ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2009, том 35, № 8, с. 709-715
ПЫЛЕВАЯ ПЛАЗМА
УДК 553.9.01
ИОННО-ЗВУКОВЫЕ КНОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В ПЫЛЕВОЙ ПЛАЗМЕ С КРИТИЧЕСКОЙ ПЛОТНОСТЬЮ ПЫЛИ
© 2009 г. В. В. Прудских
Институт физики, Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия Поступила в редакцию 05.10.2008 г. Окончательный вариант получен 12.01.2009 г.
Рассмотрено распространение нелинейных периодических ионно-звуковых волн в пылевой плазме при условии равенства нулю коэффициента нелинейного уравнения, описывающего квадратичную нелинейность среды. Получено уравнение и построено его решение, которые определяются кубической нелинейностью системы. Определена зависимость фазовой скорости кноидальной волны от ее амплитуды и модуля. При описании влияния высших порядков нелинейности на свойства пылевой ионно-звуковой волны получена пара связанных уравнений для потенциалов первого и второго порядков. Показано, что нелинейный поток ионов, вызванный распространением кноидальной волны в среде с кубической нелинейностью, пропорционален четвертой степени ее амплитуды.
PA.CS: 52.35.-g, 52.35.-Fp
1. ВВЕДЕНИЕ
Свойства плазмы, содержащей помимо электронов и ионов тяжелые (порядка 1012—1014 г) пылевые частицы, активно изучаются последние пятнадцать лет. Наличие в плазме тяжелых заряженных частиц приводит к появлению значительного количества новых плазменных мод, неустой-чивостей и нелинейных феноменов. Одним из объектов исследований в пылевой плазме являются пылевые ионно-звуковые волны, впервые рассмотренные Шуклой и Силиным [1]. Хотя данная мода и присуща электронно-ионной плазме, присутствие пыли приводит к ее существенной модификации. Так, фазовая скорость пылевых ионно-звуковых волн больше скорости аналогичных волн, распространяющихся в электронно-ионной плазме. Это ведет к ослаблению требования неизотермичности электронной и ионной компонент пылевой плазмы по сравнению с классической плазмой, необходимого для существования такой волны. Исследование распространения нелинейных уединенных пылевых ионно-звуковых волн показывает [2], что нелинейный коэффициент уравнения Кортевега-де-Фриза этой задачи может принимать не только положительные, но и отрицательные значения, а уединенная волна (солитон) может быть как волной уплотнения, так и волной разрежения ионов. Это разительно контрастирует со случаем электронно-ионной плазмы, ионно-звуковой соли-тон в которой имеет только положительный потенциал. Равновесный заряд пылевой частицы в плазме определяется из равенства электронного и ионного потоков на ее поверхность и является обычно отрицательным. Возмущения плотности
плазмы в поле электростатической волны приводит к изменению потоков, а следовательно, и заряда пылинки, что также сказывается на специфике волн в пылевой плазме. Более того, в пылевой плазме существует специфический дисси-пативный механизм, связанный с неадиабатическим характером изменения заряда пылевой частицы в поле распространяющейся волны, приводящий к появлению пылевых ионно-звуко-вых ударных волн [3]. Большое число работ посвящено исследованию различных эффектов, связанных с распространением уединенных ион-но-звуковых импульсов, например, влиянию захваченных электронов на их свойства [4], наличию в плазме, помимо тепловых, надтепловых электронов [5], эффекту непланарности ионно-звуковых волн [6, 7], влиянию релятивистских эффектов [8—10], магнитного поля [11] и т.д.
Значительно меньше внимания уделяется нелинейным свойствам периодических ионно-зву-ковых волн. К ним можно отнести работы [12, 13], в которых исследованы периодические решения уравнений Кортевега-де-Фриза (КдФ) и модифицированного уравнения Кортевега-де-Фри-за (мКдФ) для ионно-звуковой волны в плазме с двухтемпературными электронами, а также изучены свойства периодических ионно-звуковых волн большой амплитуды. В работе [14] рассматривалось распространение ионно-звуковых кно-идальных волн в слаборелятивисткой плазме с двухтемпературными электронами. Техника исследования влияния нелинейностей высших порядков на периодическую ионно-звуковую волну впервые изложена в [15, 16]. В [17] был произведен пересмотр результатов, полученных в указан-
ных работах, и выписано аккуратное условие исключения секулярных членов уравнения. Хотя в последней статье рассмотрен случай электронно-ионной плазмы, ее результаты без труда обобщаются и на случай пылевой плазмы. В то же время остается неизученным вопрос о распространении кноидальных пылевых ионно-звуковых волн в условиях, когда нелинейности второго порядка взаимно компенсируются. В настоящей работе исследуется задача о распространении нелинейной периодической пылевой ионно-звуковой волны в плазме, плотность пылевой компоненты которой является критической [2] и среда проявляет нелинейные свойства, описываемые кубической нелинейностью. Особое внимание уделено нахождению решений для нелинейных поправок к основной волне, важных для описания эффекта возникновения ионного потока, который может рассматриваться как один из механизмов процессов переноса в плазме. Следует отметить, что в отличие от уравнения для потенциала второго порядка малости, полученного в [17] и содержащего необходимые к исключению секулярные члены, уравнение, описывающее поправки к волне, распространяющейся в среде с кубической нелинейностью, свободно от секулярных членов. В этом плане ситуация аналогична рассмотренной в [18], где подобное уравнение получалось для описания решений высших порядков волн формы еИ—1 (так называемых "одетых" солитонов). В то же время наличие основного решения нашей задачи в виде эллиптического косинуса не позволяет использовать изложенный там метод сведения полученного уравнения к уравнению для присоединенных полиномов Лежандра с последующим решением неоднородного уравнения. В данном случае функциональный вид решения неоднородного дифференциального уравнения был найден эвристически, а для получения его явного вида, при котором левая и правая части соответствующего уравнения становятся тождественными, использовался метод неопределенных коэффициентов.
