ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 74. Вып. 6, 2010
УДК 539.3
© 2010 г. В. В. Сильвестров, А. В. Смирнов
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРАНДТЛЯ И КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КУСОЧНО-ОДНОРОДНОЙ ПЛАСТИНЫ
Рассматривается неоднородное сингулярное интегро-дифференциальное уравнение Прандтля на числовой оси с коэффициентом, принимающим разные комплексные значения на положительной и отрицательной полуосях. К этому уравнению сводится задача подкрепления кусочно-однородной упругой пластины двумя полубесконечными стрингерами разной жесткости, присоединенными к пластине жестко вдоль линии раздела материалов. С помощью интегрального преобразования Меллина уравнение Прандтля сводится к системе разностных уравнений с периодическими коэффициентами, периоды которых вдвое выше разности уравнений. Эта система посредством "специальной" диагонализации ее матрицы и конформного отображения сводится сначала к матричной краевой задаче Ри-мана с матрицей-коэффициентом подстановочного типа, а затем — к скалярной краевой задаче Римана на двулистной римановой поверхности, решение которой строится явно в квадратурах. Решение уравнения Прандтля находится через решение задачи Римана с помощью обратного преобразования Меллина.
Сингулярное интегро-дифференциальное уравнение Прандтля в связи с его многочисленными приложениям было предметом исследований многих ученых в прошлом столетии. К нему сводятся контактные задачи теории пластин и оболочек, связанные с усилением их тонкими упругими накладками (стрингерами), задачи теории упругости для тел с тонкими прослойками [1—3], задачи гидромеханики [4]. Методы решения этого уравнения во многом зависят от промежутка, на котором оно задается. Точное аналитическое решение однородного уравнения на луче было получено [5] с помощью интегральных преобразований Меллина и Лапласа. Было построено [6] аналитическое решение неоднородного уравнения на луче путем сведения его к краевой задаче Римана посредством интегрального преобразования Фурье. Решение уравнения Прандтля на отрезке можно найти путем сведения его к интегральному уравнению Фредгольма второго рода посредством аналитического продолжения интегральной части уравнения с отрезка в комплексную плоскость [7] или посредством регуляризации уравнения методом Карлема-на—Векуа [1—3, 8], а также путем сведения уравнения к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, как правило, вполне регулярной, посредством разложения искомого решения в ряды по ортогональным системам многочленов Чебышева, Якоби и Лагранжа [1, 3, 9—11]. В основном изучалось уравнение Прандтля с постоянным коэффициентом и сингулярным ядром Коши (t — x) 1. С помощью преобразования Фурье исследовались уравнения с переменным коэффициентом [2] путем сведения к уравнению Фредгольма и с ядром ctg п (t - x)/2 [12] путем сведения к матричной краевой задаче Римана. Имеется подробный обзор результатов, полученных до 1986 г. по уравнению Прандтля на луче и отрезке, а также по его приложениям к контактным задачам теории упругости [1—3].
1. Уравнение и класс его решений. На числовой оси Ш = (-ад, +ад) требуется найти комплекснозначную функцию f(x) по следующим условиям:
а) f(x) непрерывно-дифференцируема на R\{0} и удовлетворяет там интегро-диф-ференциальному уравнению
+да
f(x) - a(x) f = b(x), x e R\{0} (1.1)
n t - x
—да
где a(x) = ai при x > 0, a(x) = ^ при x < 0 (ah a2 — заданные ненулевые комплексные постоянные) и b(x) — заданная комплекснозначная непрерывная функция на R\{0}, ограниченная в окрестности нуля и убывающая при x ^ ±ю не медленнее, чем |x| 1;
б) производная f' (x) удовлетворяет в окрестностях нуля и бесконечности асимптотическим условиям
f (x) = O(|x|-ai), x ^ 0; f'(x) = O(|x|-a2), x ^ ±ю (1.2)
с некоторыми показателями al; a2 (0 < al < 1, a2 > al + 1).
