КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2004, том 49, № 4, с. 621-627
ТЕОРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР
УДК 548.5
ИНТЕНСИВНОСТЬ И ШИРИНА БРЭГГОВСКИХ РЕФЛЕКСОВ ОТ НЕСОВЕРШЕННЫХ ИКОСАЭДРИЧЕСКИХ КВАЗИКРИСТАЛЛОВ, ПОЛУЧЕННЫХ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ АТОМНОГО РОСТА
© 2004 г. В. Е. Дмитриенко, В. А. Чижиков, С. Б. Астафьев, М. Клеман*
Институт кристаллографии PAH, Москва E-mail: dmitrien@ns.crys.ras.ru *Лаборатория минералогии и кристаллографии, Париж, Франция Поступила в редакцию 29.12.2003 г.
Исследованы брэгговские рефлексы от икосаэдрических квазиристаллов, полученных в ходе компьютерного эксперимента по моделированию роста, с помощью развитой ранее теории, позволяющей "выращивать" в компьютере несовершенные квазикристаллы нанометровых размеров. Показано, что абсолютная величина структурной амплитуды может быть близка к максимально возможной для кристаллов, т.е. к случаю, когда все атомы рассеивают в фазе. Изучена спектральная ширина брэгговских рефлексов, и показано, что эта ширина зависит не только от размера квазикристалла в физическом пространстве, но и от перпендикулярной составляющей векторов обратной решетки. Проведено сравнение с имеющимися экспериментальными данными.
ВВЕДЕНИЕ
Обычно наличие брэгговских рефлексов ассоциируется с дальним кристаллическим порядком, т.е. с периодичностью кристаллов. В свою очередь периодичность накладывает строгие условия на симметрию кристаллов. В частности, в трехмерном пространстве периодичность несовместима с икосаэдрической симметрией. Поэтому сразу же после открытия в сплавах металлов икосаэдрических квазикристаллов, которые давали картину с острыми дифракционными пиками, имеюшую в то же время икосаэдрическую симметрию [1], возник вопрос о том, возможны ли 5-функционные брэгговские пики в непериодических структурах. Ответ на этот вопрос оказался положительным, однако в обшем случае картина рассеяния на непериодических структурах весьма нетривиальна и является предметом интенсивных исследований.
С математической точки зрения построить непериодическую функцию в пространстве довольно легко, достаточно взять сумму гармонических функций с числом линейно независимых волновых векторов Э большим, чем размерность пространства й. Такие почти периодические и квазипериодические функции изучаются математиками уже давно [2], и было показано, что квазипериодические функции (т.е. такие, у которых Э конечно) можно рассматривать как иррациональные сечения Э-мерных периодических функций. Это свойство оказалось очень полезным для описания модулированных структур и для вычисления их дифракционных картин [3].
Интерес к некристаллографической симметрии усилился после работ Пенроуза, который показал, что определенным образом выбранной парой фигур можно замостить плоскость только апериодически. Точечная симметрия такого покрытия Пенроуза оказывается декагональной, что невозможно в случае кристаллов [4, 5]. Одно из первых исследований покрытий Пенроза в кристаллографии и вычисление соответствующих дифракционных картин были проведены Маккеем [6] еще до обнаружения реальных квазикристаллов.
Строго говоря, квазикристаллами называют такие структуры, в которых непериодичность оказывается следствием некристаллографической точечной симметрии. Кроме трехмерных икосаэдрических квазикристаллов были найдены октагональные [7], декагональные [8] и до-декагональные [9] квазикристаллы, в которых квазипериодичность наблюдается в двух измерениях, а в третьем измерении они периодичны. Их точечные группы симметрии содержат соответственно поворотные или винтовые оси симметрии восьмого, десятого и двенадцатого порядков.
Атомная структура идеальных квазикристаллов с икосаэдрической симметрией может быть получена с помошью специальной проекции шестимерной (Э = 6) кубической решетки на трехмерное физическое пространство [10], причем брэгговские пики от такой структуры оказываются 5-функционными. Другой подход к описанию структур квазикристаллов основан на принципах обобщенной симметрии [11, 12]. Однако реальные квазикристаллы устроены более сложно, они отличаются от идеальных наличием спе-
цифических фазонных дефектов. Эти дефекты проявляют себя в дифракционной картине как уширения и смещения рефлексов, причем в отличие от присущих кристаллам фононных деформаций эти уширения и смещения зависят не от векторов обратной решетки в физическом пространстве, а от компонент этих векторов в перпендикулярном пространстве. Обычно эти явления рассматриваются в рамках феноменологической континуальной теории фазонных деформаций.
В настоящей работе для рассмотрения влияния фазонных дефектов на картину дифракции в квазикристаллах используется микроскопический подход, основанный на моделировании роста ико-саэдрических квазикристаллов и прямом вычислении их пространственных фурье-гармоник, т.е. дифракционных рефлексов. Так как используемая модель роста физически хорошо обоснована, можно надеяться, что возникающие в ней точечные фазонные дефекты близки к тем, что имеют место в реальных квазикристаллах. С другой стороны, эта модель заведомо не содержит ни дислокаций, ни фононных деформаций, которые также могли бы искажать дифракционную картину.
МОДЕЛИРОВАНИЕ РОСТА КВАЗИКРИСТАЛЛА
Для расчета дифракционных спектров требуется знание положения всех атомов, так как у квазикристаллов нет элементарной ячейки. В работе был использован довольно большой квазикристалл (чуть больше 107 атомов), выращенный в ходе компьютерного эксперимента по моделированию роста. Несмотря на сложность и непериодичность структуры икосаэдрических квазикристаллов, модель их роста должна быть достаточно простой, позволяющей описать рост с большой скоростью при сверхбыстром охлаждении (до 106 град/с), и в то же время она должна быть универсальной, так как квазикристаллы наблюдаются во многих металлических сплавах. Последнее означает, что модель не должна быть слишком критична к выбору межатомного потенциала взаимодействия.
В основе нашей модели лежат два основных предположения, физически довольно обоснованные [13, 14].
1. Предполагается, что ближний порядок атомов в квазикристаллах и их кристаллических аппроксимантах описывается додекаэдрическим и икосаэдрическим локальными упорядочениями (ДЛУ-ИЛУ). То есть ближайшие соседи каждого атома расположены от него на расстояниях г3, г5 и г2 в направлениях осей третьего, пятого и второго порядков соответственно. Некоторые дополнительные геометрические обоснования для ДЛУ приведены в [14], тогда как аргументом в пользу ИЛУ является его высокая локальная плотность.
Поскольку периодические аппроксиманты квазикристаллов имеют тот же самый тип упорядочения, то очевидно, что одного этого предположения недостаточно. Нужно с помощью еще какого-то физического механизма исключить возможность роста этих самых аппроксимантов.
2. В качестве механизма подавления роста простых кристаллических структур предлагается использовать осцилляции в зависимости межатомного потенциала взаимодействия от расстояния (осцилляции Фриделя). Идея состоит в том, что квазикристаллы и аппроксиманты имеют различные функции радиального распределения атомов, особенно отличающиеся во второй координационной сфере [15]. Из-за экранирующего действия электронов проводимости потенциал взаимодействия между ионами в металлах оказывается довольно короткодействующим, мы будем учитывать его действие на расстояниях до двух межатомных, точнее до 1.8г2. Важно, что электроны проводимости являются квантовой системой, поэтому в экранировке возникают осцилляции в зависимости от расстояния, период которых обратно пропорционален импульсу Ферми и зависит таким образом от концентрации электронов. В результате на некоторых расстояниях потенциал оказывается положительным, эти расстояния становятся энергетически невыгодными и будут подавляться при росте. В настоящей работе мы использовали такой же модельный потенциал, как в [15]. Осцилляции потенциала подбирались таким образом, чтобы сделать более выгодными присущие квазикристаллам расстояния тг5 и тг2, относящиеся к так называемой оболочке Маккея, и подавить типичные кристаллические расстояния в области между первой координационной сферой и оболочкой Маккея, а также сразу за оболочкой Маккея.
После того как локальное упорядочение и межатомный потенциал выбраны, сам процесс атомного роста можно моделировать различным образом. Чтобы получить квазикристалл как можно большего размера, была использована простейшая модель Идена со следующим алгоритмом.
1. Создается небольшой зародыш для роста (меньше ста атомов) в виде кусочка идеального квазикристалла с ДЛУ-ИЛУ почти сферической формы.
2. Согласно ДЛУ-ИЛУ, вокруг всех поверхностных атомов вычисляются все возможные новые позиции атомов, которые мы будем называть "ждущие позиции".
3. Согласно выбранному потенциалу, вычисляются энергии связи всех "ждущих позиций".
4. В модели к ждущей позиции, имеющей наилучшую энергию, присоединяется новый атом, и
дальше процедура повторяется, начиная с пункта 2.
Таким образом, в отличие от метода Монте-Карло атомы только присоединяются, но никогда не отсоединяются, что позволяет вырастить большие квазикристаллы за разумное компьютерное время.
ИНДЕКСЫ МИЛЛЕРА ВЕКТОРОВ ОБРАТНОЙ РЕШЕТКИ ИКОСАЭДРИЧЕСКОГО КВАЗИКРИСТАЛЛА
Известно, что положение каждого рефлекса дифракционной картины любого трехмерного периодического кристалла определяется тремя целыми числами - индексами Миллера, которые представляют собой коэффициенты разложения соответствующего рефлексу вектора обратной решетки кристалла по трем базисным векторам. Дифракционная картина икосаэдрического квазикристалла может быть описана в целом аналогичным способом, однако в данном случае базис обратной решетки состоит из шести векторов и нужно использовать шесть индексов Миллера вместо трех. В качестве базиса обратной решетки икосаэдрического квазикристалла принято брать шесть векторов, направленных вдоль осей 5-го порядка и задающих шесть из двенадцати вершин икосаэдра. Положения вершин икосаэдра записываются в наиболее удобной форме, когда оси декартовой системы координат направлены вдоль осей 2-го порядка икосаэдра.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.