ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2012, том 48, № 3, с. 91-105
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ИНВЕСТИЦИОННАЯ ЭФФЕКТИВНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА ДЛЯ АНАЛИЗА ДОХОДНОСТИ И ЗАТРАТНОСТИ КРЕДИТА
© 2012 г. А.В. Жевняк
(Рязань)
На основе методологии эффективной инвестиционной процентной ставки (ЭПС) получены формулы для расчета доходности кредита для кредитора и затратности для заемщика. Показано, что показатель внутренней нормы доходности, используемый сегодня банками для этих целей, не является мерой доходности/затратности кредита. Для наиболее распространенных на практике кредитных схем исследована зависимость инвестиционной ЭПС от ставки реинвестирования и основных параметров кредита - срока, номинальной процентной ставки, ставки комиссии. Рассмотрены особенности определения и толкования инвестиционной ЭПС. Даны практические рекомендации для кредиторов и заемщиков для выбора наиболее эффективных кредитных схем в условиях растущей и падающей процентной ставки.
Ключевые слова: кредит, кредитор, заемщик, доходность кредита, эффективная процентная ставка, ЭПС, IRR, реинвестирование, дисконтирование.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Сравнительный анализ доходности/затратности различных по способу обслуживания долга кредитных схем представляет интерес как для кредитных институтов, так и для их клиентов -юридических и физических лиц, привлекающих кредитные ресурсы для решения своих корпоративных и личных задач. Оценку доходности/затратности кредита можно выполнить путем вычисления полной (включая различного рода комиссионные выплаты) современной или наращенной суммы платежей обслуживания с учетом их реинвестирования.
Ограничиваясь для простоты учетом только единовременной комиссии aS, взимаемой кредитором по ставке a в начале первого расчетного периода, от номинальной суммы займа S, можно записать выражения современной (дисконтированной) и наращенной стоимости суммы полных
платежей обслуживания в виде Zns = aS + Rns и Zns = aS(1 + s)n + Rns соответственно. Здесь и
n
далее Rns = / Rj(dm, n, S)/(1 + s)j, Rns = Rns(1 + s)n - современная и наращенная суммы те-
j=1
кущих платежей обслуживания кредита Rj(om, n, S); s - ставка реинвестирования (дисконта); n - срок кредита, исчисляемый числом расчетных (базисных) периодов; 0m = d/m - процентная ставка расчетного периода; o - номинальная (годовая) процентная ставка кредита; m - число начислений процентов и платежей обслуживания в году; j = 1, ..., n - порядковый номер текущего платежа (дискретное время).
Прямой оценкой доходности/затратности кредита для кредитора или заемщика является величина удельной современной стоимости полных расходов обслуживания Z ns или связанное с ней удорожание U ns:
Z ns = (aS + Rns)/S = a + Rns, Uns =[Z ns - S] S^ = Z ns -1 = a + Rns -1. (1)
Величина Z nf по аналогии с инвестиционным анализом может быть названа индексом рентабельности кредита (PI, profitability index). Для кредитора Z ns = a S + R ns - современная стои-
мость наращенного ссудного капитала, а Ъ пе - показатель его относительного роста. Здесь и далее черта над буквенным обозначением использована для удельных показателей, т.е. отнесенных к номинальной сумме займа, например, Кпе = Кпе /Б. Дуга ("крышка") применяется для дисконтированных величин, где в нижнем индексе указывается еще и ставка дисконта.
Далее рассматриваются четыре наиболее распространенные на практике кредитные схемы:
- кредит с равномерным гашением основного долга и регулярной уплатой процентов, начисляемых на остаток ссудной задолженности, который называют также кредитом с амортизацией долга, кредитом с дифференцированными платежами или классическим (для краткости мы будем именовать его ординарным кредитом);
- кредит с регулярной уплатой процентов, начисляемых на сумму основного долга, и единовременным погашением основного долга в конце срока (по аналогии с купонной облигацией такой кредит мы будем называть купонным);
- кредит с единовременной уплатой основного долга и начисленных процентов в конце срока (шаровый кредит);
- кредит с одинаковыми по величине платежами обслуживания в виде постоянной ренты (аннуитетный кредит).
Ниже все показатели рассматриваемых конкретных кредитов будем нумеровать (помещая соответствующий номер в верхнем индексе) в том порядке, в котором они перечислены выше. Тогда можно записать формулы для расчета современной стоимости суммы текущих платежей обслуживания, полученные в (Жевняк, 2010, 2012) с применением новой техники дисконтирования, основанной на дисконт-функциях (Д-функциях):
7 (1) Б 7 (2)
К„е = — [(е -8т)фо(е, п) + пЪт], К„£ = Б[1+(8„ - е){„(£, п)], (2)
ПЕ
7(3)_ Б(1 + 5т)п 7(4)_ Фо(Е, п)
(1+ е)п Фо(5т, п)
где
Ф (5т, п ) = /
1 (1+ 5т) п -1
рТ? (1+ 5 т)} 5т(1+ 5т)п дисконт-функция нулевой степени, или коэффициент приведения единичной постоянной ренты. Выражения (2) получены путем дисконтирования и суммирования текущих платежей Я. = О] + Рр где выделены платежи в погашение основного долга О. и в уплату процентов Р. Там
же вычислены дисконтированные суммы Спе и Рпе.
