ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2012, том 38, № 7, с. 597-602
УДК 533.9.01
ПЫЛЕВАЯ ПЛАЗМА
ИОННЫИ ПОТОК, СВЯЗАННЫЙ С КНОИДАЛЬНОЙ ИОННО-ЗВУКОВОЙ ВОЛНОЙ В ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЫЛЕВОЙ ПЛАЗМЕ © 2012 г. В. В. Прудских
Институт физики, Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия Посушила в редакцию 16.11.2011 г.
Изучается косое распространение нелинейных периодических ионно-звуковых волн в замагничен-ной пылевой плазме. Получены уравнения для первого и второго порядка теории возмущений, описывающие динамику потенциала волны, и найдены их несекулярные периодические решения. Определен средний нелинейный поток ионов, вызываемый распространением кноидальной волны. Проанализированы величина и направление потока в зависимости от угла распространения волны к магнитному полю и плотности заряда пыли.
1. ВВЕДЕНИЕ
Уединенные ионно-звуковые волны, распространяющиеся в плазме под углом к внешнему магнитному полю, были впервые рассмотрены в работах [1—4]. В отличие от случая незамагничен-ной плазмы, когда дисперсия обусловлена деба-евским радиусом и эффектом разделения зарядов, дисперсионные свойства ионно-звуковых волн в замагниченной плазме определяются главным образом конечным ларморовским радиусом ионов. Если юр(- > юс,- (юр — ионная ленгмюров-ская частота, юа- — ионная гирочастота), то гиро-радиус ионов оказывается существенно больше дебаевской длины. Это позволяет в случае длинноволновых возмущений пренебрегать динамикой относительного движения электронов и ионов и считать плазму внутри импульса квазинейтральной. В работе [5] исследовался вопрос о свойствах уединенных ионно-звуковых волн малой амплитуды в магнитоактивной пылевой плазме. Авторами были получены условия, при которых потенциал волны в зависимости от плотности заряженного пылевого фона положителен или отрицателен. Повторное рассмотрение этой проблемы, учитывающее более высокий порядок разложения квазипотенциала, было выполнено Чои и др. [6, 7]. Махмуд и Хуссейн [8] изучали условия распространения уединенных ионно-звуковых волн в замагниченной пылевой плазме с адиабатически горячими ионами. Эффекты пространственного разделения положительных и отрицательных зарядов и их влияние на свойства уединенных пылевых ионно-звуковых волн в плазме при наличии магнитного поля исследовались в работе [9].
Проблема влияния нелинейностей высшего порядка на свойства кноидальной ионно-звуко-
вой волны в незамагниченной плазме с холодными ионами, а также расчет среднего нелинейного ионного потока, вызываемого ее распространением, впервые исследовалась Конно и др. [10]. Недавно Тивари и др. [11] пересмотрели данную задачу и получили выражения для нелинейного потока ионов, проведя корректное исключение секулярных членов. В настоящей работе изучен вопрос о распространении косой кноидальной пылевой ионно-звуковой волны в магнитоактивной плазме. Предполагается, что плазма является достаточно плотной (юр1 > юс(), а косинус угла между направлением распространения волны и магнитным полем не слишком близок к единице. В этом случае можно пренебречь эффектом разделения зарядов и считать выполненным условие квазинейтральности. Динамика пыли не принимается во внимание, а электроны считаются безынерционными и подчиняющимися распределению Больцмана. Учет нелинейностей высших порядков приводит к двум связанным уравнениям: уравнению Кортевега-де-Фриза (КдФ) для первого порядка потенциала и неоднородному дифференциальному уравнению для второго порядка потенциала. В соответствии с методами теории возмущений, построенное периодическое решение уравнения КдФ используется при нахождении решения второго уравнения. Аккуратное исключение секулярных членов позволяет найти точное выражение для потока ионов, вызванного распространением периодической волны.
Работа организована следующим образом. В разделе 2 получена пара уравнений для первого и второго порядка разложения потенциала. Их периодические решения в стационарной системе отсчета, движущейся вместе с волной, приведены в разделе 3. Раздел 4 содержит расчет среднего не-
линейного потока ионов. Численный анализ уравнения и краткие выводы изложены в разд. 5.
2. ВЫВОД НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Пусть плазма помещена во внешнее магнитное поле В = В0е г, а волновой вектор лежит в плоскости xz. Система уравнений, описывающая распространение ионно-звуковых волн под углом к магнитному полю в плазме с примесью заряженных пылевых частиц, состоит из уравнения непрерывности для ионов
дп + А (V х )+А г )= 0
дг дх дг
(1)
дт
дг
■ + | V
д
+ V,
д
' дх дг
_ -дф
—+ V у
дх
дч
• + I чх — + V
дг V дх
у , I __ д . __ д
дг у
( д + д^ дф - +1 Vx--+ Vг- I Vг =--
дг V дх дгу дг
(2)
(3)
(4)
а также условия квазинейтральности плазмы
п = (1 - N)ехр(ф) + N.. (5)
Здесь введены безразмерные обозначения щ/по ^ п, V1 /е, ^ V, еф/Те ^ ф, юс;г ^ г, х/р, ^ х, г/р,- ^ г, где щ — плотность ионов,
р,- = е,/юе;- — ионный гирорадиус, е, = ^Те/т,- — ионно-звуковая скорость в электронно-ионной плазме, N = 1пй0 /п0, пй0 — плотность пыли, Z — заряд пылевой частицы. Считается, что в отсутствие возмущений выполненено условие квазинейтральности щ0 = пе0 + 1пё0, где пе0 — равновесная плотность электронов. Предполагается, что
тепловая скорость электронов = ^Те/те существенно больше скорости звука и поведение электронов описывается распределением Больцмана. Для упрощения принято, что тепловое давление ионов пренебрежимо мало.
Введем координату, связанную с движущейся системой отсчета 2, = 1хх + ¡¿г - иг, где 1х и ^ — направляющие косинусы, и — скорость волны, обез-размеренная на скорость звука е. Воспользуемся стандартным растяжением координат
д _ И21 д _ 1/21 д
_ £ ¡х ? _ ^ ¡г ^
дх д£, дг д£,
д з/2 д 1/2 д
— _ 8--8 и-
дг дт
(6)
и будем искать решение системы уравнений (1)— (5) в виде
2 3
п = 1 + еп1 + б п2 + б п3 + ...,
ф = еф1 + е2ф2 + е3ф3 +..., 'г = е V г1 + е2'^г 2 + е3^гз + ..., (7)
3/2 5/2
'у = е 'у1 + е Vу2 + ...,
'х = е2'х1 +е3'х2 + ....
Подставляя эти разложения в уравнения (1)—(5) и
/Г\ 3/2
используя (6), в порядке в получим соотношения
и уравнения их движения, которое в проекциях на оси координат имеет вид
п1 = ¡г2 Фъ ^г1 = - ф1 + С1> уу1 = ¡х ^
и и д£,
и линейную скорость волны
¡
2
1 - N.
(8)
(9)
Постоянная С1 не зависит от координаты но может зависеть от т.
Г, 2
В порядке в найдем выражение для компоненты х скорости ионов:
, д ф1 = ¡хиТ7Т •
(10)
Порядок в5/2 приводит к уравнению Кортеве-га-де-Фриза:
2,3 ~3
5Ф1 + и^д^ + 5Ф1 + с , 5Ф1 = 0. (11)
дт 212 д^3 2и д^ 1 г д^
При выводе (11) использовано, что дС1/дт = 0. Это свойство постоянной С1 аналогично рассмотренному в [11] и является следствием условия отсутствия секулярного члена вида (5С1/5х)^ в выражении для V г2, получающегося при интегрировании по 2, разложения уравнения (1) или (4)
5/2
порядка в .
Для построения решений, учитывающих влияние высших порядков нелинейностей на свойства волны, выпишем выражения для величин второго порядка:
¡2 Г ,2Л
I
г
п2 = "Г и
'У
V г2 = -
2,2 ~2, „2 ,2 и ¡х д ф1 + и - ¡г ,2
21г д£ 4и
■С,.
