ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 5, 2014
УДК 531.36
© 2014 г. В. С. Асланов
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СЛУЧАИ ЗАДАЧИ О СВОБОДНОМ ДВИЖЕНИИ ГИРОСТАТА
Рассматривается свободное пространственное движение гиростата, который представляет собой тело-носитель с трехосным эллипсоидом инерции и осесимметричный ротор. Тела имеют общую ось вращения, совпадающую с одной из главных осей инерции носителя. В переменных Андуайе— Депри уравнения движения сводятся к системе с одной степенью свободы. Найдены стационарные решения этой системы, проанализирована их устойчивость. Исследованы случаи, когда продольный момент инерции носителя больше наибольшего из поперечных моментов инерции системы тел, — меньше наименьшего или принадлежит диапазону, составленному из указанных моментов инерции. Для каждого случая получены общие аналитические решения, описывающие движение на сепаратрисах и в областях, отвечающих колебаниям и вращению на фазовом портрете. Результаты можно трактовать как некоторое развитие случая Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки, когда добавляется одна степень свободы — относительное вращение тел.
Изучению динамики гиростата посвящено большое количество работ (например, [1—3]), имеется подробный анализ этой проблемы [2], описана эволюция вращения спутника-гиростата при раскручивании ротора [3]. Для свободного гиростата, состоящего из осесимметричного ротора и несимметричной платформы, получены аналитические решения для проекций вектора угловой скорости при отсутствии внутреннего момента [4]. В предлагаемой работе по сравнению с классическим случаем добавляется одна степень свободы — относительное вращение тел. Результаты могут быть полезны при исследовании движения спутника с двойным вращением, а также при изучении хаотических процессов при движении гиростата [5—7].
1. Гамильтониан и канонические уравнения. Будем рассматривать гиростат как систему двух тел с общей осью вращения: тело-носитель, имеющее трехосный эллипсоид инерции (A > B, C), и ротор, динамически симметричный (Ar = Br, Cr) относительно оси, совпадающей с главной осью инерции тела-носителя. Неподвижная точка O находится на общей оси вращения тел, с которой совпадают оси Oz и Ozr связанных с телами систем координат Oxyz и Oxryrz^r. Координата 5 представляет собой угол поворота ротора относительно носителя. Угловая скорость ротора в системе координат Oxyz имеет вид
pr = p cos 8 + q sin 8, qr = q cos 8 - p sin 8, rr = r + 8
где 5 — угол поворота ротора относительно носителя, p, q, r — проекции угловой скорости тела-носителя на оси системы координат Oxyz.
Кинетическая энергия и вектор кинетического момента в системе Oxyz, орты которой i, j, k, определяются выражениями
T = i[Ap2 + Bq2 + Cr2 + Ar(p2 + q2) + Cr (r + 5)2] (1.1)
K = (A + Ar) pi + (B + Ar )q j + [Cr + Cr (5 + r)]k (1.2)
При анализе канонических уравнений будем использовать переменные Андуайе— Депри: l, g, h, L, G, H. Выражения для компонент кинетического момента через переменные Депри имеют вид [8]
Kx = V G2 - lL sin l, Ky =4or—L} cos l, Kz = L (1.3)
Сопоставляя компоненты кинетического момента из соотношений (1.2), (1.3) и используя выражение для кинетической энергии (1.1) для свободного гиростата, запишем гамильтониан системы
H - T - G2 - L i sin2 l + cos2 l | + 1
0 - - - 1 iy By J 2
4! + (L-42
Cr C
4-dT - Cr (r + 8) (1.4)
do
