Математические и инструментальные методы
экономики
Соколянский В.В., кандидат медицинских наук, доцент Прохоренкова Е.В., соискатель (Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана)
«ИГРА В ХАОС» БАРНСЛИ В РАМКАХ ТЕОРИИ ХАОСА
В статье анализируется подход Дж. М. Барнсли к хаосу, базирующегося на синтезе математической игры и фрактальной геометрии.
Ключевые слова: теория хаоса, фрактал, аттрактор, рынок, треугольник Серпинского
BARNSLEYS «GAME INTO CHAOS» WITHIN CHAOS THEORY
The chaos theory and its role in the modern science are described in the article. There have also been analyzed the G.M.Barnsley's theory about chaos, described by him means of fractal geometry and math play.
Keywords: chaos theory, fractal, attractor, market, Sierpinski's triangle
В современной литературе ряд экономических явлений рассматриваются через призму теории хаоса [2-5].
Доказано, что хаос - это наиболее высокая форма порядка, основным принципом организации которого и являются беспорядочность, ажиотаж и стимулирующее воздействие [2].
Теория хаоса подробно описана в работах Peters (1991, 1994), Deboek (1994), Chora-fas (1994).
Концепция хаоса по сути, является первой, успешно моделирующей и воспроизводящей комплексные формы и потоки турбулентности посредством строгой математической и вычислительной методологии [1].
Наиболее полно изучает и описывает явления хаоса в природе фрактальная геометрия, развитие которое связано с рядом авторов: Мандельброт, Пригожин, Барнсли [6], пришедших к выводу о том, что граница конфликтующих сил является не хаосом, а спонтанным возникновением самоорганизации на более высоком уровне познания [2].
Традиционно объектом исследования фрактальной геометрии является фрактал, структура, которая проявляется как следствие решения уравнений концепции хаоса. Каждая из них содержит в себе множество уменьшенных копий. Это означает, что в случае разделения фрактала на более мелкие структуры выполняется воспроизведение идентичной и уникальной миниатюрной копии фрактала [6].
Фундаментальное исследование в области хаоса и фрактальной геометрии было проведено Барнсли [1-6]. Трактовки теории хаоса по Барнсли сводятся к математической игре с одноименным названием «Игра в хаос». Особенность призрачной хаотической системы следующее: ее беспорядочность призрачна и, со временем в хаотической системе появляется одна и та же фигура. Она является аттрактором, в частности фракталом, но проявляется лишь при позднем моделировании. В свою очередь, аттрактор представляет собой одну или множество точек, к которым стремится динамическая система в целом.
«Игра в хаос» представляет собой графическое представление точек (х, у), которые описываются следующим матричным выражением [2]:
(х \
л+1
( а Ъ V х Л
а
V У. у
(е ^
кfJ
Изначально расположение полученных точек может казаться случайным, но к концу эксперимента, после того как мы изобразим достаточное их количество, всегда будет виден странный аттрактор, так называется треугольник Серпинского. Сама идея Барнсли была элегантной, удивительной. Так, любая точка, которую мы изобразим в будущем, то есть в момент времени .+ 1, будет иметь координаты ( хг+1 , уг+1 ). Они будут рассчитаны на основе координат ( х! , уг ), которые изображаются в момент времени .. Следует обратить внимание, что речь идет об отображении схожем с уравнением Ферхюльста.
Приведенное выше выражение преобразуется в два более привычных и возможно определить координаты точки на основе следующих преобразований:
х.+1 = ах. + ЪУ. + ^ У.+1 = сх. + аУ. + /.
Эксперимент Барнсли сводится к определению трех преобразований [2].
Преобразование 1 Преобразование 2 Преобразование 3
х.+1 = 0,5 х. + ^ У.+1 = 0,5 У. +1 хм = 0,5 х. + 50, У.+1 = 0,5 У. +1 х.+1 = 0,5 х. + 50, У.+1 = 0,5 У. + 50
Так, для произвольной начальной точки с координатами ( х, у ) путем жеребьевки определяется число 1, 2 и 3. И, если при броске кубика выпадало 1 или 2 очка, выбирается преобразование 1, если выпадало 3 или 4 очка - преобразование 2, если выпадало 5 или 6 очков - преобразование 3. С помощью соответствующих уравнений определяются координаты новой точки (х.+ 1 , у.+ 1). Путем жеребьевки выбирается новое преобразование, которое применялось к предыдущей точке для определения координат новой точки [3].
Следует обратить внимание, что в эксперименте, результатом которого является треугольник Серпинского, а и й всегда равны 0,5, Ъ и с - 0. Значение е и / , вместе с тем, изменяются для каждого преобразования. Ряд природных фракталов, например листья растений, ветки папоротника и т.д., можно получить, рассмотрев различные значения а, Ъ, с, й, е, /.
Описанная процедура, названная системой итерируемых функций, представляет собой один из наиболее интересных методов построения фракталов на компьютере. Подобный эксперимент приводит к интересному результату: многие биологические формы и структуры являются фракталами. Если, к примеру, мы применим преобразования (повороты, переносы, изменение масштаба) к точкам, представляющим клетки, то получим структуру, которая будет фракталом, изображающим, к примеру, лист растения.
Впрочем, метод Барнсли отводит случайности скромную роль инструмента. Использование его дает детерминистские и предсказуемые результаты.
Теория хаоса внесла значительный вклад в современную методологию науки. Значительные исследования теории хаоса в экономике проводил Бенуа Мандельброт и Дж.М. Барнсли [2, 6]. Мандельброт анализировал массивы архивных данных по мировым ценам на хлопок, с целью поиска общих схожих черт в поведении природы и человека. Он сделал вывод, что цены фьючерсных контрактов и акций не могут быть описаны коло-колообразной моделью. Само по себе каждое отдельное изменение цены на хлопок было величиной случайной и непредсказуемой. Но в совокупности, данная изменчивая после-
довательность показывала, что графики дневных и месячных изменений цен совпадали идеально. Невероятно, но при анализе по методу Мандельброта степень отклонения оставалась постоянной на протяжении весьма неравномерного 60-летнего периода, включавшего две мировые войны и депрессию [6].
По мнению Прохорова [5], теория хаоса является не совсем удобной областью экономических исследований. Это связано с рядом факторов, в первую очередь, непредсказуемость экономических систем. При повышении предсказуемости системы необходимо повысить точность измерения начальных данных и свести к минимуму ошибки вычисления. Но, как правило, ошибки в экономических динамических системах аккумулируются сразу и даже малейшее увеличение интервала предсказания приведет к увеличению издержек и будет экономически нецелесообразно. Во-вторых, как отмечалось выше, нет доказательств и исследований, подтверждающих хаотический характер зависимостей нелинейных экономических временных рядов.
Следовательно, проведение исследований хаотической динамики в экономическом моделировании является технически трудоемкой процедурой, не всегда целесообразной, учитывая наличие различных более перспективных вариантов анализа нелинейной динамики.
ЛИТЕРАТУРА
1. Грегори-Вильямс Д., Вильямс Билл М. «Торговый хаос 2». НК «Аналитика». - 2005, 208 с.
2. Джеймс Глейк. Хаос. Создание новой науки. - СПб.: Амфора, 2001 - 398 с.
3. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. «Новые методы хаотической динамики». - М.: Едито-риал УРСС, 2004, 320 с.
4. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории Хаоса в инвестициях и экономике.
5. Прохоров А. Нелинейная динамика и теория хаоса. - М., Квантиль, №4, март 2008
6. Mandelbrot, B. How long is the coast of Britain? The World Traesury of Phisics, Astronomy and Mathematics. Boston: Little, Brown and Company.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.