научная статья по теме ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ В СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧЕ ТЕРМОУПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА. ПРИМЕНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ КОМПОЗИТОВ Математика

Текст научной статьи на тему «ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ В СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧЕ ТЕРМОУПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА. ПРИМЕНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ КОМПОЗИТОВ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 78. Вып. 2, 2014

УДК 539.319:536.21

© 2014 г. В. И. Горбачев

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ В СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧЕ ТЕРМОУПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА.

ПРИМЕНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ КОМПОЗИТОВ

Рассматривается связанная нестационарная задача термоупругости для неоднородного тела, описываемая системой из четырех дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных с переменными по координатам коэффициентами. Наряду с этой исходной задачей рассматривается такая же задача для однородного тела той же формы (сопутствующая задача). Получены интегральные формулы, позволяющие выразить перемещения и температуру в исходной задаче через перемещения и температуру в сопутствующей задаче. Интегральные формулы используются для представления решения исходной задачи в виде рядов по всевозможным производным от решения сопутствующей задачи. Записана система рекуррентных задач для коэффициентов этих рядов. Найдены выражения для коэффициентов сопутствующей задачи (эффективные коэффициенты) и приведены постановки специальных краевых задач, из решения которых находятся конкретные выражения для эффективных коэффициентов термоупругости. Доказана теорема о том, что эффективные коэффициенты удовлетворяют физико-механическим ограничениям, накладываемым на термоупругие константы реальных тел. Рассмотрен случай неоднородного по толщине слоя, и для него получены явные аналитические выражения всех эффективных коэффициентов термоупругости. Подробно рассмотрен случай периодической зависимости коэффициентов термоупругости от координат.

Основы термоупругости однородных изотропных тел и решения многих классических задач изложены в книгах [1—4]. Рассмотрены задачи термоупругости для тел с непрерывной неоднородностью и для кусочно-однородных тел [5]. Н.С. Бахваловым [6—8] был предложен асимптотический метод осреднения для уравнений с периодическими коэффициентами, позволяющий в некоторых случаях получать точные решения, пригодные и в случае непериодической зависимости коэффициентов от координат [9, 10]. Проводилось осреднение связанной нестационарной задачи термоупругости для регулярных композитов [11—14].

Интегральные представления впервые применялись [15—17] для осреднения статической и динамической задач неоднородной упругости.

1. Постановка связанной задачи термоупругости. Система связанных динамических уравнений линейной термоупругости для неоднородного анизотропного тела [1, 2, 4] состоит из уравнений движения

° I], ] + х = Р и г

(1.1)

соотношений Дюгамеля—Неймана

(1.2)

соотношений Коши для деформаций

1

2

&тп ^тпрдЩр, д п (ит, п + ип, т) (1.3)

Здесь ит — компоненты вектора перемещения точки тела, Етп — компоненты тензора малых деформаций, а у — компоненты тензора напряжений, Сутп — компоненты изотермического тензора модулей упругости, ву — компоненты изотермического тензора тепловых напряжений, 9 = Т(х, ?) — Т0 — разность температур текущего и начального состояний (отклонение от начального состояния), р — плотность материала, Х(х1, х2, х3, ?) — компоненты вектора объемных нагрузок.

Тепловая часть уравнений термоупругости состоит из уравнения баланса энтропии

ТБ = - #. + ъ (1.4)

закона теплопроводности Фурье для медленных термодинамических процессов

= -\ijTj = -\nfij (1.5) и из выражения для энтропии при |9/Т0| 1

Б = вцЦ + С | (1.6)

Т0

где q¡ — компоненты вектора плотности теплового потока, ^(хъ х2, х3, ^ — плотность объемных источников или стоков тепла, Т — текущая температура в точке тела, — плотность энтропии, коэффициенты Ху образуют симметричный тензор второго ранга, называемый тензором теплопроводности, через Се обозначена удельная теплоемкость при постоянной деформации.

В уравнения (1.1)—(1.6) входят пять типов термомеханических характеристик материала С щ, ву, Ху, р, Се. В общем случае анизотропии их 35 штук и все они предполагаются интегрируемыми функциями координат х1, х2, х3.