Работа организована следующим образом. В разд. 2 приведена обезразмеренная система уравнений задачи и выяснены условия справедливости описываемой ею модели. Используя технику разложения по степеням малости и растяжения координат, в разд. 3 получено мКдФ уравнение и выписано условие, при котором отсутствует квадратичная нелинейность среды. В разд. 4 получена связанная пара уравнений для описания влияния высших порядков нелинейности на пылевую ионно-звуковую волну, а также приведено ее решение. Разд. 5 содержит расчет среднего нелинейного потока ионов, вызванного прохождением кноидальной волны. Основные выводы изложены в разд. 6.
2. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ
Система уравнений, описывающая распространение ионно-звуковых волн в плазме с примесью заряженных пылевых частиц, состоит из уравнений непрерывности и движения для ионов
дП + ^ (па) = 0,
д1 дх
1 + иА) = _ 5Ф- 30п—,
д1 дх! дх дх
а также уравнения Пуассона
5 -1 + еф - 5п.
5 2Ф _
дх
(1) (2)
(3)
Здесь координата х обезразмерена на электронный дебаевский радиус ХВе = (4япе0е2/Те)1/2, время I — на обратную ионную плазменную частоту с
электронной плотностью ю-1 = (М/4япе0е2)1/2, скорость и — на скорость ионного звука с3 = = (Те/М)1/2, 8 = поо/Пео, ф = еф'/Те, 0 = Т/Т, Те, Т — температуры электронов и ионов, пе0, п,0 — их равновесные плотности, М — масса иона. Плотности электронов и ионов обезразмерены на свои равновесные значения. Принято, что распространение волны является адиабатическим с законом р = СП3, а распределение плотности электронов описывается распределением Больцмана пе = ехр(ф). Параметр 8 связан е плотностью пыли соотношением квазинейтральности Znd0/ne0 = 8 — 1, где Z и пм — заряд и плотность пылевой компоненты плазмы.
При описании пылевых ионно-звуковых волн мы предположим, что заряд пылинки в поле волны остается постоянным. Последнее справедливо, если частота ее зарядки VсЬ = аюр/ЛЛк ы (а — радиус пылинки, = (Т/4пп,0е2)1/2 — ионный де-баевский радиус) существенно меньше частоты пылевой ионно-звуковой волны. В длинноволновом приближении кХВе 1 (Те» Т), для которого корректно рассматриваемое в работе описание волны при помощи уравнения мКдФ, частота пылевых ионно-звуковых колебаний есть ю ~ кс8 = = (кХБе)юр,. Тогда получим условие, при выполнении которого заряд пылинки можно считать постоянным: а/Хт кХВе. Положим величину кХ Ве малой, но достаточной для того, чтобы проявлялись дисперсионные свойства плазмы относительно ионно-звуковых возмущений: кХВе ~ 10—2. Рассматривая пыль микронного размера а ~ 10—4 см и полагая Т ~ 1 эВ, найдем, что условие постоян-
—5 1/2
ства заряда выполняется, если 10 по ^ 1. Отсюда ясно, что требование постоянства заряда хорошо выполняется для кноидальных волн в плазме с
плотностью ионов п
,0 < 106
см 3, то есть в доста-
точно разреженной плазме. В плотной плазме вариация пылевого заряда приводит к диссипации
энергии колебаний на пылевых частицах и трансформации начального возмущения в зависимости от функции распределения электронов либо в ионно-звуковую ударную волну [3], либо в слабо-диссипативные пылевые ионно-звуковые соли-тоны [19].
3. ПРИБЛИЖЕНИЕ МКДФ ДЛЯ ИОННО-ЗВУКОВЫХ КОЛЕБАНИЙ
Будем искать решение системы уравнений (1)—(3) в виде разложения переменных задачи по степеням малости
У = У0 + бУ + 6 2У2 + Б3У3 +...,
(4)
где Y = (ф, п, и), Y0 = (0, 1, 0). При отсутствии квадратичной нелинейности воспользуемся следующим растяжением координат:
£ = е(х — V/), т = е3?. (5)
Тогда в порядке е исходная система уравнений запишется в виде
-¥0 ^ + ^ = 0, (6)
-у0 ^ + ^ + 3ед" = 0, (7)
0 д% д% д%
ф1 - 8п1 = 0. (8)
Интегрируя уравнения (6)-(8) при условии конечности возмущений для £ ^ ± да, получим соотношения для величин низшего порядка и выражение для линейной скорости волны
(9)
(10)
"2 = ^ +Ф2
¿2
- ^Гф2 + V2 + 90,2
25
2
Ф21, (13)
3(У2 + е> 52
= 1.
(14)
(15)
ди1
- V
ди3 , д
+ -
дт д£ д£
(и^ +
дФз д^
+
+3в1 (|+дН=0,
д 2ф з
—Ф = Фз + Ф1Ф2 + Ф3/6 - 5% д£
(16)
(17)
Находя из уравнений (15)—(16) дп3/д£ и дифференц
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.