ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2008, том 34, № 11, с. 1033-1040
^ ПЫЛЕВАЯ
ПЛАЗМА
УДК 533.9.01
ИОННО-ЗВУКОВЫЕ СОЛИТОНЫ В БИИОННОЙ ПЫЛЕВОЙ ПЛАЗМЕ
© 2008 г. В. В. Прудских
Институт физики, Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
Поступила в редакцию 14.02.2008 г.
Окончательный вариант получен 31.03.2008 г.
Исследуется распространение ионно-звуковых солитонов в теплой плазме, содержащей ионы двух сортов и заряженную пыль. В приближении уравнения Кортевега-де-Фриза показано, что существует непрерывный ряд значений критической плотности отрицательных ионов, разделяющий области существования солитонов сжатия и разрежения. Для критической плотности в следующем порядке разложения получено модифицированное уравнение Кортевега-де-Фриза. Выяснено, что его нелинейный коэффициент положителен при любых значениях плотности пыли и масс положительных и отрицательных ионов. В случае, когда плотность отрицательных ионов близка к критической, найдено солитонное решение, учитывающее действие как квадратичной, так и кубической нелинейности. На основании анализа квазипотенциала рассмотрено распространение уединенной волны произвольной амплитуды и показано, что диапазон изменения плотности пыли вокруг критического значения, в пределах которого возможно одновременное существование волн положительного и отрицательного потенциала, достаточно широк.
PACS: 52.35.-g, 52.35.-Fp
1. введение
Известно, что присутствие в плазме отрицательных ионов приводит к существенной модификации солитонных решений для ионно-звуко-вых волн, описываемых уравнением Кортевега-де-Фриза (КдФ), которая связана с возможностью обращения в ноль нелинейного коэффициента этого уравнения при некоторой критической плотности отрицательных ионов. Если плотность отрицательных ионов ниже критической, соли-тон представляет собой уединенную волну сжатия, в противном случае солитон является волной разрежения. Для описания нелинейных свойств ионно-звуковой волны в точке критической плотности необходим учет следующих порядков разложения, приводящий к модифицированному уравнению Кортевега-де-Фриза (мКдФ), впервые полученному Ватанабе [1] и в дальнейшем исследованому в ряде работ [2-5]. Мишра и Чхаб-ра [6] обратили внимание на существование двух типов ионно-звуковых волновых мод, существующих при конечной температуре ионов - быстрой и медленной. В работе [7] изучалось влияние не-изотермичности электронов на свойства ионно-звуковых солитонов в плазме с положительными и отрицательными ионами методом квазипотенциала. Нелинейное распространение ионно-звуковых волн сжатия и разрежения в биионной плазме исследовалось Мак-Кензи и др. [8, 9] в газодинамическом приближении, альтернативном методу квазипотенциала.
В настоящей работе изучается распространение ионно-звуковых солитонов в пылевой плазме, содержащей ионы разных знаков. Хорошо известно [10], что присутствие отрицательно заряженной пыли в плазме с одним сортом положительных ионов ведет к тому, что существует ее критическая плотность, ниже которой ионно-звуковой солитон является волной сжатия, а выше - волной разрежения. При наличии отрицательных ионов задача содержит два независимых параметра - плотность пыли, заряд которой без ограничения общности в зависимости от внешних условий мы будем считать как отрицательным, так и положительным, и плотность отрицательных ионов. В результате этого, во-первых, при фиксированной плотности пыли критическое значение плотности отрицательных ионов смещается либо вообще может отсутствать, а во-вторых, для заданных значений масс и температур ионнных компонент наличие пыли приводит к непрерывному ряду значений критической плотности отрицательных ионов в зависимости от плотности пылевой компоненты. Поэтому нелинейный коэффициент уравнения КдФ обращается в ноль для целого ряда пар значений "плотность пыли - плотность отрицательных ионов", образующих на плоскости с осями, по которым откладываются значения этих переменных, непрерывную кривую, разделяющую зоны, где проявляются свойства сжатия либо разрежения солитонов.