Уравнения (1.1)—(1.6) можно записать в виде связанной системы линейных уравнений термоупругости относительно компонент вектора перемещений и отклонения температуры от начального значения ([4] с. 76)

(СЦтпЩш, п - Ру&Ь - РЩ. + Х1 = 0

. ' (1.7)

- СЕд - ТоР,",3 + ъ = 0

Для выделения единственного решения системы уравнений (1.7) нужно добавить граничные и начальные условия для искомых величин и¡(х, ?), 9(х, например, граничные условия

х еЕ: щ(х, г) = и0(х, г), д(х, г) = (х, г) (1.8)

и начальные условия

г = Щ (х, г) = (х), и.(х, г) = gi(x), д(х, г) = к(х) (1.9)

Задачу (1.7)—(1.9) для неоднородного тела будем называть исходной задачей.

Сопутствующая задача. В случае постоянных коэффициентов термоупругости вместо уравнений (1.7) имеем

С\тпит, п/ - - Р°<Л + Х1 = 0 , - С° у - Т° р ° Ьи + Ъ = 0 (1.10)

где и и у = Т°(х, ?) — Т0 — перемещения и относительная разность температур в однородном теле при тех же входных данных, что и в исходной задаче, т.е. кроме одинаковых объемных сил и источников тепла в задаче для однородного тела совпадают также граничные и начальные условия

х еЕ: и(х, %) = и°(х, %), у(х, %) = &°(х, %) (1.11)

% = и(х, %) = ^(х), щ(х, %) = Е(х), у(х, %) = Н(х) (1.12)

Задачу для тела той же формы и с теми же входными данными, что и в исходной задаче, но из материала с постоянными механическими характеристиками будем называть сопутствующей задачей.

2. Вывод интегральных представлений для перемещений и температуры в неоднородном теле. Введем функции и(х, ?) и ©(х, ?), определенные в области V, занятой телом, непрерывные и обладающие необходимым количеством непрерывных производных по своим переменным. Кроме этого, потребуем, чтобы

и(х, %)|х = у= 0, и(х, %)I = ° = 0, Щх, %)I = ° = 0

®(х, %)\х = уе2 = °, 0(х, %)\% = ° = ° .

Эти функции потребуются для вывода интегральных формул, по которым решение исходной связанной задачи представляется через решение сопутствующей задачи.

Преобразование интегрального тождества, основанного на уравнениях движения. В первом уравнении системы (1.7) произведем замену ? на т, умножим на Щх, ? — т), проинтегрируем по объему тела, а также по т от 0 до Получим % %

Ц[С/тп(х)итг п(х, т—(х, % - т)dVxdт - Ц[Р/(х)д(х, т)]/Щх, % - т)dVxdт -

° V ° V

% %

- Цр(х)й(х, т) Щх, % - т)dVxdт + т) и(х, % - т)dVxdт = ° (2.2)

° V ° V

Преобразуем интегралы в этом тождестве с целью заменить исходные функции иI и 9 на функции ц и у сопутствующей задачи. Опуская подробности несложных, но

довольно громоздких выкладок, приведем результат % %

Ц[(С/тпи,/),п - ри](йт - От)dVxdT + ||Руи,/(& - у)dVxdт =

° V ° V

% %

= Ц[С/тп(х) - С°/тп] и- ищ ^I + Ц[р(х) - р°УЬ^^т -

° V ° V

%

- Ц[Р/(х) - Р°] и,-иdVxdт (2.3)

Преобразование интегрального тождества, основанного на уравнении теплопроводности. Во втором уравнении системы (1.7), точно так же как это было сделано в предыдущем случае, произведем замену t на т, умножим на ©(х, t — т), проинтегрируем по объему тела и по т от 0 до t. Получим после преобразований

