МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2011
УДК 533.6.011.72
© 2011 г. В. Н. ГУСЕВ, А. И. ЕРОФЕЕВ
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ЦЕНТРИРОВАННОЙ ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ С КОСЫМ СКАЧКОМ УПЛОТНЕНИЯ
Методом прямого статистического моделирования решения уравнения Больцмана исследуется течение газа в области интерференции косого скачка уплотнения с центрированной изоэн-тропической волной разрежения. Приводятся данные расчетов структуры скачка уплотнения, структуры волны разрежения, полей течения и линий тока для чисел Маха в набегающем потоке Мт = 6, 4 и 2. Образование области интерференции моделируется течением газа при обтекании двухступенчатого клина, излом образующей в котором и порождает центрированную изоэнтро-пическую волну разрежения. Приводятся результаты расчета такого течения при решении уравнения Больцмана в эйлеровском приближении.
Ключевые слова: центрированная волна, косой скачок уплотнения, интерференция, прямое статистическое моделирование.
В газовой динамике для исследования двумерного взаимодействия газодинамических разрывов хорошо развита теория локального приближения [1, 2]. В рамках этой теории поверхности газодинамических разрывов (ударные волны и контактные разрывы) являются плоскими, а течение в секторных областях между разрывами считаются либо однородными, либо центрировано изоэнтропическими в волнах сжатия и разрежения. Однако в общем случае поля течений могут оказаться пересеченными кривыми поверхностями скачков уплотнения. Для этих неоднородных скачков значения величин состояния газа до и после фронта скачка уже не будут оставаться постоянными, а будут изменяться по фронту скачка.
Рассматриваются особенности таких течений на примере интерференции косого скачка уплотнения с центрированной изоэнтропической волной разрежения. В результате интерференции скачок становится неоднородным с непрерывно меняющейся кривизной. Линии Маха непрерывного течения разрежения после отражения от линии скачка переходят в линии сжатия. Энтропия в этой области уже не остается постоянной и сохраняется только вдоль линий тока, да и то только до предельных линий, представляющих собой огибающие волн сжатия.
1. Постановка задачи. Примером такого течения является двумерное сверхзвуковое обтекание двухступенчатого клина (фиг. 1). Образующая клина ОАБ имеет излом в точке А. Точка А — центр изоэнтропической волны разрежения. До места встречи косого скачка уплотнения с передним фронтом изоэнтропической волны разрежения в точке В скачок будет однородным с постоянным углом наклона 0. При заданных значениях Мм и отношения удельных теплоемкостей у течение за фронтом косого скачка уплотнения в области 1 (число Маха М\, угол наклона вектора скорости 8^, давление плотность рь температура Т и полное давление р01) определяются известными соотношениями:
М 2 = (У + 1)2м^1и2 е - 4(м^1и2 е - 1)(Ум^1и2 е +1) 1 2уМ^1и2 е- (у- 1)(М^т2 е + 2)
Фиг. 1. Схема сверхзвукового обтекания двухступенчатого клина
1Еб1 =
2е1Еб( М^п2 е-1)
М1( у-
1 - 281п2 е)
Р1 _2уМ1$т2 е- (у-1)
р, _ (У +1)м^1п2 е
(1.1)
(у-1) м^1п2 е
Р01 = е/ я =
р0да
(Г
1) М
_(у- 1) М¿81п2 9 + 2_
У/(У-1)
у 2+1 ^ - (у-1)
2 у Мад 8т 9
1/(у-1)
где £ — энтропия, Я — газовая постоянная.
Ниже точки В по потоку в результате интерференции скачка с изоэнтропической волной разрежения скачок становится неоднородным с непрерывно меняющейся кривизной. В рассматриваемом случае при линейных образующих двухступенчатого клина в течении образуется область 2, ограниченная сторонами треугольника АСВ (фиг. 1), параметры потока в которой будут постоянными и определяются из следующих соотношений в центрированной изоэнтропической волне разрежения
52 = 51 - (V2 -V])
У +1 *
V = М-аг^
Ь-1
I-1 (м2
Р2 = Р1
С J
У/(у-1)
у + 1
Р2 = Р1
Сх
С2 J
1) - аг^
1/(Т-1)
4м2
1
т-1 = Т\
С±
С 2 J
(1.2)
С, = 1 + (у-1) М,7 2
Последующее развитие течения будет зависеть от условий на границе двухступенчатого клина. В случае непроницаемой твердой стенки нормальная составляющая скорости на ней должна обращаться в нуль, а отражение линий Маха на ней будет происходить без смены знака (фиг. 1). В этом случае при немалых сверхзвуковых числах Маха в исследуемом течении можно выделить локальную область взаимодействия косого скачка уплотнения с изоэнтропической волной разрежения, не зависящую от граничных условий на непроницаемой твердой границе двухступенчатого клина. Течение газа в этой области интерференции, показанной на фиг. 1 прямоугольником со сторонами х и у, исследуется в данной работе.