В точках критической плотности равенство нулю нелинейного коэффициента уравнения КдФ устанавливает однозначную зависимость между плотностью пыли и плотностью отрицательных ионов. В случае пылевой плазмы нелинейный член мКдФ уравнения является не числом, а функцией одного из указанных параметров - например, плотности пыли. В связи с этим вызывает интерес исследование этого коэффициента на предмет его обращения в ноль и изменения знака. Обращение в ноль коэффициента нелинейности мКдФ уравнения означало бы наличие двойной критической точки, в которой исчезают нелинейности как первого, так и второго порядка. Знакопеременность коэффициента важна для понимания характера решения мКдФ уравнения. Если коэффициент положителен, то решение имеет вид солитона, если же он отрицателен, то при определенных условиях в системе возможно образование двойного слоя. Проведенное исследование показало, что нелинейность является положительной при любых значениях плотности пыли и масс положительных и отрицательных ионов. Поэтому в биионной пылевой плазме в критических точках реализуется решение в виде солитона.
При изучении вопроса о распространении ион-но-звуковой волны в пылевой плазме мы предположим, что заряд пылевой частицы в поле импульса сохраняется неизменным. Это справедливо, если частота зарядки \сН = аюр1(а -радиус пылинки, юр, = (4же2пю/т, )1/2 - плазменная ионная частота, = (Т,/4же2пю)112 - ионный дебаевский радиус) существенно меньше обратного времени прохождения солитона через фиксированную точку среды. Время распространения можно оценить как т¡ ~ Ь/с5 ~ ЙХ^/с =
= Nюр)Т11Те < Nюр|, где Ь - ширина солитона, N = Ь/Хв,. Тогда условие постоянства заряда будет выполняться при Й\ск/юр; ~ Йа/< 1. Полагая а ~ 10-4 см, Т\ ~ 1 эВ и N = 100, найдем, что рассматриваемое приближение выполняется, если
10-5 п 10/2 1, что соответствует случаю достаточно разреженной плазмы (пю < 106). В плотной плазме заряд пыли в поле ионно-звукового импульса не может считаться постоянным, что приводит к образованию в зависимости от функции распределения электронов либо ионно-звуковой ударной волны [11], либо слабодиссипативных пылевых ионно-звуковых солитонов [12].
Работа организована следующим образом. В разд. 2 приводится обезразмеренная система уравнений задачи. Используя метод возмущений, в разд. 3 получено уравнение КдФ и приведены результаты численного анализа амплитуды уединенной волны в зависимости от параметров плаз-
мы. В разд. 4 дан вывод мКдФ уравнения и проанализирован его нелинейный коэффициент, а также приведено решение уравнения, описывающего ионно-звуковую волну в плазме при малом отклонении от критической плотности. Распространение волны произвольной амплитуды рассмотрено в разд. 5 на основании исследования квазипотенциала. Основные выводы изложены в разд. 6.
2. система уравнений
Рассмотрим плазму, содержащую положительные и отрицательные ионы, которые для простоты будем считать однозарядными, и заряженную пыль. Система уравнений задачи состоит из уравнений непрерывности и движения для обеих ионных компонент, а также уравнения Пуассона:
дп1 д , , А эТ + дХ(п1" 1) = 0'
д д) дф д п1 - + У1дХ() у1 = -д7-301 п1
д г
дх
дх '
дп2 д , Л Л
ЭТ + дХ ( п2 " 2 ) = 0'
д д ) 1 Гдф дг + дх) = е 1дХ
а0 д п2
-3 п2 ЭХ"
д 2 ф ф
—2 = е - ц.1п1 + |п2 + |. дх
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Координата х обезразмерена на электронный дебаевский радиус Хв = (4ппе0е2/Те)1/2, время г - на обратную плазменную частоту юр1 = (тх/4ппе0е2)1/2, скорости v1, v2 - на скорость ионного звука с5 = = (Те/т1)1/2, || = пт/пе0, | = п¿20/^0, ф = еф'Т 01 =
= Тц/Те, 02 = Та/Те, е = т2/т1, Те, Т1, Т12 - температуры электронов, положительных и отрицательных ионов, пе0, п¿10, п¿20 - их равновесные плотности. Плотности электронов и ионов обезразмере-ны на свои равновесные значения. Принято, что распространение волны является адиабатическим, а распределение плотности электронов имеет вид пе = ехр ф. Параметры |1 и |2 связаны условием квазинейтральности |1 = 1 + |2 + где | = ЪпЛ0/пе0, а Ъ и пЛ0 - заряд и плотность пылевой компоненты плазмы.