г

), - СЕ0](3 - у)dVxdт + То Ц(Р,0),(щ - о,)dVxdт

о V о V

г

= - 4]0,у,^т + То ЦЩх) - Р,]0,^т +

о V о V

г

+

о V

Ц[СЕ(х) - Со]0уdVxdx

о V

Вычтем это равенство из равенства (2.3), получим

г

{{[(С,тпЦ 1 ) „ - рит - То(Рт,0),](ит - ит)dVxdт -

г

г

Ц|(Л,®,-), - Се® - ви, I (3 - у)dVxdт =

о V г

о V

= Ц[С,тп(х) - Со,тп] ииОт, ndVxdТ + Ц[р(х) - ро] и/О^Т ■

о V о V

г г

- 4)0,У^Т - Ц[Се(х) - С°]®ууdVxdт -

о V о V

г

- Ц[Р,(х) - Р,](и,,у + То® Ьи ,)dVxdт (2.4)

о V

Тензоры и функции Грина связанной задачи термоупругости. Функции Ц(х, 0 и ©(х, 0 удовлетворяют однородным начальным и граничным условиям (2.1), в остальном они произвольные. Ограничим теперь произвол этих функций, подчинив их уравнениям, левая часть которых выделена чертой снизу в формуле (2.4). Правую часть нужных в дальнейшем уравнений будем выбирать двумя разными способами. В первом случае в формуле (2.4) положим

(С,тпЧ,)п - Р &т - То(Рт,0) , = -5т*5(х - - Т)

(X,0,), - Се(0 - Р^,, = о .

Решением системы уравнений (2.5) будут функции и(к) (х , г - т) и ©(к)(х, г — т), где Ътк - дельта Кронекера [18], а 8(г — т) и 8(х — — дельта-функции Дирака [19], причем

5(х - £) = 5(х: - ^)5(х2 - ^)5(хз - ^)

В соответствии с условиями (2.1), решение уравнений (2.5) удовлетворяет однородным граничным и начальным условиям

ик(хЛ г)\хе2 = °, и?"(хХ %)\% = ° = °, ик)(хЛ %)\% = ° = ° (2б)

0(к) (хД, %)\х е2 = °, 0(к) (хД, %)= ° = ° .

Во втором случае положим (С/тп и,/),п - Р ит - ЗД/))/ = °

(^■0,)- - СЕ0 - ви- = -5(х - £,)5(% - т) .

Решением этой системы уравнений являются функции Щх, г — т) и ©(х, 1 — т), удовлетворяющие нулевым граничным и начальным условиям

Ц(хЛ %)|хе2 = °, и(х, %)\% = ° = °, и-(хЛ щ% = ° = ° (28)

0(х, Щ х е2 = °, 01% = ° = ° .

Функции ик) (х, г - т), ©(к)(х, г - т) и Щх, 1 - т), ©(х, г - т), по сути дела, являются тензорами Грина связанной краевой задачи термоупругости. Они удовлетворяют связанным уравнениям (2.5) и (2.7) и однородным граничным и начальным условиям. Используя равенство (2.4), с помощью уравнений (2.5), (2.7) можно сразу выписать представляющие интерес интегральные представления

йк(х, %) = и>к(х, %) -%

- Ц[С/тп(^) - С°/тп] и/(х, % - т) ^ п(£, т)dV(dт -

° V %

- Ц[р(^) - Р°] ик(х, % - т) ад, т)dVi.dт +

° V %

+ Ц^-Д) - 4]0 (к) (х, % - т) dVi;dт +

° V %

+ Ц[С(£) - С°]0(к)(х, % - т)у (£, т)dViddт +

° V %

+ ДОР/^) - в°][ и- (х, % - т)у(£, т) + Т° 0(к) (х, % - т) т)] dVd (2.9)

° V

$(х, %) = у(х, %) - ... (2.10)

Многоточием обозначены слагаемые, аналогичные соответствующим слагаемым в представлении (2.9) при замене и^ , ©(к) на Ц, ©.

Заметим, что при выводе интегральных формул (2.9) и (2.10) использовались граничные и начальные условия исходной задачи. Однако в этих формулах входные данные явно не присутствуют, поэтому они остаются справедливы и при других граничных и начальных условиях.

3. Представление решения нестационарной динамической задачи термоупругости в виде рядов по производным от решения сопутствующей задачи. Предположим далее, что функции и и у бесконечно дифференцируемы по всем переменным и раскладываются в ряды Тейлора по времени и координатам:

л (£,т) = £

——

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»