где A — обобщенный импульс, Aj = A + Ar, B£ = B + Ar — суммарные поперечные моменты инерции гиростата с осесимметричным ротором. При A = 0, Cr = 0 гамильтониан (1.4) совпадает с гамильтонианом в случае Эйлера — Пуассона [9]. Перепишем гамильтониан (1.4) следующим образом:
Ho (l, L) = H! (l, L) + ^+ C) = const (1.5)
H1 (l, L) = -^[(G2 - L2)(a + b + (b - a)cos 2l) + 2L2 - 4AL] = h1 = const (1.6)
a = C/As, b = C/B2 (b > a) (1.7)
Координаты g, h, 8 — циклические, а соответствующие им импульсы G, H, А — постоянные величины. Для позиционной координаты l и импульса L канонические уравнения в силу соотношений (1.5) и (1.6) после введения безразмерного времени и безразмерных импульсов
т = Gt/C, 5 = L/G, d = A/G
запишутся следующим образом:
dl = Hs = s - d -15 (a + b + (b - a)cos2l) (1.8)
d t 2
— = -Hl = 1(b - a)(l - s2)sin 2l (1.9)
d t 2
Уравнениям (1.8) и (1.9) отвечает безразмерный гамильтониан
H (l, s) = 1 (a + b + (b - a) cos 2l) (l - s2) +1 s2 - sd = h = const (1.10)
Разрешая уравнение (1.10) относительно cos 2l, получим уравнение фазовой траектории
, (a + b - 2) s2 + 4ds + 4h - a - b _
cos2l = i-'-----(1.11)
(1 - s2) (b - a)
2. Стационарные решения и их устойчивость. Для получения стационарных решений приравняем нулю правые части равенств (1.8) и (1.9). Таких решений четыре:
1) 008 2/* = 1, 5* = —— (2.1)
1 - Ь
2) 0082/* =-1, 5* = ( (2.2)
1 - а
3) и 4) 008 2/* = 2 - а - Ь + 2(, 5* = ± 1 (2.3)
Ь - а
Третье стационарное решение (верхние знаки плюс и минус) отвечает случаю, когда собственная ось вращения тел совпадает с кинетическим моментом и безразмерный импульс равен одному из предельных значений. Согласно четвертому стационарному решению (нижние знаки плюс и минус) собственная ось вращения тел направлена противоположно вектору кинетического момента. Для осесимметричного носителя (А = В ^ Ь - а = 0) решения (2.3) не существуют. Будем рассматривать следующий диапазон изменения позиционной координаты: / е [-я,я].
Выполняя стандартную процедуру линеаризации [10] уравнений (2.1) и (2.2) в окрестности стационарных положений по /* - /, 5* - 5, запишем характеристическое уравнение линейной системы
Н5/ - Х Н55
-Н// -Н/5 - X
= 0 (2.4)
Входящие в определитель вторые производные берутся при значениях переменных, отвечающих стационарному режиму (/*, 5*). Необходимым условиям устойчивости отвечают чисто мнимые корни этого уравнения. Если среди корней уравнения (2.4) есть корни с ненулевой действительной частью, то стационарное движение неустойчиво.
Для первых двух стационарных решений ((2.1) и (2.2)) характеристическое уравнение (2.4) в силу соотношения (1.10) имеет вид
X2 -1 (Ь - а)(1 - 5*) (2 - а - Ь - (Ь - а)со8 2/*)со8 2/* = 0 (2.5)
Для стационарного положения (2.1) характеристическое уравнение (2.5) можно записать следующим образом:
X2 - (Ь - а)(1 - Ь)(1 - 5*) = 0
Очевидно, что положение (2.1)
устойчиво, если Ь > 1 (С > В2), и неустойчиво, если Ь < 1 (С < В2) (2.6)
Аналогично для случая (2.2) характеристическое уравнение (2.5) примет вид
X2 - (Ь - а)(а -1)(1 - 5*) = 0
Стационарное решение (2.2)
устойчиво, если а < 1 (С < А2), и неустойчиво, если а > 1 (С > А2) (2.7)
Таким образом, положения равновесия /* — -п,0, п устойчивы (неустойчивы), если осевой момент инерции носителя C больше (меньше) суммы меньшего из поперечных моментов инерции носителя и поперечного момента инерции ротора: Вх = В + Аг. Положения равновесия /* = -п/2, п/2 устойчивы (неустойчивы), если осевой момент
инерции носителя С меньше (больше) суммы большего из поперечных моментов инерции носителя и поперечного момента инерции ротора: А = А + А.