3. уравнение кортевега-де-фриза
Будем искать решение исходной системы уравнений в виде
А = А0 + еЛ1 + £2А2 + е3А3 +
ионно-звуковые солитоны в биионнои пылевой плазме
1035
где А = (п1, v1, п2, v2, ф), А0 = (1, 0, 1, 0, 0). Для получения уравнения Кортевега-де-Фриза воспользуемся стандартным растяжением координат
г 1/2/ т, ч 3/2
% = в (х - Уг), т = е г.
(7)
- у^ ^^ = 0
У Э% + Э%
Удуг 1 1 +Эф 1 + 30 эп 11 = ° -У "э%" + Э%1 + 3 011% =
Э«21 + Э121 = ° У Э% + Э %
- У д V 2 1 -1дФ1 + 3 02 д-П21 = °
(8) (9) (10)
(11) (12)
п11 =
У -3 01 ф1
п21 =--2-.
2У -302
v 11 =
v 21 = —
У - 301 У
-ф1.
+
^2
У2-301 ОУ2 -302
6У -302 = 1.
ф!> (13)
В порядке в2 система уравнений примет вид:
Э п11 Т/Э п12 Эv 1, э( ) п
К-Т- У Ж + 1---Г + Э---(п11v 11) = °'
Э v 11 д v 12
- У --г-- + v 11
Эт
Э%
Э V11 Эф, дп12
+ -г----- + 3 01
э% э%
Э%
+
■ а0 дп11 п
+ 3 01 пЦ ------ =
1 11 э%
Эп21 Эп22 , 3v22 Э ( ) „
К-Т- У Ж + "эТ + э%(п21v 21) = °,
Э V21 а V22 Э V21 1 Эф2 3 02 Эп22
Эт
-У
Э%
+ V-
21
д% О Э% О э%
3 02 дп21 _
+ ~ёГ п21-э-т = 0,
^-^Т = ф2 + ф2/2- Д п12 + М*2п22.
э%2
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Исключая из уравнений (14) и (15) член Э^2/Э% и используя (13), получим
д п
12
1
Эф2
д% У2-3 01 д%
+
В порядке в система уравнений записывается | виде
2 У
+_э-ф + 3 ( У + о 1 ) ф Эф
+ ( У1 - 3 0 1 )2 Эт ( V-2 --- 3(3 1 )3 1 э%. Поступая аналогично, найдем Эп22/Э%:
дп22 1 Эф2
(19)
Э%
2 ОУ
ОУ2 - 302 д%
__Эф + 3 ( е у + е 2 ) Эф
(О V2 - 3 0 2 ) 22 Э т ( о у2 - 3 02 ) - 1 Э
(20)
э% е э% "е э%
ф1- ^1п11 + ^2п21 = °.
Интегрируя уравнения (8)-(11) с начальными условиями ^х(% —► ±^) = 0, v21(% —= 0, пп(% —► ±^) = 1, п21(% —► ±^) = 1 и подставляя выражения для пп и п21 в (12), получим выражения для величин первого порядка малости и соотношение, определяющее линейную скорость волны:
ф1 У
Дифференцируя уравнение (18) по % и подставляя выражения (19) и (20), получим уравнение
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.