научная статья по теме ИНСТАНТОН В МОДЕЛИ ДЖОРДЖИ–ГЛЭШОУ Физика

Текст научной статьи на тему «ИНСТАНТОН В МОДЕЛИ ДЖОРДЖИ–ГЛЭШОУ»

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2014, том 77, № 9, с. 1242-1246

= ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ ИНСТАНТОН В МОДЕЛИ ДЖОРДЖИ-ГЛЭШОУ

© 2014 г. Н. О. Агасян*

Институт теоретической и экспериментальной физики, Москва, Россия; Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", Москва, Россия

Поступила в редакцию 01.08.2013 г.

Изучены топологически-нетривиальные решения в модели Джорджи—Глэшоу. Показано, что ин-стантон существует как стабильная полевая конфигурация только в квантовом случае. Построено эффективное действие, на основе которого получены квантовые уравнения движения для инстантона. Получено их решение на больших и малых расстояниях. Найден критический размер, соответствующий стабильному инстантону в модели Джорджи—Глэшоу.

DOI: 10.7868/80044002714080029

1. ВВЕДЕНИЕ

Инстантон является первым явным примером непертурбативной флуктуации глюонного поля. Он был открыт в 1975 г. — см. работу Полякова и соавт. [1]. Важный шаг был сделан в классической работе 'т Хоофта [2], где автор вычислил квазиклассическую амплитуду туннелирования. Инстантоны играют существенную роль в целом ряде явлений в квантово-полевых теориях (см. книгу [3] и обзор [4]). В то же время в инстан-тонной физике в КХД существует ряд проблем. Во-первых, это инфракрасная расходимость интегралов по размеру инстантона р, что делает невозможным вычисление инстантонного вклада в некоторые физические величины, например, в вакуумный глюонный конденсат. Во-вторых, "закон площадей" для петли Вильсона нельзя объяснить в рамках модели инстантонного газа, т.е. в квазиклассическом инстантон-антиинстантонном вакууме нет конфайнмента, который ответствен за формирование адронного спектра. Решению проблемы стабилизации инстантона по его масштабу р было посвящено большое количество теоретических работ. Все они, в той или иной степени, сводятся к попыткам стабилизировать инстантонный ансамбль путем учета эффектов взаимодействия между псевдочастицами [5]. Наиболее популярной стала модель "инстантонной жидкости", феноменологически сформулированная Шуряком [6, 7]. В работе Дьяконова и Петрова [8] количественно были получены аналогичные результаты для параметров инстантонной жидкости. Однако дальнейшее развитие [9] показало, что инстантонный ансамбль не может быть стабилизирован чисто классическим взаимодействием. Таким образом, только в рамках ансамбля инстантонов и

E-mail: agasian@itep.ru

антиинстантонов отсутствует динамический механизм подавления инстантонов большого размера. Однако кроме квазиклассических инстантонов в вакууме существуют другие непертурбативные поля, которые позволяют, в частности, решить "инфракрасную проблему" инстантонов. Непер-турбативный (НП) вакуум КХД может быть параметризован набором нелокальных калибровочно-инвариантных вакуумных средних напряженности глюонного поля [10—13]. В данном подходе вакуумное среднее от вильсоновской петли на основе неабелева аналога теоремы Стокса выражается через билокальный коррелятор напряженности глюонного поля {^С^(х)Ф(х,у)Са\(у)Ф(у, х)), где Ф(х, у) — оператор параллельного переноса, и достаточно быстрое уменьшение коррелятора (коррелятор спадает по экспоненте) позволяет объяснить наблюдаемое натяжение струны. Детальное обсуждение роли высших корреляторов дано в обзоре [13]. Численные расчеты на решетке [14—17] показывают, что корреляционная длина в непертурбативном вакууме, Тд, оказывается достаточно малой, ГэВ-1. Таким образом, взаимодействие инстантона (с характерным размером ^0.3 Фм) с вакуумными полями, ответственными за конфайнмент, является сугубо нелокальным. В работах [ 18—21] был развит последовательный калибровочно-инвариантный метод вычисления эффективного действия для инстантона в НП-вакууме. Было показано, что инстантон существует как стабильная топологически-нетривиальная полевая конфигурация с характерным размером рс. Значение рс функционально определяется свойствами билокального коррелятора НП-поля {^С(х)Ф(х, у)С(у)Ф(у, х)), т.е. параметрически двумя величинами: {С2) — значением глюонно-го конденсата и "мерой его неоднородности" Тд — корреляционной длиной в конденсате. Бы-

ла найдена зависимость характерного размера инстантона от величины глюонного конденсата и корреляционной длины в НП-вакууме [20, 21]. Полученное распределение инстантонов по размерам [20, 21] хорошо согласуется с данными расчетов на решетке. Таким образом, глюонные поля, ответственные за конфайнмент, приводят к инфракрасной стабилизации инстантона в КХД.

Впервые роль инстантонов в калибровочных теориях со спонтанно нарушенной симметрией исследовал 'т Хоофт [2] в связи с возможностью несохранения барионного заряда в теории электрослабых взаимодействий Вайнберга—Салама. Ряд авторов рассматривал инстантоноподобные полевые конфигурации и их вклад в амплитуду распада протона в моделях Большого объединения SU(5) [22].

Однако в теориях с хиггсовскими полями хорошо известный метод петлевого разложения на фоне среднего поля наталкивается на препятствие — нужного решения классических уравнений движения просто не существует. Инстантону "выгодно", уменьшая свой размер р (при этом понижается классическое действие), стянуться в точечную особенность с р = 0. Поэтому стандартный квазиклассический метод не применим для расчета вкладов топологических полевых конфигураций в различные физические амплитуды.