У
0
Ху х
Фиг. 2. Расчетная область, линии 1 — границы газодинамической центрированной волны разрежения
2. Метод расчета. Расчетная область выделена на фиг. 1 прямоугольником, стороны которого х и у — оси локальной системы координат. Ось х направлена вдоль прямолинейного участка головной ударной волны. Решение задачи проводится на основе уравнения Больцмана методом прямого статистического моделирования [3]. Рассматривается течение одноатомного газа. Сечение взаимодействия молекул определялось
по модели сфер переменного диаметра для степенного потенциала У( г) = к • г - *, где г — расстояние между молекулами, а к, 5 —параметры. Длина свободного пробега молекул X и коэффициент вязкости ц для такой модели определяются соотношениями
к= 16Н (1 - 2)[1 - Г), ц ас Т(1/2) + (2.1)
5лр\2ЯТ\ Рассматривался случай с 5 = го.
В качестве граничных условий для влетающих в расчетную область молекул задавалась максвелловская функция распределения молекул по скоростям
/(х, у, и) = _ _ 3/2 ехр
(2пЯТ)
2
(и - V)2 ^ 2ЯТ
(2.2)
в которой числовая плотность п, температура Т и средняя скорость V принимали различные значения на разных участках границы расчетной области (фиг. 2)
х = 0 у > ¥ш: п = пад, Т = Тад, V = V* (2.3)
< у < Ysн: п = пг, Т = Ти V = VI
У2 < у < Yl: п = пс, Т = Тс, V = Vс ( )
у < Y2: п = п2, Т = Т2, V = Ц2 (2.5)
у = 0: условие (2.5), у = YV: условие (2.3).
Здесь индекс "го " — состояние газа в невозмущенном потоке; индекс "1" — состояние газа после прохождения фронта косого скачка уплотнения; индекс "с" — переменное по углу состояние газа в изоэнтропической центрированной волне разрежения; индекс "2" — состояние газа, прошедшего центрированную волну. Поскольку рассматривалось только сверхзвуковое течение во всей области, то на границе х =Ху вниз по потоку ставилось условие полного поглощения молекул. Постановка граничного условия (2.5) при у = 0 обосновывается тем, что возмущения, возникающие при взаи-
модействии ударной волны с волной разрежения, после отражения от твердой поверхности не попадают в расчетную область, т.е. находятся ниже по течению относительно расчетной области. Расчетная область разбивалась на ячейки с постоянными размерами кх,ку, причем размеры ячеек не обязательно должны быть равными. Число Кнудсе-на Кп ь = Xш/Лт;п определялось по минимальному размеру ячеек и по средней длине свободного пробега молекул в невозмущенном потоке При расчете приводимых ниже вариантов принималось Кп ь = 2.
Параметры газа в изоэнтропической волне определялись с помощью приведенных выше соотношений газовой динамики (1.2). В рассматриваемой области течения задача не содержит характерного линейного размера. Поэтому приводимые далее на фигурах координаты даны в единицах Расчеты проводились при Мм = 6, 4 и 2. Угол полураствора клина определяет число Маха Му в потоке газа, прошедшего ударную волну. Задание числа Маха в потоке газа, прошедшим центрированную волну, определяет угол раствора волны Р, плотность р2, температуру Т2, давление р2, угол поворота вектора скорости Ау = У2 — У^. Приводимые ниже значения газодинамических параметров нормированы на соответствующие величины набегающего потока.
3. Результаты расчетов. Ниже будут подробно проанализированы результаты расчета полей течения для числа Маха в набегающем потоке Мт = 6 и угле наклона косого скачка уплотнения к вектору скорости набегающего потока 9 = 20°. Такой угол наклона имеет место при обтекании под нулевым углом атаки клина с углом полураствора 81 = 11.144°. Газодинамические параметры газа при прохождении косого скачка уплотнения М\ = 3.8948, р1 = 5.0143, р1 = 2.3355, Т = 2.1470. Изменение энтропии на
скачке, определенное по газодинамическому соотношению, Б/ Си = 1п(р1/ р[) = 0.1986. Число Маха после прохождения центрированной волны принималось равным M2 = 4.5, что соответствует углу в = 6.954°. Газодинамические параметры в этом случае равны: p2 = 2.7075, р2 = 1.6137, 72 = 1.6778, угол разворота вектора скорости в волне Лv = 4.916°. Результаты расчета полей давления, изменения энтропии и линии тока приведены на фиг. 3. Цифрами в полях указаны значения давления и энтропии в различных областях течения. Изменение давления вдоль лучей, соответствующих характеристикам в центрированной волне, даны на фиг. 4. Штриховыми горизонтальными линиями на фиг. 4 отмечены значения давления вдоль характеристик газодинамической волны. Из этих данных можно заключить, что область искривления ударной волны практически ограничена первой и последней характеристиками центрированной волны. При кинетическом рассмотрении все границы течения размываются на величину, равную нескольким длинам свободного пробега молекул. Это видно и на фиг. 4 при рассмотрении давления вдоль первой и последней характеристик.
Линии тока в области течения, расположенной вниз по потоку от последней характеристики, прямые линии. Энтропия вдоль линий тока сохраняется (в области за ударной волной). Вместе с тем сохранение энтропии в волне разрежения имеет место только до первой характеристики второго семейства, выходящей из точки А — точки пересечения головного скачка уплотнения, и первой характеристики первого семейства.
Давление газа вдоль лучей, соответствующих характеристикам первого семейства в волне разрежения, остается постоянным вплоть до пересечения лучей с искривленной ударной волной. Таким образом, угол наклона ударной волны по отношению к вектору скорости набегающего потока в точках пересечения с этими лучами может быть определен из соотношения
Р1(0 * Рс(вс)
(3.1)
Фиг. 3. Поле давления (а), изменения
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.