ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2011, том 37, № 8, с. 739-744
ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
УДК 533.932
ИОННЫЕ ДИФФУЗИОННЫЕ ПОТОКИ В ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЕ
© 2011 г. В. П. Силин
Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, Москва, Россия Поступила в редакцию 22.11.2010 г. Окончательный вариант получен 27.01.20011 г.
Проведено обсуждение ионных кинетических уравнений в рамках модели ионно-звуковой турбулентности, позволяющей внутренне непротиворечиво описывать сильный нагрев компонент плазмы. В случае такого сильного нагрева в режиме воздействия на плазму сильного постоянного электрического поля получены нестационарные диффузионные потоки поперек удерживающего плазму магнитного поля, обусловленные индуцированным рассеянием ионно-звуковых волн на ионах.
В настоящем сообщении будут рассмотрены ионные диффузионные потоки поперек удерживающего плазму магнитного поля в условиях, когда магнитное давление велико по сравнению с давлением плазмы, т.е. тогда, когда при описании равновесия плазмы пространственные параметры плазмы меняются более резко, чем изменяется магнитное поле (см., например, [1]). Главное в нашем рассмотрении заключается в том, что плазма принимается существующей в турбулентном состоянии. При этом ионно-звуковая турбулентность (ИЗТ) плазмы отвечает случаю неравных отношений заряда к массе у двух сортов ионов, как в модели, принятой в работах [2, 3]. Нас ниже будет интересовать квазистационарное состояние нагрева, в котором температуры электронов и ионов токовой плазмы растут со временем. Наше описание относится к тому интервалу времени, который быстро наступает при приложении электрического поля сильной напряженности, когда температуры компонент плазмы быстро достигают значений, значительно превышающих те начальные значений, при которых возникает ИЗТ При этом мы рассмотрим режим сильного поля, когда начальное значение турбулентного числа Кнудсена и то значение, которое реализуется во время нагрева плазмы,
г^ - -у/к/4пе 2Иа — ленгмюровская частота и поперечный радиус Дебая ионов сорта а плазмы, Т±а — поперечная (см. ниже) температура этого сорта ионов, Жа — соответствующее число ионов
в единице объема. Наконец, ю^ = ю^ + ю^2, а спектр ИЗ-волн имеет вид
ю (к)
®ьГвек
л/1 + к 2г1е
(2)
Следует подчеркнуть, что в отличие от модели работы [2], в модели турбулентности в работе [3] вместо обычного дебаевского радиуса ионов используется поперечный радиус Дебая ионов г1а, при этом в соответствии с установленным в [2] существенным анизотропным нагревом малой примеси принимается анизотропное бимакс-велловское распределение ионов с температурами Т1а и та
/а (V, 1 )=■
^ата
3/2
х ехр
(2п) кТа (КдТа)
(( + У/ )
2кйГ|
Б11а
т V
"1аг г
2кБТ\|а
1/2 Л
(3)
2
К - П ^ЕЫе^Ье (стдГЦ + СТ^)( е1 е2 1 (1) § — ГЗ , (1)
СТЬГБе (( + Г22) ^т1 т2)
значительно превышают единицу. В формуле (1)
юЬе - у!4пе2Ие /те — электронная ленгмюровская
частота, гВе = -у/к БТе /4пе 2Ие — электронный радиус Дебая, е и те — заряд и масса электрона, Те — электронная температура, Ие — число электронов
в единице объема, = -у/ 4пе^ Ма /та и
2
Здесь и ниже ось г декартовой системы координат ориентирована параллельно еЕ. Помимо следствий бимаксвелловсккого распределения (3), модель, принятая в [3], использует экспоненциальную зависимость в отношении декрементов затухания ионно-звуковых волн на ионах сорта а и на электронах
(
ехр
V!
2 (V
2 ■ 2 , 1а Б1П I
+ VI ео821
(4)
739
4*
где 0к — угол между волновым вектором к и осью I, Р||(±)а = >/К— продольная и поперечная тепловые скорости ионов сорта а, У8 = ^ьгое — скорость длинноволнового ионного звука. Выражение (4) важно при определении области применимости предела сильного поля Км2 » 1. Формулы, описывающие этот предел, могут быть получены из результатов работы [4], имевшей дело с моделью [2], простой заменой ионных радиусов Дебая на г±а согласно [3]. Заметим здесь, что существенный нагрев ионных компонент плазмы без определяющего участия ион-ионных столкновений приводит к анизотропии ионного нагрева, что вступает в противоречие с исходным предположением об изотропном максвелловском распределении ионов в работах [2, 4], а также [5] в случае одного сорта ионов. Что касается квазилинейной теории ИЗТ в [6, 7], то наше замечание не относится к работе [6], в которой черенковской диссипацией на ионах было пренебреженно, как и индуцированным рассеянием ионно-звуковых волн на ионах. При этом в [6] был сделан вывод об отсутствии квазистационарного состояния ИЗТ В [7] такое состояние было получено. Однако изотропное распределение ионов по скоростям, использованное в [7], правомерно только при определяющих ионную релаксацию ион-ионных столкновениях. В нашем рассмотрении ниже полностью пренебрегается парными столкновениями в предположении определяющего влияния ИЗТ-пульсаций на кинетику частиц плазмы
Ставя перед собой задачу получения выражений для ионных диффузионных потоков турбулентной плазмы, удерживаемой постоянным магнитным полем В, ориентированным противоположно вектору напряженности Е постоянного во времени и пространственно однородного электрического поля, воспользуемся ионными кинетическими уравнениями (а = 1,2)
дг
дх
+ Ух й[а + [ £а. Е + п V х Ь У^а = ]п.
