 получим следующую задачу Задача 1 (связывает функции и1(хз) и С44(хз))

(С44и1)' + рю2и1 = 0; и 1(0) = 0, С44(Н)и1(Н) = р1 (2.1)

Обратная задача состоит в определении неизвестной функции С44(хз) по дополнительной информации об интегральной характеристике поля смещения, заданной на верхней границе области:

и 1(Н, ю) = 7|(ю), ю е [ю1, ю2] (2.2)

Задача (2.1), (2.2) аналогична задаче о восстановлении неоднородных свойств упругого стержня или слоя при установившихся продольных колебаниях, которая была исследована ранее [15]; из нее восстанавливается С44(х3).

Второй тип нагружения. Считаем, что р1 = ф0 = 0, а р3(х^ — четная функция x1, на боковых гранях задано условие вида (1.5). В этом случае можно показать, что и = 0, а после интегрирования с учетом четности функций щ, Ф по координате x1 получим следующую задачу.

Задача 2 (связывает функции и(х3) = и3(х3), ^(х3) и С33(х3),е33(х3), £33(х3))

(С33и- + в33^7 + рю2и = 0, (^и- - 633^7 = 0 (23)

и (0) = ¥(0) = 0, (С33и- + в33^')|х3=к = р3, ¥(к) = 0 .

В качестве дополнительной информации будем считать, что заданы интегральные характеристики поля смещения на верхней грани

и (к, ю) = Т3(ю), И€ [юь ю2] (2.4)

Третий тип нагружения. Считаем, что р1 = р3 = 0, на боковых гранях задано условие вида (1.5). Эта постановка соответствует случаю, когда колебания возбуждаются разностью потенциалов на электродах при условии отсутствия механического воздействия. Решения этой задачи обозначим через У(х3), Ф(х3), тогда аналогично предыдущему имеем следующую ее формулировку.

Задача 3 (связывает функции У(х3), Ф(х3) и С33(х3),е33(х3), Е33(х3))

(С33Г + е33Ф')' + рю2К = 0, (в33Т -Е33Ф')' = 0 (25)

V (0) = Ф(0) = 0, {С33Г + в33Ф')|х3=к = 0, Ф(к) = ф 0 .

Неизвестные функции восстанавливаются по дополнительному условию для значений электрического тока

В3(к, ю) = _030(ю), И€ [ю1, ю2] (2.6)

Таким образом, разделение воздействий приводит к тому, что задачи оказываются развязанными и можно поэтапно определять характеристики среды.

3. Решение обратных коэффициентных задач. Задачи (2.3), (2.4) и (2.5), (2.6) имеют одинаковую структуру за исключением граничных условий и дополнительных данных и могут быть использованы для восстановления неизвестных законов изменения

С33(х3), ¿33(х3), Е33(х3).

Для решения задач введем следующие безразмерные характеристики: х3 = кх, и = ки, ^ = ^(0)у, V = ку, Ф = Ф(0)ф, С33 = С33(0)С33

«33 = ^33(0)1^33, £33 = £33(0)8 зз, к2 = рю2к2/€33(0), X2 = Е33(0)С33(0)/б323(0) ¥(0) = Ф(0) = кС33(0)/е33(0), Р3 = к~р3 /€33(0), ^ = ф 0/^(0)

Исходные обратные задачи принимают следующий вид (тильду далее опускаем). Задача 2.

2 2

(С33и' + е33у')' + к и = 0, (е33и' - X Е33у')' = 0 (3 1)

и(0) = ¥(0) = 0, С33(1)и'(1) + в33(1)¥'(1) = Р3, ¥(1) = 0 .

и(1,к) = к), ке [К1,к2]

Задача 3

(Сззv' + еззф'}' + к\ = 0, (в^' - X2Еззф'}' = 0 (32)

v(0) = ф(0) = 0, Сзз(1)v '(1) + взз(1)ф'(1) = 0, ф(1) = /

АО,к) = ^(к), ке [К1,к2]

Восстановление законов изменения характеристик электроупругой среды по данным акустического зондирования возможно с использованием описанного ранее [14, 15] метода, согласно которому исходные задачи сводятся к последовательному решению системы интегральных уравнений первого и второго рода, на основе которых могут быть построены итерационные процессы уточнения неизвестных функций с привлечением метода линеаризации.

Представим основные этапы реализации итерационного процесса. 1°. Пусть известно (п — 1)-е приближение неизвестных функций

Сзз( ) = Сзз( ) + 5Сзз, взз( ) = взз^ ) + 5взз, £зз^ ' = ' +

Тогда соответствующие решения и(п -1), v(n -1), ф(п -1), у(п -1) определяются из решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода

1

и(х) = РзЩх) - ВД(х) + к21и(ПК1(П хУп

0

1

¥(х) = РзВД + /0! 2(х) + к21 и (п)К2(п, х)йц

0

где следует положить

и = и(и_1), ¥ = /0 = 0 для задачи 2

и = у("-1), ¥ = ф("-1), Рз = 0 для задачи 3 Здесь использованы обозначения

(3.3)

Ка(п, х) = £а(шт(11, X)) + (-1)а+1/а(х)£2(11), Ла(х) = &*(*) + НГ1^); а = 1,2 I а(х) = £а+1(*)/£з(1)

х (и-1^ х («-1)/г\ х п("-1)/е\

&(х) = ^2 Ъ g2(x) = ъ gг(x) = ъ

0 А("-1)© 0 А(в-1)© 0 Л ©

а (в-1>® = (в(з-1))2 + х Мт1^-1

Построенные интегральные уравнения решаются численно методом коллокаций. 2°. Далее поправки к неизвестным функциям 5Сзз, 5взз, 5взз найдем из системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода, в которых ядра являются суммируемыми и зависят от производных функций, найденных на предыдущем этапе:

(3.4)

|[8С33(и(и-1)')2 + 28е33и(в-1)у(в-1)' - X 2Ы33(у("-1у)2]йх =

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком