ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 1, 2015
УДК 62-50
© 2015 г. В. Л. Пасиков
ИГРОВЫЕ ЗАДАЧИ НАВЕДЕНИЯ ДЛЯ СОБСТВЕННО ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ВОЛЬТЕРРЫ
Рассматриваются игровые ситуации наведения на начало координат для управляемых объектов, эволюция которых описывается собственно линейными интегро-дифференциальными и интегральными системами Вольтер-ры. Предлагается некоторая модификация экстремальных конструкций Н.Н. Красовского при подходящем выборе пространства позиций. Приведен модельный пример.
Обычно подобные задачи рассматривались для обыкновенных дифференциальных систем, в предлагаемой работе динамика движущихся объектов описывается более сложными системами. Решение задач наведения привело к новому определению позиции игры, а это потребовало использование полной памяти по управляющим воздействиям, что значительно усложняет применение методов, развитых ранее [1—5].
1. Состояние управляемой собственно линейной интегро-дифференциальной системы.
Пусть движение конфликтно-управляемого объекта описывается интегро-дифферен-циальной системой
t
x = A(t )x(t ) + J K(t, s)x(s)ds + f (t, u(t ), u(t ) ), x(0) = x 0 (1.1)
0
Здесь x — n--мерный фазовый вектор, u e U и и e V — rx - мерный и r2 — мерный векторы управляющих воздействий (управлений) подчиненные первому и второму игрокам, Uи V — компакты в соответствующих векторных пространствах, матрица A(t) непрерывна на отрезке [0, 0], 6 > 0 — фиксированное время окончание игры, матрица K(t, s) непрерывна при 0 < s < t < 0, f(t, u, и) — n-мерная вектор-функция, непрерывная при каждом t е [0, 0] по совокупности переменных u, и, а при фиксированных u и и функция измерима по t. Все интегралы понимаются в смысле Лебега.
Известно ([6], с. 9),что система (1.1) имеет единственное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию. По известному плану доказательства ([7], теорема 27), проинтегрировав систему (1.1) в пределах от 0 до t получаем интегральное уравнение Вольтерры второго рода
t
x( t ) = J Q( t, s) x( s) ds + ф t) (1.2)
Q( t,s) = A( s) + Jk(t, s)d t , ф( t) = ¡f(s, u( s), u( s)) ds + x 0
я) — непрерывное ядро уравнения (1.2), ф(0 — абсолютно непрерывная на [0, 0] функция. Уравнение (1.2) имеет единственное абсолютно непрерывное решение при
0
S
0
фиксированных реализациях управлений u[t] и и[t] [8], а значит, исходная система (1.1) с начальным условием
x(0) = xo (1.3)
имеет единственное абсолютно непрерывное решение.
По известной схеме [7] получим решение системы (1.1) при реализовавшихся измеримых функциях u[t] и и [t], с начальным условием (1.3). Обозначим
k(t) = x(t) - A(t)x(t)
Решение
t
x(t) = X (t, 0)x0 + J X (t,s)k(s)ds (1.4)
o
обыкновенного дифференциального уравнения x = k(t) + A(t)x(t)
записанное по формуле Коши [1], где X(t, s) — матрица Коши однородной системы, подставляем в уравнение (1.1) и меняем порядок интегрирования. Получаем линейное интегральное уравнение Вольтерры второго рода относительно k(t)
t
k(t) = f (t, u(t), u(t)) + Ф(t, 0)x0 + J Ф(t, s)k(s)ds (1.5)
Ф(г, s) = J K (t, t)X (t, s)d т
5
Пусть R(t, s) — резольвента матрицы Ф(^ s), тогда суммируемое решение уравнения (1.5) запишется в виде [8]
t
k(() = f(t,и((),и(()) + Ф((,0)х0 + J R((, s) [f (s, u(s), u(s)) + Ф( 0)x0] ds (1.6)
5
Подставляя выражение (1.6) в равенство (1.4) и меняя порядок интегрирования, запишем решение системы (1.1) в следующей форме:
t t
x(t) = X (t, 0)x0 + Jx(t, s^(s, 0)dsx0 + Jx(t, s)f (s, u(s), u(s))ds (1.7)
0 0
t
x((, s) = X ((, s) + JX ((, t)R(t, s)d т
s
2. Решение игровой задачи наведения. Задача рассматривается на заданном промежутке [0,9] и плата игры определяется равенством
Y = ||х(9)|| (2.1)
(введена евклидова норма). Первый игрок распоряжается выбором управления u е U и стремится минимизировать величину (2.1) на траекториях x[t], t е [0, 9], системы (1.1), реализующихся под воздействием управления u[t], t е [0, 9], в паре с любой допусти-
s
мой реализацией и [?], ? е [0, 9], и е V, второго игрока. Допустимые реализации и[?], и [?], ?е [0, 9], предполагаются измеримыми функциями. Цель второго игрока противоположна и заключается в максимизации величины (2.1).