у2
= ! - !и2 ,
(12)
(13)
х
2
и
vx2 = lxu
д 2Ф
д£,2
2 + u2
(I2
lx 212
-1
д 4Ф1
У
д^4
+
3ll - u2
дф д^
+ ф1 ^
(14)
2и2 2и2 "д^2
Здесь первое соотношение в (12) есть следствие разложения уравнения (5) с учетом (9), второе вы-
2
ражение в (12) следует из теории порядка г5'2 с использованием уравнения (11), причем постоянная С2 аналогична по свойствам введенной ранее величине С1. Уравнение (14) следует из рассмот-
3
рения порядка разложения в .
Рассмотрев порядок в772 теории возмущений, получим неоднородное уравнение для потенциала ф 2:
дф2 дт
2,3 ~3,
u lx д ф2 2/2 д^3
= Hi
д^5
3lZ - u2 д 2u дЕ,
1^2
) + CJZ дф2 =
д^
H
д 2ф1 2ф1 ТГТ
H3
д
дф1
дф1
(15)
+ H4 ^ - С^
4 дЕ, 2 z д^
где введены коэффициенты
H1 = (7/Z - 3), H2 =-3/Xu((
8/z 4/
2 2 z - u
)
H3 =-
9lXu 16/2
(- u 2)
H4 =
((- u 2 )(2 + u 2)
24u
где
1 [ d4>1
2 ^ d n
u lx
+ U (Ф1) = E0,
{Cxiz - V) ф2+Ф3
6u
(16)
а Е0 — полная энергия осциллятора в поле потенциала ^(фх). Решения кубического уравнения
Е0 - = 0 определяют точки поворота функции фх. Для существования периодических решений необходимо, чтобы все три корня данного уравнения являлись действительными. Обозначим корни уравнения через а, р и у, причем будем
считать, что а > р > у, если 3l^ - u2 > 0 (Nd < 2/3)
ll -2
и а < Р < у, если 3/г - и < 0 > 2/3). Колебания совершаются между точками а и р. Представляя выражение Е0 - Щф^ в виде произведения трех сомножителей и совершая подстановку
= р + (а-р)ео8 0, получим решение уравнения (16) в виде
где
к 2 = а-Р
а - у'
Ф1 =р + (а-р)еи2(^п, к),
l2(3l2 -u2)(а-у)
(17)
D =
12u 4l2
1/2
Здесь сп(Бц, к) — эллиптический косинус Якоби модуля к. Связь между корнями а, Р и у определяется соотношением
* V - с/.
а + р + у = 6u——— 3L - u
2 •
(18)
Уравнения (11) и (15) описывают динамику потенциала волны ф = фх + ф2 с учетом влияния нелинейностей высших порядков. Если ф2 = фх/2, то левые части (11) и (15) совпадают. Поэтому решение уравнения (11) будет также одним из решений (однородного) уравнения (15), а правая часть этого уравнения содержит секуляр-ные члены, подлежащие исключению.
3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Введем координату ц = Ут, относительно которой волна стационарна, и найдем периодические решения уравнения (11). Интегрируя дважды, получим
Так как в стационарной системе отсчета уравнение КдФ (11) инвариантно относительно замены V ^ V + const, величину V можно выбрать как V - C1lz и не учитывать ниже постоянную C1 [12].
Переходя в уравнении (15) к переменной п и проинтегрировав его один раз, найдем
(сл - V) Ф2 + 3l^-u2
Р1Ф2
2u
= - С2Ф1 + m),
3/2 .2,
u lxd ф2
2lZ dx\
(19)
где
Б{ф) = H1 ^ + H2Ф1 d^ +
d n d n
+ \H3 -
Hi 2
dф1 dn
+ H4Ф3 + Co,
а С0 — постоянная. В соответствии с методами теории возмущений мы считаем, что ф1 в уравнении (19) определяется выражением (17). Тогда уравнение (19) — это обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение, правая часть которого есть явная функция переменной п.
Будем искать реш
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.