ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 9, с. 1474-1485
УДК 519.642.8
ИНФОРМАТИВНАЯ МОЩНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ И ИХ ПРЕДЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПРИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ НА МНОГОМЕРНЫХ КЛАССАХ СОБОЛЕВА
© 2015 г. А. Ж. Жубанышева, Н. Темиргалиев
(010068Астана, ул. Мирзояна, 2, Евразийский нац. ун-т) e-mail: axaulezh@mail.ru; ntmath10@mail.ru Поступила в редакцию 03.03.2014 г. Переработанный вариант 18.02.2015 г.
В рамках компьютерного (вычислительного) поперечника полностью решена задача приближенного дифференцирования функций по неточной информации, полученной от произвольного конечного множества тригонометрических коэффициентов Фурье. Библ. 12.
Ключевые слова: приближенное дифференцирование, информативная мощность данного класса функционалов, восстановление по неточной информации, предельная погрешность, компьютерный (вычислительный) поперечник.
DOI: 10.7868/S0044466915090173
1. ВВЕДЕНИЕ
Задача восстановления по точной и по неточной информации ставится в различных постановках (см., например, [1]—[8]) и имеющуюся в них библиографию). Исходным в каждой из них является следующее определение:
5N(еN;Dn)y =5N(еN;T;F;DN)r = inf 5N (eN;(l(N),фN)) ,
где
5 n (e N ;(l <N),9N ))y = sup
f eF
|yN'| <i(t=I,....,N)
Здесь Y есть нормированное пространство числовых функций (или Y = C, если оператор Tf числовой), определенных на множестве QY, F — класс функций, оператор Tf действует из F в Y, {sN} — неотрицательная последовательность, в случае sN = 0 речь будет идти о задаче восстановления по точной информации.
В соответствии с общим взглядом на данную проблематику: "в традиционных областях математическими моделями служат функции, производные, интегралы, дифференциальные уравнения. Для использования компьютеров эти исходные модели надо приближенно заменить такими, которые описываются конечными наборами чисел с указанием конечных последовательностей действий (конечных алгоритмов) для их обработки" (см. [9, с. 5, 6]), в качестве Tf рассматриваются математические модели Tf=f — модель "функция", Tf = f (ai'"''as) — "производная", Tf=
= Г f(x)dx — "интеграл", Tf = u(y, f) — "решения уравнений в частных производных с теми или Jn
иными начальными и (или) граничными условиями f".
Далее, l(N) = (N, ..., N*) — набор функционалов (не обязательно линейных), заданных на функциональном классе F.
Алгоритм переработки информации есть, по определению, функция (N + 1)-й переменной ф№ 9N(z1, ..., zN; ') : CN х Q.y^ C, которая при любом фиксированном (z1, ..., zN) e CNкак функция от
Tf (•) - 9n (lNV) + Y (N)e n ,..., lN V) + Y N>e n ; •) I
(•) есть элемент нормированного пространства Y, причем ф^0, ..., 0; •) = 0 (что означает "по нулевой информации — нулевой алгоритм"). Включение ф^ е Y будет означать, что ф^ удовлетворяет всем перечисленным условиям, через {ф^} Y обозначим множество, составленное из всех ф^ е Y
Тем самым, алгоритм переработки информации столь же широк, сколь и понятие функции (см. статью "Функция" Н.Н. Лузина в [10]).
Замечание 1. Условие ф^0, ..., 0; •) = 0 используется в соотношениях
sup||f (х) - Ф^(ll(f),...,lN(f);х)||Y > |(x) - Фж(l\(gN),•••,In(gN);x)Y =
f
= ||gN(x) - ФN(0,...,0;x)Y = ||gN(x)|Y ,
где gN обеспечивает нужную оценку снизу. Фактически это условие можно опустить (с дополнительным требованием симметричности класса F, когда из f е F следует — f е F), оно накладывается только ради упрощения изложения (см. [8, с. 39]).
Вычислительные агрегаты (l(N), ф^ = (N , ••, N* ; фN), определяемые по паре l(N) и ф№ рассматриваются в двух видах. По точной информации: ф^N if), • •, N* (f); •) и по неточной информации:
9N(Zi,..., Zn; (l®(f) + Y®eN,..., lNN)(f) + Yn; •), - z\ <sn, |yN\ < 1 т = 1,....,N,
где sN — показатель неточности информации, числовой набор (конечная последовательность) [Zj)N-\ есть информационный шум (noisy information).
Через {(l фN )} = {(l фN )} обозначим множество, составленное из всех возможных вычислительных агрегатов, состоящих из функционалов (не обязательно линейных) l1, ..., lN, определенных на функциональном классе F (в случае линейности l — на линейной оболочке F) и алгоритмов флг из Y.
Пусть Dn = DN(F)Y — данный набор комплексов (N , ..., N* ; ф^ = (l(N), ф^.
Записи A < B и A X B соответственно означают |A| < cB и одновременное выполнение A < B и B < A. Для краткости примем, что Вычислительный агрегат (l^ \ фN) е DN поддерживает оценку снизу &N <§ 8N (0; T; F; DN)Y, если выполнены неравенства 5N (о; (l^ \ фN)) <§ ÔN.
При заданных F, Y, T, DN (фиксированных всюду по последующему контексту) в рамках приведенных обозначений и определений проблема оптимального восстановления по неточной информации — Компьютерный (вычислительный) поперечник (К(В)П) заключается в последовательном решении трех задач.
К(В)П-1. Находится порядок ><bN (0; DN) = SN (0; T; F; DN) — информативная мощность набора вычислительных агрегатов DN = DN (F)Y.