Считаем теперь что ?0 е [0, 9) — начало процесса управления, а на промежутке [0, ?0] уже реализовались некоторые допустимые управляющие воздействия, удовлетворяющие вложениям и е и и и е V.
Если положить, что и[?] = 0, и [?] = 0, при ? е [?0, 9), то состояние системы (1.1) в момент ? записывается согласно решению (1.7):
и, г
х(9,г) = х0(9) + |х(9,5)/(5, ф],ф])йЗ + |х(9,5)/(5, . (2.2)
0 I,
Определение 1. Пара р ={?, х(9, ?)} называется позицией игры в момент ?, ? е [?0, 9), ?0 е [0, 9); р0 = {?0, х(9, ?0)} — начальная позиция игры.
Отметим, что для вычисления позиции в каждый момент ? е [?0, 9) требуется полная память по управляющим воздействиям [5].
Определение 2. Стратегией первого (второго) игрока называется правило, которое каждой реализовавшейся позиции {?0, х(9, ?0)} ставит в соответствие компакт
Ц^, х(9, д) ^ и(^(?0, х(9, ?0)) с V)
Множества ие(р0) (Ve(p0)) предполагаются полунепрерывными сверху по включению по ? и х, причем по изменению ? справа.
Пусть функцияД?, и, и) удовлетворяет условию седловой точки в "маленькой игре" [2]
тттах//(г, и, и) = тахтт/'/(г, и, и)
и е и и е V и е V и е и
/' — некоторый и-мерный числовой вектор, штрих означает транспонирование. Введем в рассмотрение программный максимин [1]
е
Е0(г 0, х(9, г0)) = шах[/' х(9,г0) + Г ш1пшах{/' Х(9,5)}/(5, и[з], и[5])&] (2.3)
Ц/||=1 иеи ueV
Предполагается, что в правой части наибольшее значение достигается на единственном векторе l, т.е. рассматривается регулярный случай [1,2].
Определение 3. Пусть и-мерный вектор l' в каждый момент t0 е [0, 9) доставляет максимум правой части равенства (2.3). Если позицияp0 такова, что s0(t0, х(9, t0)) > 0, то с этой позицией будем сопоставлять множество Ue(t0, х(9, t0)) (Ve(t0, х(9, t0)) всех векторов ue е U(иe е V), для которых
maxxe(t0)f (t0, ue, u) = min maxxe(t0)f (t0, u, u)
ueV ueJ ueV
(minxe(t0)f (t0, u, ue) = min maxxe(t0)f (t0, u, u)), xe(t0) = l'x(9, t0)
ueJ ueJJ vzV
Такие стратегии Ue(Ve) будем называть экстремальными стратегиями первого (второго) игрока.
Далее определяем пошаговое движение [2, 3] системы (1.1) и пучок движений [2, 3] как совокупность пределов пошаговых движений. Отсюда вытекает, что систему (1.1) можно рассматривать как дифференциальное включение, а ее движение — как измеримый селектор, который существует [3].