Указанные недостатки были впервые устранены в формализме локализованных инстантонов (constrained instantons), предложенном Аффлеком [23]. Последовательная теория инстантонов в калибровочных теориях с нарушенной масштабной инвариантностью была развита в работах [24—27]. В частности, в работе [26] изучались инстантоны в модели Вайнберга—Салама.

В предлагаемой работе изучаются инстантоны в модели Джорджи—Глэшоу и показывается, как при учете квантовых эффектов в данной модели появляется хорошо определенное решение с ненулевым топологическим зарядом.

2. ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ И ИНСТАНТОН В МОДЕЛИ ДЖОРДЖИ-ГЛЭШОУ

Рассмотрим модель Джорджи—Глэшоу, т.е. SU(2)-калибровочную теорию с изотриплетом хиггсовских полей. Действие в евклидовом пространстве записывается в виде

s^<t>) = -¿г /+ (!)

16па

+ d4x[(D^)a (D^)a + V (ф)],

где Fav = dA - dvA« + eabcA^Acv — тензор напряженности калибровочного поля. Ковариантная

производная определена, как обычно: (Б^ф)а = = дцфа + еаЬсАЬ^фс. Потенциальная энергия хигг-совского поля выбрана в стандартном виде:

У(ф) = ±(фафа-о%/2)2.

Топологическая классификация калибровочных полей в этом случае совпадает с соответствующей классификацией в КХД. Можно поэтому поставить задачу о вычислении вклада топологически-нетривиальных конфигураций в различные физические величины. Обычно для этой цели применяется хорошо известный метод петлевого разложения на фоне среднего поля. Стандартный квазиклассический подход предполагает, что существует решение классических уравнений движения:

= (2) (О^Б^Т = дУ/дфа,

вблизи которого производится усреднение по квантовым флуктуациям. Если бы масштабная симметрия не была нарушена (а0 = 0), то уравнения движения (2) имели бы хорошо определенное инстан-тонное решение Ас^(х — х0, р, П), фс1(х — х0, р, П), зависящее от параметров (хо — центр инстантона, р — его масштаб, О — фаза, соответствующая изотопическому повороту).

В хиггсовской фазе, однако, решения у классических уравнений движения не существует. В этом несложно убедиться, используя простые масштабные соображения (теорема Деррика). Сделаем следующие преобразования над полями: Аа^(х) ^ ^ (1/р)А^(х/р), фа(х) ^ фа(х/р), и перейдем в действии к интегрированию по г^ = х^/р:

ад = ^ / ^длг + о)

+ р2| ф)а(Б,ф)а + р2У (ф)].

Дифференцируя это выражение по 1п р, найдем, что производная

^ = 2р2 I ^[^фГ^фГ + 2р2У(ф)\ > 0

положительна и, следовательно, инстантону выгодно, уменьшая свой размер р, стянуться в точечную особенность с р = 0. С точки зрения уравнений движения это означает отсутствие солитонного решения.

Вместе с тем можно ожидать, что учет квантовых флуктуаций приведет к тому, что среднее значение масштаба р окажется ненулевым. Хорошо известно, что в калибровочных теориях без хиггсовских полей (КХД) квантовые флуктуации

1244

АГАСЯН

"выбрасывают" р из области малых значений (инфракрасное раздувание), а взаимодействие с хигг-совским полем ведет к сжатию инстантона. Конкуренция этих явлений и приводит к существованию стабильного инстантона. Это можно продемонстрировать следующим образом.

Известно, что при рассмотрении квантовых эффектов из-за наличия ультрафиолетовых расходи-мостей возникает необходимость регуляризовать теорию. При масштабных растяжениях хц — х^/р следует соответственно изменять и радиус ультрафиолетового обрезания Ло — Лор. Это приводит к появлению дополнительных аномальных слагаемых

ЫР) = ( л 1пР) х (4)

16^а(Ло) 32п2

й Р аи +

+ р2 ! й4г[(П,ф)а(П,ф)а + р2У(ф)],

откуда находим, что стабильному инстантону отвечает рс = 0, определяемое из уравнения

дБп(р)

д 1п р

Ь

32п2

р=рс

^ й а^ Ра +

(5)

+ 2рс2

й4 г[(Б,ф)а (Б,ф)а + 2р2У (ф)]=0,

уравнения для средних полей. Для достаточно больших а0 размер стабильного инстантона оказывается малым, р ж 1/а0. В этой ситуации можно использовать однопетлевое эффективное действие и учитывать квантовые эффекты только в перенормировке заряда а (предполагается, что Л ^ а). При этом эффективный заряд необходимо варьировать при выводе квантовых уравнений. Ситуация здесь аналогична случаю малого инстантона в КХД [24]. Поле такого инстантона вблизи его центра сильное, и, кроме того, с хорошей точностью его можно считать однородным. Поэтому в главном логарифмическом приближении применимо известное выражение [28]. Вдали от центра (х2/р2 ^ 1) поле становится слабым и можно пользоваться обычным выражением для однопетлевой перенормировки а. С хорошей точностью можно использовать интерполяционную формулу, объединяющую обе асимптотики [24]:

- = + ГТ-2 V (6)

а 4п р2Л2 \ 1 + х2)

Р2 = )2.

Таким образом, квантовые уравнения для поля инстантона в модели Джорджи—Глэшоу имеют вид

4п V а

= еаЬс фЬ(Бфс,

(7)

где Ь — коэффициент функции Гелл-Манна—Лоу.

Строго говоря, необходимо

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком