ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2009, том 45, № 5, с. 700-708
УДК 551.46
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОВЕРХНОСТИ
ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ
© 2009 г. А. В. Кистович, Ю. Д. Чашечкин
Институт проблем механики РАН 119526 Москва, просп. Вернадского, 101, к. 1 E-mail: chakin@ipmnet.ru Поступила в редакцию 14.07.2008 г., после доработки 06.11.2008 г.
Система уравнений движения, описывающих распространение гравитационных волн в слое тяжелой идеальной жидкости, преобразована в новое нелинейное интегральное уравнение для возвышений свободной поверхности. В предельных случаях полученное интегральное уравнение описывает линейные и нелинейные периодические, а также известные типы уединенных волн. При этом дисперсионное уравнение возникает в результате пренебрежения возмущениями второго и более высокого порядка малости. Интегральное уравнение допускает распространение неизменных поверхностных возмущений произвольной формы, если их пространственный спектр сосредоточен вблизи малых (по сравнению с обратной амплитудой волны) значений волновых чисел. Приведены некоторые примеры решений.
ВВЕДЕНИЕ
Теоретические исследования воли на поверхности идеальной жидкости в поле силы тяжести занимают особое место в физике. Новые математические результаты позволяют глубже понять природу явления, стимулируют развитие техники инструментальных измерений волн, методов обработки и представления данных. На примере поверхностных волн впервые была продемонстрирована конструктивность аналитического описания распространения периодических возмущений [1], рассчитаны свойства линейных и некоторых типов нелинейных волн [2], введены понятия групповых и фазовых скоростей [3, 4]. Изучение геометрии взволнованной поверхности проводится как в традиционном эйлеровом [3], так и лагранжевом представлениях [5].
Начиная с середины XIX века большое внимание уделяется исследованию эффектов нелинейности, определяющих, наряду с дисперсией, форму взволнованной поверхности. Для анализа нелинейных уравнений теории волн разработаны различные приемы [6], включая эффективный метод обратной задачи теории рассеяния [7].
Развитие техники дистанционного зондирования океана дополнительно стимулировало более глубокое изучение поверхностного волнения. Одной из задач стал поиск признаков проявления процессов, происходящих в толще океана (струй течений, вихрей, волн) в картине волн, в частности, их пространственной модуляции [8, 9]. Число публикаций по теме, включающих оригинальные исследования, об-
зорные статьи [10], монографии [11] и учебники [12] непрерывно растет.
С начала XX века, наряду с локальным (дифференциальным), стало развиваться и нелокальное (интегральное) описание волновых процессов. Впервые интегральное уравнение, определяющее связь между наклоном скоростей жидких частиц и эйконалом было получено А.И. Некрасовым еще в 1921 г. в предположении о симметричности формы волны относительно вертикали, проходящей через один из гребней [13, 14]. Свойства полученного интегрального уравнения были детально изучены в ряде глубоких исследований и положены в основу доказательства существования установившихся нелинейных волн [15, 16].
В последние годы развивается новый подход к поиску решения основной задачи теории волн - определению формы взволнованной поверхности, основанный на приведении уравнений для волн на поверхности идеальной жидкости к гамильтоновой форме [17]. В его рамках построен оператор Дирихле-Неймана, ассоциированный с потенциалом скорости, показано существование бегущих периодических нелинейных волн [10]. В дальнейшем была выведена и проанализирована новая система уравнений для трехмерных волн на неровном дне, включающая явное интегральное уравнение для возвышения и уравнение для потенциала скорости на поверхности жидкости [18], показана возможность ее асимптотической редукции к уравнениям Буссинеска, Бенне-Люка и нелинейному уравнению Шредингера. Еще одно нелинейное уравнение было получено для нестационарных волн [19].
Интерес к развитию нелокального математического описания обусловлен поиском новых форм возмущений свободной поверхности, более точно соответствующих реальной картине взволнованной морской поверхности, существенно отличающейся от вида традиционных модельных функций теории линейный и нелинейных волн [20]. Все более важным становится определение условий существования волн аномально большой амплитуды (rogue или freak waves в англоязычной литературе), наносящих большой ущерб береговым сооружениям, морским платформам и судам [21].
В данной работе приводится новое интегральное уравнение для возвышений свободной поверхности тяжелой жидкости, описывающее распространение широкого класса возмущений, включающего основные типы установившихся волн.
ОПРЕДЕЛЯЮЩАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИИ
Рассматривается двумерная задача о распространении установившихся потенциальных волн в однородной идеальной несжимаемой жидкости слое глубиной Н в поле силы тяжести, которая характеризуется ускорением g. Атмосфера над свободной поверхностью покоится. Форма взволнованной поверхности среды задается функцией £(х, г), зависящей от горизонтальной координаты х и времени г. Безвихревое поле скорости V в среде при г < С(х, г) описывается двумя компонентами vx = и, ^ = ж
Система уравнений движения и граничных условий задачи в данной постановке имеет вид [22]
Щ + uu'x + wuz = - px - gZX, wt + uw'x + ww'z = ux + wZ = 0, uz - w'x = 0,
-Pz, (1)
plz=z = 0 w-uCL_Z = &
Z
w| h =0,
lz =-h
и редуцировать оставшиеся соотношения к виду
+ VZ'z = 0 Vi; + Vz Q
z = Z
= 0,
= 0 V; + VZ |z = Z = 2(P0-gZ)•
(2)
Общее свойство поверхностных волн - убывание энергии движений жидкости с глубиной - позволяет представить функцию у в виде степенного разложения по переменной г - С,
V = ЗД) + z - Z) + + T2(i)(z-Z)2 + (i)(z-Z)3+... •
(3)
Подстановка (3) в уравнение движения и граничные условия на свободной поверхности системы (2) определяет функции У^) соотношениями
= const, = ±
2 (P0- g Z)
1 + Z
2
(4)
у 1 у _ 1 с-+_! с - у _ 2цп - 1 ) > 2
=----, п > 2.
п п 1 + £ '2
Величина постоянной положена равной нулю, поскольку ее значение не влияет ни на динамику, ни на кинематику течения.
Для того чтобы определить знаки в выражениях (4) и величину постоянной р0, обратимся к предельному случаю, когда возмущения свободной поверхности £ стремятся к нулю. При этом горизонтальная компонента скорости на поверхности жидкости также должна обращаться в ноль. Поскольку на поверхности
= с ±
u = Vz + c|z = z = + с =
2 (P0- gZ)
где x, z, t - декартовы координаты и время, p - нормированное на плотность жидкости возмущение давления, порожденное поверхностной волной. Штрихом обозначены производные по переменной, указанной нижним индексом.
Рассматривается установившаяся картина возмущений, распространяющиеся со скоростью с, когда все величины - функции переменной = x - ct (скорость жидкости - u = u(i, z), w = w(i, z); давление - p = = p(i, z), возвышение свободной поверхности - Z =
= Z(i)).
Введение псевдофункции тока V, определяемой соотношениями u = с + vz, w = -vx = -V;, позволяет проинтегрировать уравнение Эйлера системы (1)
p = pq - 2(V;2 + Vz2) - gZ, p = const
1 + Zt
Z^Q
c±,j2pQ = 0,
(5)
то для выполнения условия (5) необходимо поло-
2
С
жить р0 = — и в соотношениях (4), (5) взять знак минус, так что окончательно коэффициенты у разложения (3) приобретают вид
= cFn, Fq = Q, F i = ±
с - 2g Z
Fn =
'с2 (1 + Z'2) ( n - 1 )F n - i Z ' ' + 2 (n - 1 )F'n - i Z' - F'n- 2 n ( n - 1 ) ( 1 + Z ' 2 ) ,
(6)
n > 2.
Как следует из (6), коэффициенты у выражаются в явной форме через постоянные задачи с) и форму свободной поверхности
Таким образом, система (2) свелась к уравнению Для того чтобы определить функции А(к) и В(к), Лапласа с граничным условием непротекания на дне, выражение (10) разлагается в ряд вблизи свободной
поверхности г =
¥ ^ + V« = 0 ¥ z = -h = 0
(7)
решения которого вблизи поверхности г = С должны удовлетворять условиям (3, 6).
ВЫВОД ОПРЕДЕЛЯЮЩЕГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Решение уравнения (7) в общем случае имеет вид [23]
у = а^2 + Р^г - а г2 + уЕ + 5г + £ +
+ J ekz( A+(k) cos (k 5) + B+(k) sin (k^)) dk -
0
+ J e~kz( A- (k) cos (k 5) + B_( k) sin (k £)) dk
(8)
¥ = - cz +
• sh ( k ( z + h ) ) ch(kh)
x
(10)
+ (A (k) cos (k£) + B (k) sin (k£)) dk,
¥(5,z) = - cz + Jsh(ckh((Zk+h) )[A(k)cos(k%) +
+ B (k) sin (k £)] dk +
^ch (k (z + h)).
- c + J k" - . v Л - - ' y - x
ch(kh)
x [A(k)cos(k£) + B(k)sin(k£)]dk
(z - Z) +
(11)
S( z - Z)n J-
sh (k (Z + h ))| k2
n = 2
ch(k(Z+h))In!ch(kh)
x [A(k)cos(k£) + B(k)sin(k£)]dk,
Условие ограниченности компонент скорости и = у г + с и ы = -у^ при неограниченном возрастании (или убывании) величины Е приводит к требованию а = в = 0. Исключение возможности движения жидкости как единого целого приводит к требованию у = 0, 5 = -с. Так как от значения постоянной шений £ не зависят ни кинематика, ни динамика волн, также выбирается £ = 0. В результате формула (8) упрощается
где верхнее выражение в фигурных скобках выбирается при четных значениях п, нижнее - при нечетных.
Сравнение (11) с (3) порождает набор соотно-
- c Z +
[ A (k) cos (k£) +
¥ = - cz + Jekz(A+(k)cos(k^) + B+(k)sin(k^))dk +
- 0 (9)
+ J e~kz( A-(k) cos (k 5) + B-( k) sin (k £)) dk.
0
Удовлетворение граничному условию на дне приводит к результату A_=-A+exp(-2kh), B = -B+exp(-2kh), так что выражение (9) для псевдофункции тока преобразуется к виду
-c+
Z + г sh ( k ( Z + h ) )
ц J ch(kh)
0
+ B (k) sin (k^)]dk = T0 = 0,
J k [ A (k) cos (k 5) +
0
+ B( k) sin (k5)] dk = Yj, sh (k (Z + h))] k2
(12)
J
ch(k(Z + h))Jn!ch(kh)
в котором остаются неизвестными спектральные функции А(к) и В(к).
Нормировочный коэффициент еИ(кН) специально введен в подынтегральное выражение (10) для обеспечения ограниченности результатов при одновременном предельном переходе г —0, Н —► ^ (бесконечно малые волны на поверхности бесконечно глубокой жидкости) [15].
x [A(k)cos(k5) + B(k)sin(k^)]dk = Yn
Суммирование соотношений (12) с весовыми ко
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.