т„
дV
(5)
Здесь Ь = В / В, ось х выбрана в качестве направления пространственной неоднородности плазмы, 0.а = еаВ/(тас) — циклотронная частота ионов сорта а, с — скорость света, Ja — интеграл столкновений ионов с ионно-звуковыми турбулентными пульсациями, обусловленный вынужденным рассеянием ИЗ-волн на ионах. Ja представляет собой диффузионный дифференциальный оператор
Гд 2/а +д2/а ^
дУ2 дУУ
+ А
у у
д 2/а 1 дУ2
(6)
Здесь согласно [2, 3, 8] в режиме сильного поля (КМ2 » 1), рассматриваемом в настоящем сообщении,
й„ =
\e\ENV,
ю
т N
'"а11 а
/ 2 4, 2 4 ч
(7)
А± = 0.6, АI- 0.15. (8)
Будем интересоваться условиями сильного нагрева электронов и ионов, когда их температуры значительно превышают начальные, имевшие место до турбулентного нагрева плазмы. Для того чтобы можно было понять, о чем идет речь, приведем полученные в [3] интерполяционные временные зависимости температур компонент плазмы в условиях пространственной однородности:
вТе (г) = вТе ) + [ (г - го)]
4п
NаКВ%)а (г) = NаКВТ||(±)а (г0) +
+ 1.2А
4/3
[11Ш
I
в
2 лг3 2 53
^Тъ^^е— К (г г 0 )]5/3. трер N р 4п
(9)
(10)
Здесь структурный фактор
ёе =
3.4
6—2/гу
тн юню ( г
т„
8
г2
А1 А2
2/3
(11)
использованы обозначения: тн — масса протона, Аа = (та/тн) — массовое число, — кратность ионизации иона сорта а и
2 4пе Ne
Юн = -1,
тн
4п1 те Nр3
— 2
Ю =
(12)
(13)
( Л2 ' Iт^ в
V в )
В случае сильного нагрева первые слагаемые в формулах (9) и (10) малы по сравнению со вторыми. В этом случае, как показано в [3], зависимость от времени
_\e\ENe®Le1aNa ,,
и а — ^ " ~3 ГБе (г)
(14)
I трер N в
сводится к зависимости от времени электронного радиуса Дебая. Последняя зависимость в режиме сильного поля определяется джоулевым нагревом электронов; в случае сильного нагрева, согласно
[3],
^Е г и ^ \"|2/3
'Бе
(г) =
4пе
yjge^L [ (г - г0)]
(15)
2
в
В результате формулы (14) и (15) в случае сильного нагрева дают
da (t) =
2 N 2
^п N a
[ (t - 10 )]2/3 . (16)
X mPePN3 ' 4П
в
Именно это выражение будет далее подставляться в (6) при использовании уравнения (5) для отыскания ионных диффузионных потоков.
Подчеркнем, что в соответствии с (16) и (8) коэффициенты перед производными дифференциального оператора не зависят от скорости, что существенно упрощает получение важных для нас следствий кинетического уравнения (5). В частности, заметим, что
= 2%)mÀ (t). (17)
dt
Это уравнение сразу дает соотношение (10). В уравнении (5) будем пренебрегать возбуждающим ИЗТ электрическим полем (учтенным в теории при рассмотрении движения электронов), поскольку в относительное движение электронов и ионов последние дают пренебрежимый вклад.
Определившись с используемыми ионными кинетическими уравнениями, перейдем теперь непосредственно к определению ионных диффузионных потоков поперек удерживающего плазму магнитного поля. Прежде всего, проинтегрируем левую и правую части ионных кинетических уравнений (5) по пространству скоростей V. В результате получаем
+ (a V» = 0 • (18)
Здесь Na (x, t) = JdVfa (V, x, t)
сорта a, а {Vx)a = (1/Na) \dVVJa (V, x, t)
нента средней поперечной магнитному полю скорости, направленной вдоль направления неоднородности ионных функций распределения. Именно отыскание последней составляет нашу задачу. Плотности числа ионов будем считать отвечающими точным функциям распределения. Для нахождения {Vx)а решение уравнений (5) будем искать в виде разложения по степеням Q ^ fa (V, X, t)= ff (V, X, t) +
+ ff (V, x, t ) + fj2) (V, x, t ) +.... Ниже ограничимся вторым, после нулевого, приближением. Этого будет достаточно для описания ионных диффузионных потоков поперек удерживающего плазму магнитного поля. Далее будем предполагать слабую пространственную зависимость ионных функций распределения, ограничиваясь в потоках первой пространственной производной Na. Зависимость от времени Na (x, t) можно принять более медленной, чем та времен-
— плотность ионов
— компо-
(19)
ная зависимость, которая характеризует турбулентный нагрев частиц плазмы.
После подстановки разложения (19) в уравнения (5), приравнивая в этих уравнениях нулю старшее линейное по 0.а выражение, получаем уравнения нулевого приближения
Q„(V x b) = 0. dV
Решения этих уравнений имеют вид
fi0) (V, x, t ) = Fa (Vx2 + V2,V2, x, t ),
(20)
(21)
где — произвольные функции своих аргументов.
Для определения вида функций Еа используем приближенные кинетические уравнения, которые мы относим также к нулевому приближению,
dF dF
+ Qa(V x b) • =
dt dV
= d„
d F
д Fл
dVx dVy
+ A
y
д2 F dV?
(22)
Они отличаются от (5) пренебрежением в левой части слагаемым с пространственной производной функции распределения, что отвечает предположению об относительно слабой пространственной зависимости Ыа от координаты х и времени. Решение уравнения (22) будем называть решением нулевого приближения. Он
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.