УДК: 523.11
ИНВЕРСИИ ГЕОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ПРОСТОЙ МОДЕЛИ ГЕОДИНАМО
© 2012 г. Г. С. Собко, В. Н. Задков, Д. Д. Соколов, В. И. Трухин
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет, г. Москва
e-mail: sobko@physics.msu.ru Поступила в редакцию 11.01.2011 г. После доработки 04.07.2011 г.
Предлагается простая конечномерная модель геодинамо, полученная из уравнений электродинамики средних полей и воспроизводящая феномен инверсий геомагнитного поля. Показано, что шкала инверсий, получаемая в рамках этой модели, достаточно близка по своим свойствам к наблюдаемой. Механизм инверсий связан с влиянием флуктуаций а-эффекта. Для возникновения инверсии в рамках такой модели не нужно существенно менять гидродинамические параметры задачи, а достаточно учесть флуктуации а-эффекта. Если среднеквадратичное отклонение флуктуаций составляет 10% среднего значения а, для возникновения инверсии достаточно флуктуации в 2—3 стандартных отклонения, что вполне согласуется с представлением о сравнительной редкости инверсий. Еще одним фактором, приводящим к режиму с инверсиями, является то, что в линейном режиме модель в разных областях параметрического пространства может генерировать магнитные поля с различным поведением — монотонно-растущие и растущие с осцилляциями.
1. ВВЕДЕНИЕ
Инверсии (переполюсовки) геомагнитного поля, по современным представлениям случавшиеся неоднократно за время геологической истории Земли, представляют собой одно из наиболее ярких явлений, изучаемых в палеомагнетизме [Christensen et al., 2010, Hulot et al., 2010]. До нескольких сотен инверсий удается воспроизвести в рамках прямого численного моделирования геодинамо [Olson et al., 2010] и похожие явления встречаются в динамо-экспериментах [Berhanu et al., 2007].
В то же время природа инверсий, если они существовали в истории Земли, остается еще во многом неясной. Дело в том, что инверсии геомагнитного поля не наблюдались непосредственно исследователями. Они обнаруживались лишь при палеомагнитных исследованиях изменения направления естественной остаточной намагниченности (NRM) изверженных и осадочных древних горных пород. В геологических разрезах в зависимости от времени направления NRM горных пород либо соответствовали направлению современного геомагнитного поля, либо были антипа-раллельны ему. Такие чередования направления NRM имеютглобальное распространение, с чем и связано предположение, что причиной изменения направления NRM являются инверсии геомагнитного поля. Однако при исследованиях природных ферримагнитных минералов было обнаружено, что они могут приобретать термонамагниченность, направленную как по направ-
лению намагничивающего поля, так и против него [Трухин и др., 2006]. Это явление было названо самообращением намагниченности, и оно представляет альтернативу инверсиям геомагнитного поля.
Наряду с интерпретацией палеомагнитных данных [Hulot et al., 2010; Трухин и др., 2006], невыясненные вопросы, если инверсии геомагнитного поля все же существовали, касаются выделения специфических черт геодинамо, приводящих к инверсиям, поскольку для других природных динамо режимы с временными инверсиями магнитного поля неизвестны [Christensen et al., 2010; Hulot et al., 2010]. Выделить эти специфические черты только методами прямого численного моделирования непросто, поскольку эти методы направлены на воспроизведение явления во всех деталях, а не на прояснение отдельных его черт.
В этой связи представляется целесообразным дополнить прямое численное моделирование построением простой модели явления, позволяющей понять его качественные особенности. Подобные модели хорошо известны в литературе (см. например, [Wicht et al., 2010; Roberts and Glatzmaier, 2000; Dormy and Soward, 2007; Ershov et al., 1989]), однако они носят иллюстративный характер, т.к. воспроизводят лишь желаемое поведение магнитного поля, не претендуя на возможность вывода этих моделей из полных уравнений геодинамо в рамках каких-либо явно описанных приближений. Наша цель состоит в том, чтобы получить подобную модель из уравнений
электродинамики средних полей и исследовать ее свойства.
2. МАЛОМОДОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
В качестве основы для искомой модели мы используем маломодовое приближение для динамо в тонкой сферической оболочке, предложенное в [Нефедов и Соколов, 2010]. Смысл этого приближения состоит в том, что уравнения динамо средних полей (после всевозможных упрощений) проектируются на минимально возможную систему нескольких первых собственных функций для задачи о затухании магнитного поля при отсутствии источников генерации. Этот минимальный набор функций подбирается так, чтобы при учете источников генерации решение, которое теперь является набором зависящих от времени нескольких первых коэффициентов Фурье по системе базисных функций, воспроизводило в общих чертах поведение магнитного поля изучаемого объекта, а при меньшем наборе это воспроизведение было бы уже невозможно.