На поведение самой функции f(x) в окрестностях нуля и бесконечности никакие дополнительные условия не накладываются, и в этом нет надобности, ибо они однозначно определяются равенствами
+да x
fx) = - J f '(t)dt, x > 0; f(x) = J f \t)dt, x < 0 (1.3)
x -да
и условиями (1.2), в силу которых f(x) = O(|x|l-a2) при x ^ , и в точке x = 0 имеет конечные пределы слева и справа.
Уравнение (1.1) в развернутой форме имеет вид
+да +да
f(x) - a ff(t)dt = b(x), x e (0, + »); f(x) -ff '(t)dt = b(x), x e (-»,0) (1.4) л J t - x t - x
—да —да
Отсюда, в частности, видно, что если одна из постоянных al, a2 равна нулю, то имеем уже изученное уравнение Прандтля на луче [1, 2, 13]. Например, если a2 = 0, то f(x) = b(x) при x < 0, и при x > 0 имеем уравнение
+да 0
fx) - 01 Г AM = b(x) + Ol г x e (0, + «)
л J t - x л J t - x
0 -да
2. Система разностных уравнений. На луче x > 0 введем новые функции
fi(x) = f(x), f2(x) = -f(-x), x > 0 (2.1)
Тогда из уравнений (1.4) получим равносильную им систему интегро-дифференциаль-ных уравнений
+<да +<да
fi(x) - a ff l( ) + ai г ЯМ = b(x), x e (0
n J t - x n t + x
0 0 (2.2)
f2(x) + a2 Г BML - a2 Г ß№. = -b(-x), x e (0, + «)
-TT*' / _l_ "V TT » / _ л-
n t + x t - x
0 0
в классе функций /1(х),/2(х), непрерывно-дифференцируемых на луче (0, + да) и удовлетворяющих при х ^ 0, х ^ тем же условиям (1.2), что и функция /(х). Чтобы получить первое уравнение (2.2), надо в первом уравнении (1.4) разбить интеграл по прямой (-да, + да) на интегралы по лучам (-да, 0), (0, + да) и в интеграле по первому лучу заменить переменную интегрирования t на -1. Аналогично надо поступить и со вторым уравнением (1.4), заменив в нем предварительно еще х на - х и умножив на —1.
Рассмотрим преобразования (образы) Меллина производных неизвестных функций /¿(х) и правых частей уравнений (2.2)
+да
Ы') = I /к(х) х'-1 йх, к = 1,2
s) = J b(x) xs 1 dx, B2(s) = - J b(-x) xs 1 dx
Так как функции b(x), - b(-x) в окрестности нуля ограничены и при x ^ убывают
не медленнее | x| 1, то [14] их образы B1(s), B2(s) как функции комплексной переменной s = а + iт являются аналитическими по меньшей мере в полосе 0 < Re s < 1 и, как функции действительной переменной т принадлежат классу L (-да, + да) равномерно
относительно а из любого отрезка [а1, а2] с (0,1):
+да
J\Bk(a + ;т)|dx< M, Voe [а1,a2], M = const > 0, k = 1,2
—да
Аналогично, образы Меллина Fk(s) производных fk(x) должны быть аналитическими функциями в полосе a1 < Re s < a2 и удовлетворять условиям
+да
f \Fk(c + ;т)|dx < M, Voe [a1', аЦ
J (2.3)
-да ^ 7
[а", а 2' с (а1, а2), M = const > 0, k = 1,2 откуда, в частности, следует исчезновение функций Fk(s) на концах упомянутой полосы. Обратно [14], если функции Fk(s) удовлетворяют указанным условиям, то они являются образами Меллина непрерывных на луче (0, + да) функций fk(x), определяемых формулами
fk(x) = |Fk(s)x-ds, x e (0, + ю), k = 1,2 2m J
O0
где Q0 — произвольная прямая Res = a0 (a1 < c0 < a2), направленная снизу вверх. Тогда согласно соотношениям (2.1) и (1.3)
f '(x) = — f F(s) x~sds, x > 0; f '(x) = — fF2(s) (-x)-sds, x < 0 (2.4)
2ni J 2ni J
Q0 ^0
и
f(x) = — [^xl~sds, x > 0; f(x) = -— [F2(s)(-x)1-sds, x < 0 (2.5)
2ni 1 - s 2ni 1 - s
Q0 ^0
0
+да
+да
Применим к уравнениям (2.2) интегральное преобразование Меллина, для чего
умножим их обе части на х 1 и проинтегрируем по х от 0 до , обеспечивая законность производимых при этом операций на каждом шаге за счет подобающего выбора
комплексной переменной л. В силу наложенных на функции /¿(х) ограничений (1.2), интегрируя интегралы по частям, находим
J fk(x)
xs 1 dx = -s Fk(s + 1), 0 < Res < а2 - 1
Образы Меллина функций (1 - x) 1 и (1 + x) 1 — аналитические в полосе 0 < Re s < 1 функции nctgns и n(sinns)-1 соответственно [15], поэтому по теореме о свертке [14]
Г1 ГШШxs-1dx = ctgnsFk(s), Г1 f ßk^MLx,s-1dx = ^ „1 < Res < 1 J n J t - x J n t + x sin ns
0 0 0 0
и для нахождения функций F^s), F2(s) получим систему уравнений
s ~1F1(s + 1) + a1ctg nsF^s)--F2(s) = -B1(s)
sin ns
s _1F2(s + 1)--F(s) + a2 ctg nsF2(s) = -B2(s) (2.6)
sin ns
a1 < Res < a3, a3 = min{1; a2 -1}
Определим более точно полосу аналитичности функций F^s), F2(s) и область выполнения равенств (2.6). Для этого, заменив в уравнениях (2.6) s на s — 1, при а1 + 1 < Res < а3 + 1 найдем
F(s) = (1 - s)
ak ctg nsFk(s - 1)-a^F3_k(s -1) + Bk(s -1)
sin ns
а решая уравнения (2.6) относительно F^s), F2(s), найдем
k = 1,2 (2.7)
Fk(s) = (a1a2s) 1
аз-k ctg ns(Fk(s + 1) + sBk(s))-^ (F3_k(s + 1) + sB3_k(s))
sin ns
, k = 1,2 (2.8)
Так как функции Вк(л) аналитичны по меньшей мере в полосе 0 < Re л < 1, а функции Гк(л) — в полосе а1 < Reл < а2, где 0 < а1 < 1 и а2 > а1 +1, то правые части равенств (2.7), а значит, и левые части аналитичны в полосе а1 + 1 < Reл < 2. Аналогично, из равенств (2.8), у которых правые части аналитичны в полосе 0 < Re.s < шт{1; а2 — 1}, следует аналитичность их левых частей в этой полосе. Таким образом, формулы (2.7) и (2.8) определяют аналитические продолжения функций Fk(s) с полосы а1 < Reл < а2 в полосы а1 + 1 < Reл < 2 и 0 < Reл < шт{1; а2 - 1}, и функции Fk(s) аналитичны по меньшей мере в объединении трех этих полос, т.е. в полосе 0 < Reл < 2. Тогда обе части равенств (2.7) аналитичны по меньшей мере в полосе 1 < Re5 < 2, поэтому из выполнения этих равенств в полосе а1 + 1 < Reл < а3 + 1, имеющей непустое пересечение с полосой 1 < Re л < 2, следует по теореме единственности аналитических функций также выполнение их по меньшей мере в полосе 1 < Re л < 2, где аналитичны функции
о
Bk(s -1). Если же эти функции аналитичны в более широкой полосе, кроме изолированных особых точек, то равенства (2.7) будут выполняться и в этой полосе. В частности, если Bk(s) = 0 (k = 1,2), что имеет место в случае однородной системы уравнений (2.2), то равенства (2.7) будут выполняться во всей плоскости. Будем искать решение F^s), F2(s) системы (2.7) в виде
Fk(s) = Г(s)F*(s), k = 1,2 (2.9)
где r(s) — гамма-функция Эйлера. Тогда для нахождения новых неизвестных функций F*(s) получим систему разностных уравнений
F**(s) = -akctgnsF*(s -1) —^F3*k(s -1) + B**(s)
slnns (2.10)
B*(s) = -Bk(s - 1), 1 < Res < 2, k = 1,2 r(s -1)
с разностью 1 и с периодическими коэффициента
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.