К(В)П-2. Производится построение вычислительного агрегата (l^ \) из DN = DN (F)Y, поддерживающего порядок :^5n (0; DN) , для которого исследуется задача существования и нахождения последовательности sN = êN (DN; (l N), фN)) — К(В)П-2 — предельной погрешности (соот-
„ h(N) _ V „
ветствующей вычислительному агрегату ( l , фN )) такой, что, во-первых, имеем
5n (0; dN )y ^ 5N (s N ; (/<N), ¡N )) =
= sup{||Tf ( • )-(¡N ((f),..., Zn (f);•)) : f e F, Ц (f ) - ZT(f)| <s n (t = 1,..., N )}, во-вторых, имеем
Jim 5 N (nNe N ; (l(N), 9n ))y n (0; Dn )y = V^N t +»(0 < nN < nN+1, nN ^ +»).
К(В)П-3. Устанавливается массивность предельной погрешности §N (DN; (l( , ф^)) : находится как можно большее множество DN (l( , ) (обычно связанных со структурой исходного
(l( N,фN)) вычислительных агрегатов (l(N),фN) = фN(l1(f),..., lN(f);•), построенных по всевозможным (не обязательно линейным) функционалам lb ..., lN, таких, что для каждого из них выполнено соотношение
lim 5N (^n; (l(N), 9n))v/Sn(0; Dn)y = V^nt +«(0 < ^n < ^n+i, ^n ^ +«)
В К(В)П предлагается еще одна схема исследований в численном анализе, где все известное выстроено в таком порядке, что ни один ранее известный план исследований полностью с ним не совпадает, хотя бы по частям К(В)П-2 (находится числовая последовательность sN > 0) и К(В)П-3 (по
sN находится соответствующее множество вычислительных агрегатов) в контексте установления предельных погрешностей, что в мировой математической литературе ранее не встречались. Имеются лишь частичные пересечения в большей или меньшей степени, что, разумеется, естественно, поскольку поле исследований одно и то же — численный анализ и теория приближений. При этом даже известные, в том числе задача точной оптимизации по неточной информации (см., например, [4]—[7] и имеющуюся в них библ.), в контексте К(В)П-2 воспринимаются по иному: погрешность неточной sN информации напрямую связана с К(В)П-1 посредством соотношений 5^(0) х 5N( sN), именно такое sN ищется, а не задается произвольно как в обсуждаемом первоначальном случае (см. [6], [7]).
На данном этапе, как нам представляется, можно предложить три сценария исследований в контексте К(В)П.
I. Получение неулучшаемой оценки снизу погрешности восстановления всеми вычислительными агрегатами, построенными по точной информации, снятой от всех возможных линейных функционалов, переработанной посредством всех возможных алгоритмов, Именно это является основой дальнейших исследований: строятся конкретные вычислительные агрегаты, подтверждающие полученную оценку снизу, с завершение в К(В)П-2-3.
В качестве иллюстрации степени эффективности К(В)П-исследования приведем полный ответ на вопрос, когда и как в вычислительной практике правильно использовать интерполяционные многочлены Лагранжа. В случае 1 <p, q < да, rp > 1, когда гладкость задается в шкале классов
Соболева Wp (0, 1), а погрешность восстановления функций измеряется в лебеговой метрике
Lq(0, 1). В задаче изучения аппроксимативных возможностей интерполяционных многочленов Лагранжа вырисовывается следующая картина (см. [2], где в теореме 3 надо полагать 2 < p < q < да и [11]).
При 2 < p < q < да и 1 < 1 < p < да интерполяционные многочлены Лагранжа дают наилучшее (в Lq(0, 1)) среди всех мыслимых вычислительных агрегатов (в порядковом отношении) восстановление, более того — интерполяцию, функций с ограниченной (в Lp(0, 1)) r-производной на отрез-
l(1 1 1 -r + max^ 0;---
ке [0, 1], со скоростью <§N , N = (г — 1)к, к = 1, 2, ..., если только из использовать в
сплайн-форме с базовым интерполяционным многочленом Лагранжа с г-равномерными узлами.
В оставшихся случаях 1 < р < q < 2 и 1 < р < 2 < 1 < да скорость N приближения
лагранжевыми интерполяционными сплайнами хуже наибольшей возможной скорости восстановления функций по линейной информации, которая совпадает со скоростью убывания поперечников "кодирования" функций (см. [12]) и хуже линейных поперечников (см. [13]) на сте-
- _ - - _ -
пенной множитель, равный, соответственно, N 9 и N 2.
При этом при вычислении значений и интерполируемой функции в узлах равномерной сетки
. Р 91
разрешается ошибаться на величину sN = N и не более (решение задачи К(В)П-2).
И, наконец, массовость предельной погрешности в К(В)П-3 составляют все вычислительный агрегаты флК^С/), ••, ШУ, х), определенные посредством любых линейных функционалов /1, ..., N.
J п 1 1
r + max^ 0;---
In 1 1 r + max^ 0;---
Тем самым, приходим к принципиально новому выводу, что многочлен Лагранжа необходимо использовать не глобально на всем отрезке, а локально в сплайн-форме, что можно понимать как полную реабилитацию этого вычислительного агрегата 1795 года создания, в отношении которого качественная оценка "наилучшая среди всех мыслимых" никогда не применялась.
Главный вывод. В рамках К(В)П не обязательно рассмотрение специальных поперечников и функциональных рядов, всего описанного в истории К(В)П-1, поскольку его можно понимать как оптимизацию исследований без потери основной цели. Если какой-либо вычислительный агрегат подтверждает оценку снизу, то это будет одновременно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.