В данном случае мы требуем, чтобы такое решение содержало (при подходящем наборе параметров) самовозбуждение первоначально слабого магнитного поля. Кроме того, в нелинейном режиме модель должна давать стационарные решения или решения с т.н. васцилляциями (периодическими колебаниями параметров, при которых их знак остается постоянным). Эти решения соответствуют поведению геомагнитного поля в период между инверсиями. Наконец, модель в нелинейном режиме должна иметь (разумеется, в ином диапазоне ее параметров) решения в виде автоколебаний вокруг нулевого среднего значения, которые соответствуют поведению магнитного поля Солнца в ходе солнечного цикла. Разумеется, мы требуем, чтобы модель давала решения с ненулевым магнитным моментом системы, поскольку именно он и наблюдается прежде всего в гео- и палеомагнитных исследованиях [Christensen et al., 2010; Hulot et al., 2010]. Необходимо, таким образом, чтобы сходство геометрии охваченных конвекцией оболочек Земли и Солнца, так же как и различие поведения магнитных полей этих тел, были отражены в модели.
Предложенная в работе [Нефедов и Соколов, 2010] модель обладает всеми этими свойствами и система уравнений, описывающая эту модель, имеет вид:
da, = RA _ _ад i + 2b2), dt 2 1 8
(1)
d02 = Ra(b + b2) - 9fl2 - 3R"(b + b) (bi2 + bib + b2), (2) dt 2 8
dh = R» (a - 3a2) - 4b, dt 2
(3)
db2 = Щ/h - 16b (4)
dt 2 2
Параметрами модели являются четыре коэффициента Фурье a,, a2, b, и b2. Первые два из них соответствуют двум первым модам полоидально-го поля, причем коэффициент а, пропорционален магнитному моменту. Вторые два отвечают двум первым модам тороидального поля. В работе [Нефедов и Соколов, 2010] показано, что, вопреки распространенному мнению, меньший набор переменных недостаточен для построения интересующей нас модели.
Линейные члены этой модели описывают процесс самовозбуждения, а нелинейные — его стабилизацию за счет нелинейного подавления спи-ральности. Самовозбуждение магнитного поля связано, как и обычно, с процессами преобразования полоидального магнитного поля в тороидальное за счет дифференциального вращения и тороидального магнитного поля в полоидальное за счет т.н. a-эффекта, связанного с нарушением зеркальной симметрии конвекции за счет действия силы Кориолиса в стратифицированной среде (см. например [Parker, 1979]).
В систему уравнений (1)—(4) в качестве управляющих параметров входят величины Ra и Rm, обезразмеренные с помощью коэффициента турбулентной диффузии и геометрических параметров задачи. Они характеризуют амплитуду a-эффекта и дифференциального вращения, соответственно. После обезразмеривания время измеряется в условных безразмерных единицах.
Для соотнесения результатов с данными наблюдений важно, что за период васцилляций геомагнитного поля обычно принимается 105 лет [Christensen et al., 2010; Hulot et al., 2010]), а длина периода солнечной активности (осцилляций) составляет 22 года. Конечно, в более детализированных моделях солнечного динамо наряду с этими параметрами возникают параметры, характеризующие пространственное распределение источников генерации и другие важные детали, опущенные в этом простейшем приближении.
В уравнениях модели также опущены члены, описывающие как с помощью a-эффекта тороидальное поле превращается в полоидальное, поскольку дифференциальное вращение справляется с этим гораздо лучше (т. н. аю-динамо [Krause and Rädler, 1980]). Тороидальное поле в нашем приближении всегда гораздо сильнее полоидаль-ного, поэтому из модели удалены те нелинейные члены, в которые входят полоидальные моды.
Для определенности мы измеряем магнитное поле в единицах того поля, при котором становится существенным воздействие магнитного по-
ах 0.12
0.06
0.06
0.12 а1 0.4
0 100
110
120
130
140
120
-0.4 L
Рис. 1. Пример различного временного поведения нелинейных решений маломодовой модели: осцилляции (а), вас-
циллясии (б) и динамо-всплески (в). Показана зависимость коэффициента аъ определяющего магнитный момент системы, от времени. Время указано в условных безразмерных единицах. С точки зрения палеомагнетизма период одного колебания на рис. (б) соответствует примерно 105 лет.
0
в
t
t
ля на течение, т. е. полагаем коэффициент £ в [Нефедов и Соколов, 2010] равным единице.
Широтное распределение магнитного поля, описываемого нашей моделью, имеет вид
B = -bx sin 20 + b2 sin 40, A = ax cos 0 - a2 cos 30,
где 0 — широта, измеряемая от экватора, B — тороидальная компонента магнитного поля и A — тороидальная компонента магнитного потенциала, которая определяет полоидальное магнитное поле.
Принимая маломодовую модель геодинамо, мы принимаем и еще одно предположение, сделанное при ее выводе: нелинейность, приводящая к стабилизации работы динамо, предполагается простой, так что она сама по себе не приводит к инверсиям и другим сложным явлениям [Нефедов и Соколов, 2010]. Поэтому нелинейные решения модели при постоянных ее параметрах либо стационарные, либо периодические — осцилляции (рис. 1а) и васцилляции (рис. 1б).
Стоит отметить также, что кроме этих режимов модель содержит решение со своеобразными с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.