Важно отметить, что для любого кредита должно выполняться условие полного гашения
п
основного долга к концу срока кредитования Сп = / О. = Б и условие замыкания контура фи-
]=1
нансовой операции (основное свойство кредита):
Б = /
Яр (5т, п, Б)
]=1
(1+ 5т)р
(3)
■ к
Степенные дисконт-функции фк(5т, п) = / - степени к и порядка п введены в на-
Р=1 (1 + 5 У
учный оборот в (Жевняк, 2010, с. 11-107). Они определяются в результате обобщения результатов Я. Бернулли в классической задаче о вычислении суммы одинаковых степеней натуральных чисел и обладают рядом важных свойств, позволяющих существенно упростить аналитическое исследование финансовых операций.
В классе степенных дисконт-функций особое место занимает Д-функция нулевой степени Ф0(в, п) = [(1 + в)п - 1]/[е(1 + в)"], через которую все остальные могут быть выражены. Из свойств Д-функции нулевой степени Ф0(в, п) отметим ее монотонное убывание с ростом ставки дисконта и монотонный рост при возрастании порядка п. В (Жевняк, 2010) получены сильные верхние и нижние оценки Д-функции нулевой степени, которые эффективно применяются в сравнительном анализе различных кредитных схем (в том числе и доходности/затратности).
В проблеме оценки доходности/затратности кредитов можно выделить две основные задачи. Первая состоит в сравнительном анализе различных кредитных схем при одинаковых значениях параметров кредитов. Эта задача для четырех рассматриваемых кредитных схем в самом общем виде решена в (Жевняк, 2010, 2012). В частности, в (Жевняк, 2010) применением оценок Д-функ-ции нулевой степени доказано, что по сумме удельных дисконтированных процентных платежей рассматриваемые кредиты при одинаковых значениях процентной ставки 8т, ставки комиссии
а и срока кредитования п ранжируются в следующем порядке: Р "в > Р Р "Л Процентные платежи в шаровом кредите при в < 8т будут превышать Р П^, но при достаточно больших в > 8т с ростом срока кредитования п они станут меньшими, чем Р При в = 8т дисконтированные суммы процентных платежей всех рассматриваемых кредитов будут одинаковыми, т.е.
Р(1) = Р(2)= Р(3)= Р(4)
Р пв Р пв Р пв Р пв ■
В (Жевняк, 2012) также на основе оценок Д-функций установлено, что при в < 8т и одинаковых значениях процентной ставки 8т, ставки комиссии а, срока кредитования п для дисконтированных сумм удельных платежей обслуживания справедлива цепочка неравенств
в в в К, (4)
которая при в > 8т инвертируется к виду
в в в 1п?, (5)
а при в = 8т, согласно основному свойству кредита (3), превращается в систему равенств
2,(1) =(4) =(2) 2,(3)
^ п8п п8п п8п п8п
= 1. (6)
Вторая задача сравнительного анализа доходности кредитов состоит в построении количественной меры доходности/затратности конкретного кредита. Решению этой задачи посвящена настоящая статья.
2. ОЦЕНКА ДОХОДНОСТИ И ЗАТРАТНОСТИ ПО УДОРОЖАНИЮ КРЕДИТА Анализ доходности/затратности кредитов при произвольных значениях процентной ставки, ставки комиссии и срока кредита может быть выполнен по современной Ъ пв = (а Б + К пв)/ Б = а + Кпв
или по наращенной Ъпв = Ъ пв(1 + в)п стоимости суммы удельных полных платежей обслуживания. Эта величина может быть выражена в процентах (от номинальной суммы займа) или
пересчитана в другой показатель, например в удорожание ипв = Ъ пв -1 = а + Кпв -1, что не меняет существа дела, поскольку в основе остается принцип сопоставления суммарных платежей обслуживания и номинальной суммы займа. Тем самым будет установлена простейшая шкала измерения доходности/затратности кредита. Однако при этом вычисляются суммарные платежи обслуживания за весь срок кредита, и по их величине невозможно сравнивать кредиты разной продолжительности.
Здесь же отметим, что доходность кредита для кредитора может не совпадать с его затратностью для заемщика, поскольку, вообще говоря, значения ставки дисконтирования для заемщика и кредитора различны и определяются их возможностями по размещению (реинвестированию) своих свободных денежных средств в бизнесе.
Рис. 1. Зависимость дисконтированной суммы удельных текущих платежей обслуживания Кпе для ординарного (1), купонного (2), шарового (3) и аннуитетного (4) кредитов от срока кредитования п
Основным слагаемым, определяющим характер изменения показателей Z ne и ü„£ от параметров кредита, является дисконтированная сумма текущих платежей обслуживания R ne. Так как
dRne _ 1 // jRj <0
de 1+ e j_1 (1 + e)j ,
то с ростом ставки дисконта современные стоимости суммы платежей обслуживания всех рассматриваемых кредитов монотонно убывают. По (2) также вполне очевидно, что с ростом процентной ставки 8m величина Rne монотонно возрастает.
Применением верхних и нижних оценок Д-функции нулевой степени удается строго доказать, что при e < 8m современные стоимости суммы платежей обслуживания Rne всех рассматриваемых кредитов монотонно возрастают с увеличением срока кредитования n, а при e > Sm, наоборот, уменьшаются.
На рис. 1 представлены графики изменения Rne от срока кредита для случаев e < 8m и e > 8m
(при e _ 8m всегда Rne _ 1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.