Для третьего и четвертого стационарных решений (2.3) характеристическое уравнение (2.5) запишется следующим образом:
X2 - (Ь - а)2(1 - соб2 2/*) = 0 (2.8)
Оно не имеет мнимых корней, откуда следует, что третье и четвертое стационарные решения (2.3) неустойчивы.
3. Бифуркационная диаграмма. Будем считать, что
й = Сг(г +5)/0 > 0, А > В,С А > В2, С)
Стационарным решениям (2.1)—(2.3) и условиям их устойчивости и неустойчивости (2.6), (2.7) отвечают три области на бифуркационной диаграмме (фиг. 1)
1) А2 < С (1 < а < Ь): центр /с = -п, 0, п, ,9с = й/ (1 - Ь) < 0 (3.1)
седло /5 = -п/2, я/2, ^ = й/ (1 - а) < 0 (3.2)
2) С < В2 (а < Ь < 1) : седло /5 = -п, 0, п, ^ = й/ (1 - Ь) > 0 (3.3)
центр /с = -п/2, п/2, ъс = й/ (1 - а) > 0 (3.4)
3) В2 < С < Ае (а < 1 < Ь) центр /с = -п, 0, п, 5с = й/ (1 - Ь) < 0 (3.5)
центр /с = -п/2, я/2, ,9с = й/ (1 - а) > 0 (3.6)
, ,1 2 - а - Ь + 2й , седла /в = +-агссоБ-, = -1 2 Ь - а (3.7)
, ,1 2 - а - Ь - 2й , седла /в = + -агссоБ-, = 1 2 Ь - а (3.8)
в — седло, о — центр
Фиг. 2
Индексами c и 5 обозначены особые точки типа центр и седло соответственно.
На фиг. 2 изображены фазовые траектории маятникового типа для областей 1—3 бифуркационной диаграммы (они симметричны относительно оси l = 0 ), вычисленные при следующих общих значениях параметров системы:
ЛЕ = 2.0 кгм2, BE = 1.6 кгм2, d = 0.01 и разных значениях параметра С:
1) C = 2.2 кгм2 (lc = -я,0,я, sc = -0.0267; ls = -я/2,я/2, ss = -0.1)
2) C = 1.4 кгм2 (ls = -я,0, я, ss = 0.08; lc = -я/2, я/2, sc = 0.033)
3) C = 1.8 кгм2 (lc = -я,0,я, sc = -0.08; lc = -я/2,я/2, sc = 0.1;
ls =±0.886, ±2.457, ss = ±1)
Отметим, что на фазовом портрете имеется два разных центра: (3.5) и (3.6). Колебательные области отделяются от области вращательных движений сепаратрисами. Для центра (3.5) сепаратриса содержит два седла (3.7), а для центра (3.6) — два седла (3.8). В фазовом пространстве, ограниченном этими сепаратрисами, наблюдаются непрерывные движения с поочередной сменой знака импульса 5.
4. Приведение к квадратуре. Исключив координату l в уравнении (1.9) с помощью формулы (1.11), имеем
ds/d %=±4Щ (4.1)
F(s) = -4fa(s)fb(s), fy(s) = 2(1 -у)s2 -ds + 2-h, y = a,b (4.2)
Разделяя переменные в уравнении (4.1), получим интеграл
т = ±Г & + c0nst (4.3)
VF(S)
В общем случае он относится к классу эллиптических интегралов. Преобразование этого интеграла к нормальной форме Лежандра [11] зависит от вида и расположения корней полинома четвертой степени (4.2), представимого в виде произведения двух полиномов второй степени.
Представим корни этих полиномов в виде
^2(к) = (й -У); Ч® = й2 + (2Й -У)(1 -у), у = а,Ь (.4)
Обратим внимание на постоянную h, определяющую величину гамильтониана (1.10). Покажем, что если на фазовых портретах (фиг. 2) центры располагаются в точках /с = -п,0, п (в точках /с = -я/2, я/2), то гамильтониан (1.10) имеет в этих точках максимум (минимум). Первые производные гамильтониана по переменным ^ s в стационарных точках равны нулю в силу их определения. Характеристическое уравнение квадратичной формы,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.