2 Прикладная математика и механика, № 1
Теорема 1. В регулярном случае при выборе первым игроком стратегии
Ue = Ue(t, x(9, t)), t e [t0,9), t0 e [0, 9)
описываемой определением 3, ему будет гарантирован результат игры
||x(9)|| < S0(t0, x(9, t0))
при любом допустимом способе управления второго игрока. Доказательство. Вводится в рассмотрение функция
t 0 s(t,х(9, t) = l'x(<d, t0) + [maxxe(s)f(s, ue(s),u(s))ds + \xe(s)f(s, и (s),u(s))ds (2.4)
J ueV J
t0 t
Здесь
B(t0, x(Q, t0)) = ||x(9)||
в случае, когда первый игрок применяет свою экстремальную стратегию, а второй — произвольную допустимую; s(9,x(9,9)) — значение программного максимина (2.3). Дифференцируя равенство (2.4) по t, убеждаемся, что
— = maxxe(t)f(t, ue(t), u(t)) - xe(t)f(t, ue(t), u(t)) > 0
dt ueV
и, таким образом, при замене в равенстве (2.4) произвольной допустимой стратегии второго игрока на экстремальную, значение e((,x(Q,t)) может только увеличиться, т.е.
e(t0, x(9,10)) <s(9,x(9,9))
что и требовалось доказать.
Теорема 2. В регулярном случае при выборе вторым игроком стратегии
Vе = Ve(t, x(9, t)), t e [t0, 9), t0 e [0, 9)
описываемой определением 3.2, ему будет гарантирован результат игры
||x(9)|| > S0(t0, x(9, t0))
при любом допустимом способе управления первого игрока.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. Непосредственным следствием теорем 1 и 2 является теорема о существовании седловой точки в рассматриваемой игре.
Теорема 3. Если в регулярном случае игры функция f(t, u, и) удовлетворяет условию седловой точки в "маленькой игре", то экстремальные стратегии игроков U®(t, x(9, t)) и V^t, x(9, t)), t e [t0, 9), t0 e [0, 9), доставляют седловую точку в рассматриваемой игре, причем
||x(9)|| = S0(t0, x(9, t0))
3. Модельн^1й пример. Пусть движение объекта описывается системой двух одинаковых скалярных уравнений
t
z(t) = e + Jz(s)ds + u2(t) - и2(t); z = (x, y), z(0, 0) = (1, 1) (3.1)
0
Для каждого уравнения получаем
f (t, u, и) = e + u 2(t) - и2(t), A(t) = 0, K(t, s) = 1
Однородная дифференциальная система имеет вид z = 0. В качестве фундаментальной матрицы выберем Z(t) = 1 и записываем матрицу Коши
Z(t, s) = Z(t)Z _1(s) = 1, Z(t, 0) = 1
Далее вычисляем матрицу t t <S>(t, s) = J K (t, t)Z(t, s)d t = \d t = t - s, <^{t, 0) = t
s s
Ее резольвента определяется формулой ([9], с. 22) R(t, s) = sh(t — s). Отсюда следует, что
t t z(t, s) = Z((, s) + JZ((, t)R(t, s)dт = 1 + Jsh(x - s)dт = ch(t - s)
s s
Функция
y(u, и) = u2—и2, |u| < 1, |u| < 1 имеет седловую точку (0, 0) и
2 2 min u = 0, max(-u ) = 0
u^U ueV
Тогда
2 2 2 2 minmaX[u + (-u )] = maxmin[u + (-u )] = 0
u^U ueV ueV uçU
По формуле (1.8) получаем решение системы (3.1)
zW = -1 + ie,t + 1) + 3cht+J.(t-s)(u![s1-„2Mds) ,3.2,
0
Очевидно, что x(0) = 1, y(0) = 1.
Из решения (3.2) следует, что движение осуществляется по прямой y = x к началу координат от точки (1, 1).
Формулы (3.1) и (3.2) иллюстрируют приведенные теоремы.
Замечание. Аналогичные задачи могут быть решены и для управляемых систем более сложных типов: интегро-дифференциальных
t t x = q(t) + A(t)x(t) + J K (t, s)x(s)ds + J B(t, s)f (s, u(s),u(s))ds 0 0 или интегральных систем типа Вольтерры [10] t t x(t) = ф(t) + jA(t, s)x(s)ds + j"B(t, s)f(s, u(s), и(s))ds 0 0
ЛИТЕРАТУРА
1. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.
2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позицонные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
3. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация в задачах управления. М.: Наука, 1981. 287 с.
4. Осипов Ю.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.